Проблема с движущимся магнитом и проводником

Проводник движется в магнитном поле.

Проблема движущегося магнита и проводника — это знаменитый мысленный эксперимент , возникший в 19 веке и касающийся пересечения классического электромагнетизма и специальной теории относительности . В нем ток в проводнике, движущемся с постоянной скоростью v относительно магнита , рассчитывается в системе отсчета магнита и в системе отсчета проводника. Наблюдаемая величина в эксперименте, ток, в любом случае одинакова, в соответствии с основным принципом относительности , который гласит: «Наблюдаемо только относительное движение; не существует абсолютного стандарта покоя». Однако, согласно уравнениям Максвелла, заряды в проводнике испытывают действие магнитной силы в рамках магнита и электрической силы в рамках проводника. Казалось бы, одно и то же явление имеет два разных описания в зависимости от системы отсчета наблюдателя.

Эта проблема, наряду с экспериментом Физо , аберрацией света и, более косвенно, тестами отрицательного эфирного дрейфа, такими как эксперимент Майкельсона-Морли , легла в основу разработки Эйнштейном теории относительности.

Введение

Статья Эйнштейна 1905 года, познакомившая мир с теорией относительности, начинается с описания проблемы магнита/проводника:

Известно, что электродинамика Максвелла – в ее обычном понимании в настоящее время – применительно к движущимся телам приводит к асимметриям, которые, по-видимому, не присущи этим явлениям. Возьмем, к примеру, взаимное электродинамическое действие магнита и проводника. Наблюдаемое здесь явление зависит только от относительного движения проводника и магнита, тогда как общепринятый взгляд проводит резкое различие между двумя случаями, когда движется либо то, либо другое из этих тел. Ибо если магнит находится в движении, а проводник покоится, то вблизи магнита возникает электрическое поле с некоторой определенной энергией, производящее ток в местах расположения частей проводника. Но если магнит неподвижен, а проводник движется, то вблизи магнита не возникает электрического поля. Однако в проводнике мы обнаруживаем электродвижущую силу, которой самой по себе не существует соответствующей энергии, но которая порождает – при условии равенства относительного движения в двух обсуждаемых случаях – электрические токи того же пути и интенсивности, что и те, которые возникают в первом случае электрическими силами.

— А. Эйнштейн, К электродинамике движущихся тел (1905 г.)

Главным требованием к описаниям в различных структурах является их согласованность . Согласованность является проблемой, поскольку механика Ньютона предсказывает одно преобразование (так называемую инвариантность Галилея ) для сил , которые управляют зарядами и вызывают ток, в то время как электродинамика, выраженная уравнениями Максвелла, предсказывает, что поля , которые вызывают эти силы, преобразуются по-разному (согласно лоренц -инвариантности ). Наблюдения за аберрацией света, кульминацией которых стал эксперимент Майкельсона-Морли , установили справедливость лоренц-инвариантности, а развитие специальной теории относительности разрешило возникшее разногласие с ньютоновской механикой. Специальная теория относительности пересмотрела преобразование сил в движущихся системах отсчета, чтобы оно соответствовало лоренц-инвариантности. Подробности этих преобразований обсуждаются ниже.

Помимо единообразия, было бы неплохо объединить описания, чтобы они выглядели независимыми от фреймов. Ключом к независимому от системы описанию является наблюдение, что магнитные поля в одной системе отсчета становятся электрическими полями в другой системе отсчета. Аналогично, соленоидальная часть электрических полей (часть, которая не создается электрическими зарядами) становится магнитным полем в другой системе отсчета: то есть соленоидальные электрические поля и магнитные поля являются аспектами одного и того же. Это означает, что парадокс различных описаний может быть только семантическим . Описание, использующее скалярные и векторные потенциалы φ и A вместо B и E, позволяет избежать семантической ловушки. Лоренц-инвариантный четырёхвектор A ^а = (φ/ c , A ) заменяет E и B и обеспечивает независимое от фрейма описание (хотя и менее интуитивное, чем E - B -описание). Альтернативная унификация описаний — рассматривать физическую сущность как тензор электромагнитного поля , как описано ниже. Этот тензор содержит поля E и B в качестве компонентов и имеет одинаковую форму во всех системах отсчета.

