Аналитическая механика

В теоретической физике и математической физике представляет аналитическая механика , или теоретическая механика, собой совокупность тесно связанных формулировок классической механики . Аналитическая механика использует скалярные свойства движения, представляющие систему в целом — обычно ее кинетическую энергию и потенциальную энергию . Уравнения движения скаляра выводятся из скалярной величины с помощью некоторого основного принципа изменения .

Аналитическая механика была разработана многими учеными и математиками в XVIII веке и позже, после механики Ньютона . Механика Ньютона рассматривает векторные величины движения, в частности , ускорения , импульсы ; и силы составляющих системы ее также можно назвать векторной механикой . Скаляр — это величина, тогда как вектор представлен количеством и направлением. Результаты этих двух разных подходов эквивалентны, но подход аналитической механики имеет много преимуществ для сложных задач.

Аналитическая механика использует ограничения системы для решения проблем. Ограничения ограничивают степени свободы, которые может иметь система, и могут использоваться для уменьшения количества координат, необходимых для определения движения. Формализм хорошо подходит для произвольного выбора координат, известных в контексте как обобщенные координаты . Кинетическая и потенциальная энергии системы выражаются с использованием этих обобщенных координат или импульсов, а уравнения движения могут быть легко составлены, таким образом, аналитическая механика позволяет решать многочисленные механические проблемы с большей эффективностью, чем полностью векторные методы. Это не всегда работает для неконсервативных сил или диссипативных сил, таких как трение , и в этом случае можно вернуться к механике Ньютона.

Двумя доминирующими ветвями аналитической механики являются лагранжева механика (с использованием обобщенных координат и соответствующих обобщенных скоростей в конфигурационном пространстве ) и гамильтонова механика (с использованием координат и соответствующих импульсов в фазовом пространстве ). Обе формулировки эквивалентны преобразованию Лежандра для обобщенных координат, скоростей и импульсов; следовательно, оба содержат одну и ту же информацию для описания динамики системы. Существуют и другие формулировки, такие как теория Гамильтона-Якоби , механика Рута и уравнение движения Аппелла . Все уравнения движения частиц и полей в любом формализме могут быть выведены из широко применимого результата, называемого принципом наименьшего действия . Одним из результатов является теорема Нётер , утверждение, которое связывает законы сохранения с соответствующими им симметриями .

Аналитическая механика не вводит новой физики и не является более общей, чем механика Ньютона. Скорее, это набор эквивалентных формализмов, имеющих широкое применение. Фактически те же принципы и формализмы могут использоваться в релятивистской механике и общей теории относительности , а также с некоторыми модификациями в квантовой механике и квантовой теории поля .

Аналитическая механика используется широко: от фундаментальной физики до прикладной математики , особенно теории хаоса .

Методы аналитической механики применимы к дискретным частицам, каждая из которых имеет конечное число степеней свободы. Их можно модифицировать для описания непрерывных полей или жидкостей, имеющих бесконечные степени свободы. Определения и уравнения имеют близкую аналогию с определениями механики.

Мотивация аналитической механики

Целью механической теории является решение механических проблем, возникающих в физике и технике. Начиная с физической системы, такой как механизм или звездная система, разрабатывается математическая модель в форме дифференциального уравнения. Модель можно решить численно или аналитически, чтобы определить движение системы.

Векторный подход Ньютона к механике описывает движение с помощью векторных величин, таких как сила , скорость , ускорение . Эти величины характеризуют движение тела, идеализированного как «массовая точка» или « частица », понимаемая как отдельная точка, к которой прикреплена масса. Метод Ньютона был успешно применен к широкому кругу физических задач, включая движение частицы в Земли гравитационном поле и движение планет вокруг Солнца. В этом подходе законы Ньютона описывают движение дифференциальным уравнением, а затем задача сводится к решению этого уравнения.

Однако когда механическая система содержит много частиц (например, сложный механизм или жидкость ), подход Ньютона трудно применить. Использование ньютоновского подхода возможно при соблюдении надлежащих мер предосторожности, а именно: изолировать каждую отдельную частицу от других и определить все силы, действующие на нее. Такой анализ является громоздким даже в относительно простых системах. Ньютон думал, что его третий закон «действие равно противодействию» устранит все осложнения. Это неверно даже для такой простой системы, как вращение твердого тела . В более сложных системах векторный подход не может дать адекватного описания.

Аналитический подход упрощает проблемы, рассматривая механические системы как ансамбли частиц, взаимодействующих друг с другом, а не рассматривая каждую частицу как изолированную единицу. В векторном подходе силы необходимо определять индивидуально для каждой частицы, тогда как в аналитическом подходе достаточно знать одну единственную функцию, которая неявно содержит все силы, действующие на систему и в ней. установленных кинематических условий Такое упрощение часто осуществляется с использованием определенных априорно . Однако аналитическая трактовка не требует знания этих сил и принимает эти кинематические условия как должное.

Тем не менее, вывод уравнений движения сложной механической системы требует объединяющей основы, из которой они вытекают. Это обеспечивается различными вариационными принципами : за каждой системой уравнений стоит принцип, выражающий смысл всей системы. Учитывая фундаментальную и универсальную величину, называемую действием , принцип стационарности этого действия при небольшом изменении некоторой другой механической величины порождает требуемый набор дифференциальных уравнений. Изложение принципа не требует какой-либо специальной системы координат , и все результаты выражаются в обобщенных координатах . Это означает, что аналитические уравнения движения не изменяются при преобразовании координат - свойство инвариантности , которого нет в векторных уравнениях движения.

Не совсем ясно, что подразумевается под «решением» системы дифференциальных уравнений. Задача считается решенной, если координаты частиц в момент времени t выражаются как простые функции от t и параметров, определяющих начальные положения и скорости. Однако «простая функция» не является четко определенным понятием: в настоящее время функция f ( t ) рассматривается не как формальное выражение в t ( элементарная функция ), как во времена Ньютона, а в большинстве случаев как величина, определяемая t , и провести резкую грань между «простыми» и «непростыми» функциями невозможно. Если говорить просто о «функциях», то каждая механическая задача решается, как только она правильно сформулирована в дифференциальных уравнениях, поскольку заданные начальные условия и t определяют координаты в точке t . Это особенно актуально в настоящее время, когда современные методы компьютерного моделирования обеспечивают арифметические решения механических задач с любой желаемой степенью точности, при этом дифференциальные уравнения заменяются на разностные уравнения .

Тем не менее, несмотря на отсутствие точных определений, очевидно, что задача двух тел имеет простое решение, а задача трех тел — нет. Задача двух тел решается формулами с параметрами; их значения можно менять для изучения класса всех решений, то есть математической структуры задачи. Более того, можно составить точную мысленную или нарисованную картину движения двух тел, и она может быть столь же реальной и точной, как и реальные тела, движущиеся и взаимодействующие. В задаче трех тел параметрам также можно присвоить определенные значения; однако решение с этими присвоенными значениями или набор таких решений не раскрывает математическую структуру проблемы. Как и во многих других задачах, математическую структуру можно выяснить, только исследуя сами дифференциальные уравнения.

Аналитическая механика стремится к еще большему: не к пониманию математической структуры отдельной механической задачи, а к пониманию математической структуры класса задач, настолько широкого, что они охватывают большую часть механики. Он концентрируется на системах, к которым применимы лагранжевы или гамильтоновы уравнения движения и которые действительно включают в себя очень широкий круг задач.

Развитие аналитической механики преследует две цели: (i) расширить круг решаемых задач путем разработки стандартных методов с широким диапазоном применимости и (ii) понять математическую структуру механики. Однако в долгосрочной перспективе (ii) может помочь (i) больше, чем концентрация на конкретных проблемах, для решения которых уже разработаны методы.

Внутреннее движение

Обобщенные координаты и ограничения

Основная статья: Обобщенные координаты

В ньютоновской механике обычно используются все три декартовых координаты или другая трехмерная система координат тела для обозначения положения во время его движения. Однако в физических системах какая-то структура или другая система обычно удерживает движение тела в определенных направлениях и путях. Таким образом, полный набор декартовых координат часто не нужен, поскольку ограничения определяют развивающиеся отношения между координатами, и эти отношения можно моделировать с помощью уравнений, соответствующих ограничениям. В формализмах Лагранжа и Гамильтона ограничения включены в геометрию движения, сокращая количество координат до минимума, необходимого для моделирования движения. Они известны как обобщенные координаты , обозначаемые q _i ( i = 1, 2, 3...).

Разница между криволинейными и обобщенными координатами

Обобщенные координаты включают ограничения на систему. существует одна обобщенная координата q _i Для каждой степени свободы (для удобства обозначена индексом i = 1, 2... N ), т.е. каждым способом система может изменить свою конфигурацию ; как криволинейные длины или углы поворота. Обобщенные координаты — это не то же самое, что криволинейные координаты. Количество криволинейных координат равно размерности рассматриваемого позиционного пространства (обычно 3 для трехмерного пространства), тогда как количество обобщенных координат не обязательно равно этому размеру; ограничения могут уменьшить количество степеней свободы (следовательно, количество обобщенных координат, необходимых для определения конфигурации системы), следуя общему правилу:

[ размерность позиционного пространства (обычно 3)] × [количество составляющих системы («частиц»)] — (количество ограничений )

= (количество степеней свободы ) = (количество обобщенных координат )

Для системы с N степенями свободы обобщенные координаты можно собрать в N - кортеж :

$$\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})$$

и производная по времени (здесь обозначена точкой) этого кортежа дает обобщенные скорости :

$${\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=\left({\frac {dq_{1}}{dt}},{\frac {dq_{2}}{dt}},\dots ,{\frac {dq_{N}}{dt}}\right)\equiv \mathbf {\dot {q}} =({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\dots ,{\dot {q}}_{N}).$$

Принцип виртуальной работы Даламбера

Основная статья: принцип Даламбера

Принцип Даламбера гласит, что бесконечно малая виртуальная работа, совершаемая силой при обратимых перемещениях, равна нулю, что представляет собой работу, совершаемую силой, соответствующей идеальным ограничениям системы. Идея ограничения полезна, поскольку она ограничивает возможности системы и может обеспечить шаги для решения проблемы движения системы. Уравнение принципа Даламбера:

$$\delta W={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\cdot \delta \mathbf {q} =0\,,$$

где

$${\boldsymbol {\mathcal {Q}}}=({\mathcal {Q}}_{1},{\mathcal {Q}}_{2},\dots ,{\mathcal {Q}}_{N})$$

— обобщенные силы (здесь используется алфавит Q вместо обычного Q, чтобы предотвратить конфликт с каноническими преобразованиями ниже), а q — обобщенные координаты. Это приводит к обобщенной форме законов Ньютона на языке аналитической механики:

$${\boldsymbol {\mathcal {Q}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)-{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {q} }}\,,$$

где T — полная кинетическая энергия системы, а обозначение

$${\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}=\left({\frac {\partial }{\partial q_{1}}},{\frac {\partial }{\partial q_{2}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial q_{N}}}\right)$$

— полезное сокращение (см. в матричном исчислении это обозначение ).

Ограничения

Основные статьи: Голономные ограничения , Склерономные и Реономные.

Если криволинейная система координат определяется стандартным вектором положения r и если вектор положения можно записать через обобщенные координаты q и время t в виде:

$$\mathbf {r} =\mathbf {r} (\mathbf {q} (t),t)$$

и это соотношение справедливо для всех времен t , тогда q называются голономными ограничениями . Вектор r явно зависит от t в случаях, когда ограничения меняются со временем, а не только из-за q ( t ) . Для нестационарных ситуаций ограничения также называются склерономическими , для нестационарных случаев — реономическими .

Лагранжева механика

Основные статьи: лагранжева механика и уравнения Эйлера – Лагранжа.

Введение обобщенных координат и фундаментальной функции Лагранжа:

$L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$

где T - полная кинетическая энергия , а V - полная потенциальная энергия всей системы, то либо следуя вариационному исчислению , либо используя приведенную выше формулу, - приводим к уравнениям Эйлера-Лагранжа ;

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\,,$

которые представляют собой набор N второго порядка обыкновенных дифференциальных уравнений , по одному на каждое q _i ( t ).

Эта формулировка определяет фактический путь, по которому следует движение, как выбор пути, по которому интеграл кинетической энергии по времени наименьший , предполагая, что полная энергия фиксирована, и не налагая никаких условий на время прохождения.

Лагранжева формулировка использует конфигурационное пространство системы, набор всех возможных обобщенных координат:

${\mathcal {C}}=\{\mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,,$

где $\mathbb {R} ^{N}$ является N -мерным реальным пространством (см. также обозначение построителя множеств ). Частное решение уравнений Эйлера-Лагранжа называется (конфигурационным) путём или траекторией , т.е. одним конкретным q ( t ), подчиняющимся требуемым начальным условиям . Общие решения образуют набор возможных конфигураций в зависимости от времени:

$\{\mathbf {q} (t)\in \mathbb {R} ^{N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {C}}\,,$

Конфигурационное пространство можно определить более широко и даже более глубоко в терминах топологических многообразий и касательного расслоения .

Гамильтонова механика

Основная статья: гамильтонова механика

Преобразование Лежандра лагранжиана заменяет обобщенные координаты и скорости ( q , q̇ ) на ( q , p ); обобщенные координаты и обобщенные импульсы , сопряженные с обобщенными координатами:

$\mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}},{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{2}}},\cdots {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{N}}}\right)=(p_{1},p_{2}\cdots p_{N})\,,$

и вводит гамильтониан (который выражается в обобщенных координатах и ​​импульсах):

$H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение , что также приводит к уравнениям Гамильтона :

$\mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {q}} =+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\,,$

которые теперь представляют собой набор из 2 N обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, по одному для каждого i ₍ t ) и pi _t ( q ). Другой результат преобразования Лежандра связывает производные по времени лагранжиана и гамильтониана:

${\frac {dH}{dt}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,,$

которое часто считают одним из уравнений движения Гамильтона в дополнение к остальным. Обобщенные импульсы можно записать через обобщенные силы так же, как второй закон Ньютона:

$\mathbf {\dot {p}} ={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\,.$

Аналогично конфигурационному пространству, набор всех импульсов представляет собой обобщенное импульсное пространство :

${\mathcal {M}}=\{\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,.$

(«Пространство импульса» также относится к « k -пространству»; набор всех волновых векторов (задаваемых соотношениями Де Бройля ), используемых в квантовой механике и теории волн )

Набор всех положений и импульсов образует фазовое пространство :

${\mathcal {P}}={\mathcal {C}}\times {\mathcal {M}}=\{(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )\in \mathbb {R} ^{2N}\}\,,$

то есть декартово произведение конфигурационного пространства и обобщенного пространства импульсов.

Частное решение уравнений Гамильтона называется фазовым путем , конкретной кривой ( q ( t ), p ( t )) при соблюдении требуемых начальных условий. Совокупность всех фазовых траекторий, общее решение дифференциальных уравнений, представляет собой фазовый портрет :

$\{(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))\in \mathbb {R} ^{2N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {P}}\,,$

Скобка Пуассона

Основная статья: скобка Пуассона

Все динамические переменные могут быть получены из положения q , импульса p и времени t и записаны как их функции: A = A ( q , p , t ). Если A ( q , p , t ) и B ( q , p , t ) две скалярные динамические переменные, скобка Пуассона определяется обобщенными координатами и импульсами:

${\begin{aligned}\{A,B\}\equiv \{A,B\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&={\frac {\partial A}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial B}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial A}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial B}{\partial \mathbf {q} }}\\&\equiv \sum _{k}{\frac {\partial A}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial B}{\partial q_{k}}}\,,\end{aligned}}$

Вычисление полной производной одного из них, скажем A , и подстановка уравнений Гамильтона в результат приводит к временной эволюции A :

${\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}\,.$

Это уравнение в A тесно связано с уравнением движения в Гейзенберга картине квантовой механики , в которой классические динамические переменные становятся квантовыми операторами (обозначены шляпками (^)), а скобка Пуассона заменяется коммутатором операторов посредством формулы Дирака. каноническое квантование :

$\{A,B\}\rightarrow {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]\,.$

лагранжиана

Ниже приведены перекрывающиеся свойства функций Лагранжа и Гамильтона.

• Все отдельные обобщенные координаты q _i ( t ), скорости q̇ _i ( t ) и импульсы p _i ( t ) для каждой степени свободы взаимно независимы. Явная зависимость функции от времени означает, что функция фактически включает время t как переменную в дополнение к q ( t ), p ( t ), а не просто как параметр через q ( t ) и p ( t ), что означало бы явная независимость от времени.
• Лагранжиан инвариантен относительно сложения полной производной по времени любой функции от q' и t , то есть:
  $$L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,$$
  поэтому каждый лагранжиан L и L описывают одно и то же движение . Другими словами, лагранжиан системы не уникален.
• Аналогично, гамильтониан инвариантен относительно добавления частной производной по времени любой функции от q , p и t , то есть:
  $$K=H+{\frac {\partial }{\partial t}}G(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\,,$$
  ( К в данном случае — часто используемая буква). Это свойство используется в канонических преобразованиях (см. ниже).
• Если лагранжиан не зависит от некоторых обобщенных координат, то обобщенные импульсы, сопряженные с этими координатами, являются константами движения , т. е. сохраняются , это непосредственно следует из уравнений Лагранжа:
  $${\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\,\rightarrow \,{\frac {dp_{j}}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0$$
  Такие координаты являются « циклическими » или «игнорируемыми». Можно показать, что гамильтониан также цикличен точно в тех же обобщенных координатах.
• Если лагранжиан не зависит от времени, гамильтониан также не зависит от времени (т. е. оба постоянны во времени).
• Если кинетическая энергия является однородной функцией обобщенных скоростей степени 2, а лагранжиан явно не зависит от времени, то:
  $$T((\lambda {\dot {q}}_{i})^{2},(\lambda {\dot {q}}_{j}\lambda {\dot {q}}_{k}),\mathbf {q} )=\lambda ^{2}T(({\dot {q}}_{i})^{2},{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k},\mathbf {q} )\,,\quad L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )\,,$$
  где λ — константа, то гамильтониан будет полной сохраняющейся энергией , равной полной кинетической и потенциальной энергиям системы:
  $$H=T+V=E\,.$$
  Это основа уравнения Шрёдингера , его можно получить напрямую, вставив квантовые операторы .

Принцип наименьшего действия

По мере развития системы q прослеживает путь через конфигурационное пространство (показаны только некоторые). Путь, по которому проходит система (красный цвет), имеет стационарное действие (δ S = 0) при небольших изменениях конфигурации системы (δ q ).

Действие — еще одна величина в аналитической механике, определяемая как функционал лагранжиана:

${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt\,.$

Общим способом нахождения уравнений движения по действию является принцип наименьшего действия :

$\delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0\,,$

где время отправления t ₁ и время прибытия t ₂ фиксированы. Термин «путь» или «траектория» относится к эволюции системы во времени как пути через конфигурационное пространство. ${\mathcal {C}}$другими словами, q ( t ) прослеживает путь в ${\mathcal {C}}$. Путь, по которому действие наименьшее, — это путь, выбранный системой.

Из этого принципа все уравнения движения можно вывести в классической механике. Этот подход можно распространить на поля, а не на систему частиц (см. ниже), и он лежит в основе с интегралом по траекториям формулировки квантовой механики . и используется для расчета геодезического движения в общей теории относительности .

Механика Гамильтона-Якоби

Канонические преобразования

Инвариантность гамильтониана (при добавлении частной производной по времени произвольной функции от p , q и t гамильтониан в одном наборе координат q и импульсов p ) позволяет преобразовать в новый набор Q = Q ( q , p , t ) и P = P ( q , p , t ) четырьмя возможными способами:

${\begin{aligned}&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)\\\end{aligned}}$

С таким ограничением на P и Q , что преобразованная гамильтонова система имеет вид:

$\mathbf {\dot {P}} =-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {Q}} =+{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\,,$

указанные выше преобразования называются каноническими преобразованиями , каждая функция G _n называется производящей функцией « n -го рода» или «типа -n ». Преобразование координат и импульсов может позволить упростить решение уравнений Гамильтона для данной задачи.

Выбор Q и P совершенно произволен, но не каждый выбор приводит к каноническому преобразованию. Одним из простых критериев каноничности преобразований q → Q и p → P является то, что скобка Пуассона равна единице,

$\{Q_{i},P_{i}\}=1$

для всех = 1, 2,... N. i Если это не так, то преобразование не является каноническим.

Уравнение Гамильтона – Якоби

Полагая канонически преобразованный гамильтониан K = 0 и производящую функцию типа 2 равной главной функции Гамильтона (также действие ${\mathcal {S}}$) плюс произвольная константа C :

$G_{2}(\mathbf {q} ,t)={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+C\,,$

обобщенные импульсы становятся:

$\mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }}$

и P является постоянным, то уравнение Гамильтона-Якоби (HJE) может быть получено из канонического преобразования типа 2:

$H=-{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}$

где H - гамильтониан, как и раньше:

$H=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }},t\right)$

Другая связанная функция - характеристическая функция Гамильтона.

$W(\mathbf {q} )={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+Et$

используется для решения HJE путем аддитивного разделения переменных для независимого от времени гамильтониана H .

Изучение решений уравнений Гамильтона–Якоби естественным образом приводит к изучению симплектических многообразий и симплектической топологии . В этой формулировке решения уравнений Гамильтона–Якоби представляют собой интегральные кривые гамильтоновых векторных полей .

Рутианская механика

Основная статья: Рутианская механика

Механика Рутиана — это гибридная формулировка механики Лагранжа и Гамильтона, которая используется нечасто, но особенно полезна для удаления циклических координат. Если лагранжиан системы имеет s циклических координат q = q ₁ , q ₂ , ... q _s с сопряженными импульсами p = p ₁ , p ₂ , ... p _s , а остальные координаты нециклические и обозначаемые ζ = ζ ₁ , ζ ₁ , ..., ζ _{N − s} , их можно удалить, введя рутиан :

$R=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,{\boldsymbol {\zeta }},{\dot {\boldsymbol {\zeta }}})\,,$

что приводит к системе 2s гамильтоновых уравнений для циклических координат q ,

${\dot {\mathbf {q} }}=+{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {p} }}\,,\quad {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {q} }}\,,$

и N − s уравнений Лагранжа в нециклических координатах ζ .

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\boldsymbol {\zeta }}}}}={\frac {\partial R}{\partial {\boldsymbol {\zeta }}}}\,.$

При такой настройке, хотя рутиан имеет форму гамильтониана, его можно рассматривать как лагранжиан с N - s степенями свободы.

Координаты q не обязательно должны быть циклическими, разбиение между координатами, входящими в уравнения Гамильтона, и координатами, входящими в уравнения Лагранжа, произвольно. Просто удобно позволить уравнениям Гамильтона удалить циклические координаты, оставив нециклические координаты лагранжевым уравнениям движения.

Апеллянская механика

Основная статья: уравнение движения Аппелла

Уравнение движения Аппелла включает обобщенные ускорения, вторые производные по времени от обобщенных координат:

$\alpha _{r}={\ddot {q}}_{r}={\frac {d^{2}q_{r}}{dt^{2}}}\,,$

а также обобщенные силы, упомянутые выше в принципе Даламбера. Уравнения

${\mathcal {Q}}_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}\,,\quad S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}^{2}\,,$

где

$\mathbf {a} _{k}={\ddot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}$

— ускорение k- частицы, вторая производная по времени ее вектора положения. Каждое ускорение a _k выражается через обобщенные ускорения α _r , аналогично каждое ускорение a _k выражается через обобщенные координаты q _r .

Классическая теория поля

поля

Обобщенные координаты применяются к дискретным частицам. Для N скалярных полей φ _i ( r , t ), где i = 1, 2, ... N , лагранжева плотность является функцией этих полей и их пространственных и временных производных, а также, возможно, самих пространственных и временных координат:

$${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\dots ,\partial _{t}\phi _{1},\partial _{t}\phi _{2},\ldots ,\mathbf {r} ,t)\,.$$

а уравнения Эйлера–Лагранжа имеют аналог для полей:

$$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}\,,$$

где ∂ _µ обозначает 4-градиент и соглашение о суммировании использовалось . Для N скалярных полей эти уравнения лагранжева поля представляют собой набор N дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка в полях, которые в общем случае будут связанными и нелинейными.

Эта формулировка скалярного поля может быть распространена на векторные поля , тензорные поля и спинорные поля .

Лагранжиан представляет собой объемный интеграл от плотности лагранжиана:

$$L=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {L}}\,dV\,.$$

Первоначально разработанная для классических полей, приведенная выше формулировка применима ко всем физическим полям в классических, квантовых и релятивистских ситуациях: таким как ньютоновская гравитация , классический электромагнетизм , общая теория относительности и квантовая теория поля . Это вопрос определения правильной плотности лагранжа для создания правильного уравнения поля.

поля

Соответствующие плотности полей «импульса», сопряженные с N скалярными полями φ _i ( r , t ), равны:

$$\pi _{i}(\mathbf {r} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,\quad {\dot {\phi }}_{i}\equiv {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}$$

где в этом контексте лишняя точка обозначает частичную производную по времени, а не полную производную по времени. Плотность гамильтониана ${\mathcal {H}}$ определяется по аналогии с механикой:

$${\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {r} ,t)=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\phi }}_{i}(\mathbf {r} ,t)\pi _{i}(\mathbf {r} ,t)-{\mathcal {L}}\,.$$

Уравнения движения:

$${\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi _{i}}}\,,$$

где вариационная производная

$${\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}$$

должны использоваться вместо простых частных производных. Для N полей эти уравнения гамильтоновых полей представляют собой набор из 2 N дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, которые, как правило, будут связанными и нелинейными.

Опять же, объемный интеграл от плотности гамильтониана — это гамильтониан

$$H=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {H}}\,dV\,.$$

Нётер

Преобразования симметрии в классическом пространстве и времени

Каждое преобразование может быть описано оператором (т.е. функцией, воздействующей на переменные положения r или импульса p для их изменения). Ниже приведены случаи, когда оператор не меняет r или p , т.е. симметрии.

Трансформация	Оператор	Позиция	Импульс
Трансляционная симметрия	$X(\mathbf {a} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a}$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p}$
Перевод времени	$U(t_{0})$	$\mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})$	$\mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})$
Вращательная инвариантность	$R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )$	$\mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p}$
Преобразования Галилея	$G(\mathbf {v} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}$
Паритет	$P$	$\mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}$
Т-симметрия	$T$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)$

где R ( n̂ , θ) — матрица вращения вокруг оси, определяемой единичным вектором n̂ и углом θ.

Теорема Нётер

Теорема Нётер утверждает, что непрерывное преобразование симметрии действия соответствует закону сохранения , т.е. действие (и, следовательно, лагранжиан) не изменяется при преобразовании, параметризованном параметром s :

$$L[q(s,t),{\dot {q}}(s,t)]=L[q(t),{\dot {q}}(t)]$$

лагранжиан описывает одно и то же движение независимо от s , которым может быть длина, угол поворота или время. Соответствующие импульсы q сохранятся.

См. также

• Лагранжева механика
• гамильтонова механика
• Теоретическая механика
• Классическая механика
• Динамика
• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Принцип Гамильтона
• Кинематика
• Кинетика (физика)
• Неавтономная механика
• Уравнение Удвадии–Калабы