Относительная скорость

Относительная скорость , обозначаемая ${\vec {v}}_{B\mid A}$ (также ${\vec {v}}_{BA}$ или ${\vec {v}}_{B\operatorname {rel} A}$ ), — скорости вектор объекта или наблюдателя B в системе покоя другого объекта или A. наблюдателя Относительная скорость $v_{B\mid A}=\|{\vec {v}}_{B\mid A}\|$ – векторная норма относительной скорости.

Классическая механика [ править ]

В одном измерении (нерелятивистском) [ править ]

Начнем с относительного движения в классическом (или нерелятивистском , или ньютоновском) приближении , согласно которому все скорости намного меньше скорости света. Этот предел связан с преобразованием Галилея . На рисунке изображен мужчина на крыше поезда, у его заднего края. В 13:00 он начинает идти вперед со скоростью 10 км/ч (километров в час). Поезд движется со скоростью 40 км/ч. На фигуре изображен мужчина и поезд в два разных момента: сначала в начале пути, а затем через час, в 14:00. Из рисунка следует, что мужчина находится на расстоянии 50 км от исходной точки после путешествия (пешком и на поезде) в течение одного часа. По определению это 50 км/ч, что предполагает, что рецепт для расчета относительной скорости таким способом состоит в сложении двух скоростей.

На диаграмме показаны часы и линейки, чтобы напомнить читателю, что, хотя логика, лежащая в основе этих вычислений, кажется безупречной, она делает ложные предположения о том, как ведут себя часы и линейки. (См. Мысленный эксперимент с поездом и платформой .) Чтобы признать, что эта классическая модель относительного движения нарушает специальную теорию относительности , мы обобщаем пример в уравнение:

\underbrace {{\vec {v}}_{M\mid E}} _{\text{50 km/h}}=\underbrace {{\vec {v}}_{M\mid T}} _{\text{10 km/h}}+\underbrace {{\vec {v}}_{T\mid E}} _{\text{40 km/h}},

где:

{\vec {v}}_{M\mid E}

- скорость М ан относительно Земли ,

{\vec {v}}_{M\mid T}

- скорость M an относительно T дождя,

{\vec {v}}_{T\mid E}

— скорость дождя относительно Земли .

Вполне законные выражения для «скорости А относительно В» включают «скорость А относительно В» и «скорость А в системе координат, где В всегда покоится». Нарушение специальной теории относительности происходит потому, что это уравнение относительной скорости ошибочно предсказывает, что разные наблюдатели будут измерять разные скорости при наблюдении движения света. ^{[примечание 1]}

В двух измерениях (нерелятивистский) [ править ]

На рисунке показаны два объекта A и B , движущиеся с постоянной скоростью. Уравнения движения:

{\vec {r}}_{A}={\vec {r}}_{Ai}+{\vec {v}}_{A}t,

{\vec {r}}_{B}={\vec {r}}_{Bi}+{\vec {v}}_{B}t,

где индекс i относится к начальному смещению (в момент времени t, равного нулю). Разница между двумя векторами смещения, ${\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}$ , представляет расположение B, если смотреть со стороны A.

{\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}=\underbrace {{\vec {r}}_{Bi}-{\vec {r}}_{Ai}} _{\text{initial separation}}+\underbrace {({\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A})t} _{\text{relative velocity}}.

Следовательно:

{\vec {v}}_{B\mid A}={\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A}.

После внесения замен ${\vec {v}}_{A|C}={\vec {v}}_{A}$ и ${\vec {v}}_{B|C}={\vec {v}}_{B}$ , у нас есть:

{\vec {v}}_{B\mid A}={\vec {v}}_{B\mid C}-{\vec {v}}_{A\mid C}\Rightarrow

{\vec {v}}_{B\mid C}={\vec {v}}_{B\mid A}+{\vec {v}}_{A\mid C}.

нерелятивистское ) Преобразование Галилея (

Чтобы построить теорию относительного движения, совместимую со специальной теорией относительности, мы должны принять другое соглашение. Продолжая работать в (нерелятивистском) ньютоновском пределе, мы начнем с преобразования Галилея в одном измерении: ^{[заметка 2]}

x'=x-vt

t'=t

где x' - это позиция, видимая системой отсчета, движущейся со скоростью v, в системе отсчета без штриха (x). ^{[заметка 3]} Взяв дифференциал первого из двух приведенных выше уравнений, мы имеем: $dx'=dx-v\,dt$ и то, что может показаться очевидным ^{[примечание 4]} заявление о том, что $dt'=dt$ , у нас есть:

{\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v

Чтобы восстановить предыдущие выражения для относительной скорости, мы предполагаем, что частица A следует по пути, определенному dx/dt в нештрихованной системе отсчета (и, следовательно, dx '/ dt ' в штрихованной системе отсчета). Таким образом $dx/dt=v_{A\mid O}$ и $dx'/dt=v_{A\mid O'}$ , где $O$ и $O'$ относятся к движению A , как его видит наблюдатель в незаштрихованной и заштрихованной системе координат соответственно. Напомним, что v — это движение неподвижного объекта в штрихованном кадре, как видно из незаштрихованного кадра. Таким образом, мы имеем $v=v_{O'\mid O}$ , и:

v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O'\mid O},

где последняя форма имеет желаемую (легко обучаемую) симметрию.

Специальная теория относительности [ править ]

Как и в классической механике, в специальной теории относительности относительная скорость ${\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }$ — скорость объекта или наблюдателя B в системе отсчета покоя другого объекта или A. наблюдателя Однако, в отличие от классической механики, в специальной теории относительности, как правило, не так.

{\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }=-{\vec {v}}_{\mathrm {A|B} }

Это своеобразное отсутствие симметрии связано с прецессией Томаса и тем фактом, что два последовательных преобразования Лоренца вращают систему координат. Это вращение не влияет на величину вектора, и, следовательно, относительная скорость симметрична.

\|{\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }\|=\|{\vec {v}}_{\mathrm {A|B} }\|=v_{\mathrm {B|A} }=v_{\mathrm {A|B} }

Параллельные скорости [ править ]

В случае, когда два объекта движутся в параллельных направлениях, релятивистская формула относительной скорости по форме аналогична формуле сложения релятивистских скоростей.

{\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {B} }-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }}{1-{\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}

Относительная скорость определяется формулой:

v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\left|{\vec {v}}_{\mathrm {B} }-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }\right|}{1-{\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}

скорости Перпендикулярные

В случае, когда два объекта движутся в перпендикулярных направлениях, релятивистская относительная скорость ${\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }$ определяется формулой:

{\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{\gamma _{\mathrm {A} }}}-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }

где

\gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}

Относительная скорость определяется формулой

v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\sqrt {c^{4}-\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}}{c}}

Общий случай [ править ]

Общая формула относительной скорости ${\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }$ объекта или наблюдателя B в системе отсчета покоя другого объекта или наблюдателя A определяется формулой: ^[1]

{\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {1}{\gamma _{\mathrm {A} }\left(1-{\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}\right)}}\left[{\vec {v}}_{\mathrm {B} }-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }+{\vec {v}}_{\mathrm {A} }(\gamma _{\mathrm {A} }-1)\left({\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }\cdot {\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{v_{\mathrm {A} }^{2}}}-1\right)\right]

где

\gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}