Фон

Электромагнитные поля невозможно наблюдать напрямую. О существовании классических электромагнитных полей можно судить по движению заряженных частиц, траектории которых наблюдаемы. Электромагнитные поля действительно объясняют наблюдаемые движения классических заряженных частиц.

строгое требование В физике состоит в том, чтобы все наблюдатели движения частицы были согласны относительно траектории частицы. Например, если один наблюдатель заметит, что частица сталкивается с центром яблочка, то все наблюдатели должны прийти к одному и тому же выводу. Это требование накладывает ограничения на природу электромагнитных полей и на их преобразование из одной системы отсчета в другую. Это также накладывает ограничения на то, как поля влияют на ускорение и, следовательно, на траектории заряженных частиц.

Возможно, самый простой пример, на который Эйнштейн ссылался в своей статье 1905 года, посвященной специальной теории относительности , — это задача о проводнике, движущемся в поле магнита. В рамках магнита на проводник действует магнитная сила. В рамках проводника, движущегося относительно магнита, на проводник действует сила, обусловленная электрическим полем. Магнитное поле в рамке магнита и электрическое поле в рамке проводника должны давать согласованные результаты в проводнике. Во времена Эйнштейна в 1905 году уравнения поля, представленные уравнениями Максвелла, были вполне согласованными. Однако закон движения Ньютона пришлось изменить, чтобы обеспечить согласованные траектории частиц.

Преобразование полей с учетом преобразований Галилея

Предполагая, что рамка магнита и рамка проводника связаны преобразованием Галилея , нетрудно вычислить поля и силы в обеих системах координат. Это продемонстрирует, что индуцированный ток действительно одинаков в обоих кадрах. В качестве побочного результата этот аргумент также приведет к общей формуле для электрических и магнитных полей в одной системе отсчета через поля в другой системе отсчета.

В действительности кадры связаны не преобразованием Галилея, а преобразованием Лоренца . Тем не менее, это будет преобразование Галилея с очень хорошим приближением , при скоростях, намного меньших скорости света.

Величины без штриха соответствуют системе покоя магнита, а величины со штрихом соответствуют системе покоя проводника. Пусть v — скорость проводника, если смотреть со стороны магнитной рамки.

Магнитная рамка

В системе покоя магнита магнитное поле представляет собой некоторое фиксированное поле B ( r ), определяемое структурой и формой магнита. Электрическое поле равно нулю.

В общем, сила, действующая на частицу с зарядом q в проводнике со стороны электрического и магнитного полей, выражается (единицы СИ): $$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),$$где $q$ - заряд частицы, $\mathbf {v}$ — скорость частицы, а F — сила Лоренца . Однако здесь электрическое поле равно нулю, поэтому сила, действующая на частицу, равна $$\mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .$$

Рамка проводника

В проводниковой рамке существует изменяющееся во времени магнитное поле B ′, связанное с магнитным полем B в магнитной рамке согласно: $$\mathbf {B} '(\mathbf {r'} ,t')=\mathbf {B} (\mathbf {r_{t'}} )$$ где $\mathbf {r_{t'}} =\mathbf {r'} +\mathbf {v} t'$

В этой системе отсчета существует электрическое поле, а его ротор задается уравнением Максвелла-Фарадея : $${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} '=-{\frac {\partial \mathbf {B} '}{\partial t'}}.$$

Это дает: $$\mathbf {E} '=\mathbf {v} \times \mathbf {B} .$$

показывать

Пояснение этого уравнения для $\mathbf {E} '$.

To make this explicable: if a conductor moves through a B-field with a gradient $\partial B_{z}/\partial z$, along the z-axis with constant velocity $v_{z}=\partial z/\partial t$, it follows that in the frame of the conductor $${\frac {\partial B'_{z}}{\partial t}}=v_{z}{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}=-(\nabla \times \mathbf {E'} )_{z}={\frac {\partial E'_{x}}{\partial y}}-{\frac {\partial E'_{y}}{\partial x}}.$$ It can be seen that this equation is consistent with $$\mathbf {E'} =\mathbf {v} \times \mathbf {B} =v_{z}B_{x}{\hat {y}}-v_{z}B_{y}{\hat {x}},$$ by determining $\partial E'_{x}/\partial y$ and $\partial E_{y}'/\partial x$ from this expression and substituting it in the first expression while using that $$\nabla \cdot \mathbf {B} ={\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial B_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}=0.$$ Even in the limit of infinitesimal small gradients $\partial B_{z}/\partial z$ these relations hold, and therefore the Lorentz force equation is also valid if the magnetic field in the conductor frame is not varying in time. At relativistic velocities a correction factor is needed, see below and Classical electromagnetism and special relativity and Lorentz transformation.

Заряд q в проводнике будет покоиться в каркасе проводника. Следовательно, магнитный силовой член силы Лоренца не оказывает никакого влияния, а сила, действующая на заряд, определяется выражением $$\mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .$$

Это демонстрирует, что сила одинакова в обоих кадрах (как и следовало ожидать), и, следовательно, любые наблюдаемые последствия этой силы, такие как индуцированный ток, также будут одинаковыми в обоих кадрах. И это несмотря на то, что сила рассматривается как электрическая сила в корпусе проводника, но магнитная сила в корпусе магнита.

Формула преобразования Галилея для полей

Аналогичный аргумент можно привести, если каркас магнита также содержит электрические поля. ( Уравнение Ампера-Максвелла также вступает в игру, объясняя, как в системе проводника это движущееся электрическое поле будет вносить вклад в магнитное поле.) В результате, в общем, $${\begin{aligned}\mathbf {E} '&=\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \\[1ex]\mathbf {B} '&=\mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} ,\end{aligned}}$$с c скорость света в свободном пространстве .

Подключив эти правила преобразования к полным уравнениям Максвелла, можно увидеть, что если уравнения Максвелла верны в одной системе отсчета, то они почти верны и в другой, но содержат неверные члены, пропорциональные величине v/c, возведенной во вторую или более высокая мощность. Соответственно, это не точные правила трансформации, а близкое приближение при малых скоростях. При больших скоростях, приближающихся к скорости света, преобразование Галилея необходимо заменить преобразованием Лоренца, а также изменить уравнения преобразования поля, согласно выражениям, приведенным ниже.

Преобразование полей, предсказанное уравнениями Максвелла

Смотрите также: Классический электромагнетизм и специальная теория относительности.

В системе отсчета, движущейся со скоростью v , E отсутствует, -поле в движущейся системе отсчета, когда E -поле в системе неподвижного магнита уравнения Максвелла преобразуются как: $$\mathbf {E} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {B}$$где $$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{(v/c)}^{2}}}}$$называется фактором Лоренца , а c — скорость света в свободном пространстве. Этот результат является следствием требования, чтобы наблюдатели во всех инерциальных системах отсчета пришли к одной и той же форме уравнений Максвелла. В частности, все наблюдатели должны видеть одинаковую скорость света c . Это требование приводит к преобразованию Лоренца для пространства и времени. Предполагая преобразование Лоренца, инвариантность уравнений Максвелла приводит к указанному выше преобразованию полей для этого примера.

Следовательно, сила, действующая на заряд, равна $$\mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {B} .$$

Это выражение отличается от выражения, полученного из нерелятивистского закона движения Ньютона, в раз. $\gamma$. Специальная теория относительности изменяет пространство и время таким образом, что силы и поля преобразуются последовательно.

Модификация динамики для обеспечения согласованности с уравнениями Максвелла.

Рисунок 1: Проводящий стержень, вид с двух инерциальных систем; в одном кадре стержень движется со скоростью v ; в штрихованной системе координат стержень неподвижен, поскольку штрихованная рамка движется с той же скоростью, что и стержень. Поле B меняется в зависимости от положения в x . направлении

Сила Лоренца имеет один и тот же вид в обеих системах отсчета, хотя поля различаются, а именно: $$\mathbf {F} =q\left[\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right].$$

См. рисунок 1. Для упрощения предположим, что магнитное поле направлено в направлении z и изменяется в зависимости от местоположения x , а проводник перемещается в положительном направлении x со скоростью v . Следовательно, в магнитной системе, где движется проводник, сила Лоренца направлена ​​в отрицательном направлении y , перпендикулярном как скорости, так и B -полю. Сила, действующая на заряд, здесь обусловленная только В- полем, равна $$F_{y}=-qvB,$$в то время как в проводниковой рамке, где движется магнит, сила также действует в отрицательном направлении y , и теперь обусловлена ​​только E -полем величиной: $${F_{y}}'=qE'=-q\gamma vB.$$

Эти две силы различаются коэффициентом Лоренца γ. Однако эта разница ожидается в релятивистской теории из-за изменения пространства-времени между кадрами, как обсуждается далее.

Теория относительности берет преобразование Лоренца пространства-времени, предложенное инвариантностью уравнений Максвелла, и налагает его также на динамику (пересмотр законов движения Ньютона ). В этом примере преобразование Лоренца влияет только на направление x (относительное движение двух кадров происходит вдоль направления x ). Отношения, связывающие время и пространство, таковы ( штрихами обозначена движущаяся проводниковая рамка): $${\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right),&x&=\gamma \left(x'+vt'\right),\\[1ex]t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {vx}{c^{2}}}\right),&t&=\gamma \left(t'+{\tfrac {vx'}{c^{2}}}\right).\end{aligned}}$$

Эти преобразования приводят к изменению y -компоненты силы : $${F_{y}}'=\gamma F_{y}.$$

То есть в рамках лоренц-инвариантности сила не одинакова во всех системах отсчета, в отличие от галилеевой инвариантности. Но из более раннего анализа, основанного на законе силы Лоренца: $$\gamma F_{y}=-q\gamma vB,\quad {F_{y}}'=-q\gamma vB,$$с чем полностью согласен. Таким образом, сила, действующая на заряд, не одинакова в обеих системах отсчета, но она трансформируется, как и ожидалось, в соответствии с теорией относительности.

См. также

• Документы Аннуса Мирабилиса
• Дарвин Лагранжиан
• вихревой ток
• Электродвигатель
• Мысленные эксперименты Эйнштейна
• Закон Фарадея
• Парадокс Фарадея
• Галилеева инвариантность
• Инерционная рамка
• закон Ленца
• Преобразование Лоренца
• Принцип относительности
• Релятивистский электромагнетизм
• Специальная теория относительности

Дальнейшее чтение

• Эйнштейн, А. (1916). Теория относительности: специальная и общая теория . Нью-Йорк: Корона. ISBN  0-517-02961-8 .
• Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью (2006). Фейнмановские лекции по физике . Том. 2. Пирсон/Аддисон-Уэсли. стр. 13–6 Глава 13. ISBN  0-8053-9045-6 . (Относительность магнитного и электрического полей)
• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уиллер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN  0-7167-0344-0 .
• Ландау, Л.Д. и Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория полей (Четвертое исправленное английское изд.). Оксфорд: Пергамон. ISBN  0-08-018176-7 .
• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.) . Уайли. ISBN  0-471-30932-Х .
• С Мёллер (1976). Теория относительности (второе изд.). Оксфорд Великобритания: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-560539-Х . ОСЛК   220221617 .

Внешние ссылки

• Магниты и проводники в специальной теории относительности