Лоренц-фактор

«Гамма-фактор» перенаправляется сюда. Не путать с гамма-функцией .

Определение фактора Лоренца γ

Фактор Лоренца или член Лоренца (также известный как гамма-фактор ) — это величина , которая выражает, насколько изменяются измерения времени, длины и других физических свойств объекта во время его движения. Выражение появляется в нескольких уравнениях специальной теории относительности и возникает при выводе преобразований Лоренца . Название происходит от его более раннего появления в лоренцевой электродинамике – в честь голландского физика Хендрика Лоренца .

Обычно его обозначают γ (греческая строчная буква гамма ). Иногда (особенно при обсуждении сверхсветового движения ) коэффициент записывается как Γ (греческая заглавная гамма), а не как γ .

Определение

Фактор Лоренца γ определяется как

$$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\sqrt {\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }},$$

где:

• v - относительная скорость между инерциальными системами отсчета,
• c — скорость света в вакууме,
• β — отношение v к c ,
• t — координатное время ,
• τ — собственное время для наблюдателя (измерение временных интервалов в собственной системе отсчета наблюдателя).

Это наиболее часто используемая на практике форма, хотя и не единственная (альтернативные формы см. ниже).

В дополнение к определению некоторые авторы определяют взаимный

$$\alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ ={\sqrt {1-{\beta }^{2}}};$$

см. формулу сложения скоростей .

Происшествие

Ниже приводится список формул специальной теории относительности, в которых γ используется как сокращение:

• Преобразование Лоренца : Самый простой случай — это усиление в направлении x (более общие формы, включая произвольные направления и вращения, не перечисленные здесь), которое описывает, как координаты пространства-времени изменяются от одной инерциальной системы координат с использованием координат ( x , y , z , t ). в другой ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) с относительной скоростью v :
  $${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {vx}{c^{2}}}\right),\\[1ex]x'&=\gamma \left(x-vt\right).\end{aligned}}$$

Следствием вышеуказанных преобразований являются результаты:

• Замедление времени : время ( ∆ t ′ ) между двумя тактами, измеренное в кадре, в котором движутся часы, больше, чем время ( ∆ t ) между этими тактами, измеренное в остальном кадре часов:
  $$\Delta t'=\gamma \Delta t.$$
• длины : длина ( ∆x Сокращение ′ ) объекта, измеренная в кадре, в котором он движется, короче, чем его длина ( ) ∆x в его собственном кадре покоя:
  $$\Delta x'=\Delta x/\gamma .$$

Применение закона сохранения импульса и энергии приводит к следующим результатам:

• Релятивистская масса m движущегося : масса объекта зависит от $\gamma$ а остальная масса m ₀ :
  $$m=\gamma m_{0}.$$
• Релятивистский импульс : соотношение релятивистского импульса принимает ту же форму, что и для классического импульса, но с использованием указанной выше релятивистской массы:
  $${\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.$$
• Релятивистская кинетическая энергия : соотношение релятивистской кинетической энергии принимает слегка измененную форму:
  $$E_{k}=E-E_{0}=(\gamma -1)m_{0}c^{2}$$
  Как $\gamma$ является функцией ${\tfrac {v}{c}}$, нерелятивистский предел дает ${\textstyle \lim _{v/c\to 0}E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$, как и ожидалось из ньютоновских соображений.

Числовые значения

Фактор Лоренца γ как функция доли заданной скорости и скорости света. Его начальное значение равно 1 (когда v = 0 ); и когда скорость приближается к скорости света ( v → c ) γ неограниченно увеличивается ( γ → ∞) .

α (обратный фактор Лоренца) как функция скорости - дуга окружности

В таблице ниже в левом столбце скорости показаны как различные доли скорости света (т.е. в единицах c ). В среднем столбце указан соответствующий коэффициент Лоренца, в последнем — обратный. Значения, выделенные жирным шрифтом, являются точными.

Скорость (единицы c ), β = v / c	фактор Лоренца, с	Взаимный, 1/ с
0	1	1
0.050	1.001	0.999
0.100	1.005	0.995
0.150	1.011	0.989
0.200	1.021	0.980
0.250	1.033	0.968
0.300	1.048	0.954
0.400	1.091	0.917
0.500	1.155	0.866
0.600	1.25	0.8
0.700	1.400	0.714
0.750	1.512	0.661
0.800	1.667	0.6
0.866	2	0.5
0.900	2.294	0.436
0.990	7.089	0.141
0.999	22.366	0.045
0.99995	100.00	0.010

Альтернативные представления

Основные статьи: Импульс и быстрота

Есть и другие способы записи фактора. Выше скорость v использовалась связанные с ней переменные, такие как импульс и быстрота , но могут оказаться удобными и .

Важно

Решение предыдущего уравнения релятивистского импульса для γ приводит к

$$\gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.$$

Эта форма используется редко, хотя она встречается в распределении Максвелла-Юттнера .

Быстрота

Применение определения быстроты как гиперболического угла $\varphi$:

$$\tanh \varphi =\beta$$

также приводит к γ (с помощью гиперболических тождеств ):

$$\gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.$$

Используя свойство преобразования Лоренца , можно показать, что быстрота аддитивна, а это полезное свойство, которого нет у скорости. Таким образом, параметр быстроты образует однопараметрическую группу , являющуюся основой физических моделей.

Функция Бесселя

Тождество Банни представляет фактор Лоренца в терминах бесконечного ряда функций Бесселя :

$$\sum _{m=1}^{\infty }\left(J_{m-1}^{2}(m\beta )+J_{m+1}^{2}(m\beta )\right)={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.$$

Расширение серии (скорость)

Фактор Лоренца имеет ряд Маклорена :

$${\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\[1ex]&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\[1ex]&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+{\tfrac {63}{256}}\beta ^{10}+\cdots ,\end{aligned}}$$

что является частным случаем биномиального ряда .

Приближение ${\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$может быть использован для расчета релятивистских эффектов на низких скоростях. Он сохраняется с точностью до 1% для v < 0,4 c ( v < 120 000 км/с) и с точностью до 0,1 % для v < 0,22 c ( v < 66 000 км/с).

Усеченные версии этой серии также позволяют физикам доказать, что специальная теория относительности сводится к механике Ньютона на низких скоростях. Например, в специальной теории относительности выполняются следующие два уравнения:

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &=\gamma m\mathbf {v} ,\\E&=\gamma mc^{2}.\end{aligned}}$$

Для $\gamma \approx 1$ и ${\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$соответственно, они сводятся к своим ньютоновским эквивалентам:

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &=m\mathbf {v} ,\\E&=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}.\end{aligned}}$$

Уравнение фактора Лоренца также можно обратить, чтобы получить

$$\beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}.$$

Это имеет асимптотическую форму

$$\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots \,.$$

Первые два члена иногда используются для быстрого расчета скорости по большим γ значениям . Приближение ${\textstyle \beta \approx 1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}}$ сохраняется с точностью до 1% для γ > 2 и с точностью до 0,1% для γ > 3,5 .

Приложения в астрономии

Стандартная модель длительных гамма-всплесков (GRB) утверждает, что эти взрывы являются ультрарелятивистскими (начальное значение γ больше примерно 100), что призвано объяснить так называемую проблему «компактности»: отсутствие этой ультрарелятивистской При расширении выброс будет оптически толстым для образования пар при типичных пиковых спектральных энергиях в несколько 100 кэВ, тогда как мгновенное излучение не является тепловым.

Мюоны , субатомные частицы, движутся с такой скоростью, что имеют относительно высокий фактор Лоренца и поэтому испытывают сильное замедление времени . Поскольку среднее время жизни мюонов составляет всего 2,2 мкс , мюоны, генерируемые в результате столкновений космических лучей на высоте 10 км (6,2 мили) в атмосфере Земли, должны быть необнаружимы на Земле из-за скорости их распада. Однако примерно 10% мюонов от этих столкновений все еще можно обнаружить на поверхности, что демонстрирует влияние замедления времени на скорость их распада.

См. также

• Инерциальная система отсчета
• Правильная скорость
• Псевдобыстрота

Внешние ссылки

• Меррифилд, Майкл. «γ – Фактор Лоренца (и замедление времени)» . Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .
• Меррифилд, Майкл. «γ2 – Гамма-перезагрузка» . Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .