Производящая функция (физика)

Эта статья о производящих функциях в физике. Информацию о производящих функциях в математике см. в разделе « Производящая функция» .

В физике, а точнее в гамильтоновой механике , производящая функция — это, грубо говоря, функция, частные производные которой порождают дифференциальные уравнения, определяющие динамику системы. Типичными примерами являются статистическая сумма статистической механики, гамильтониан и функция, которая действует как мост между двумя наборами канонических переменных при выполнении канонического преобразования .

В канонических преобразованиях

Существует четыре основные генерирующие функции, которые обобщены в следующей таблице:

Генерирующая функция	Его производные
$F=F_{1}(q,Q,t)\,\!$	$p=~~{\frac {\partial F_{1}}{\partial q}}\,\!$ и $P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q}}\,\!$
$F=F_{2}(q,P,t)=F_{1}+QP\,\!$	$p=~~{\frac {\partial F_{2}}{\partial q}}\,\!$ и $Q=~~{\frac {\partial F_{2}}{\partial P}}\,\!$
$F=F_{3}(p,Q,t)=F_{1}-qp\,\!$	$q=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}}\,\!$ и $P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}}\,\!$
$F=F_{4}(p,P,t)=F_{1}-qp+QP\,\!$	$q=-{\frac {\partial F_{4}}{\partial p}}\,\!$ и $Q=~~{\frac {\partial F_{4}}{\partial P}}\,\!$

Пример

Иногда данный гамильтониан можно превратить в гамильтониан, похожий на гамильтониан гармонического осциллятора , который

$H=aP^{2}+bQ^{2}.$

Например, с гамильтонианом

$H={\frac {1}{2q^{2}}}+{\frac {p^{2}q^{4}}{2}},$

где p — обобщенный импульс, а q — обобщенная координата, хорошим каноническим преобразованием было бы выбрать

$P=pq^{2}{\text{ and }}Q={\frac {-1}{q}}.\,$ ( 1 )

Это превращает гамильтониан в

$H={\frac {Q^{2}}{2}}+{\frac {P^{2}}{2}},$

который имеет форму гамильтониана гармонического осциллятора.

Производящая функция F для этого преобразования имеет третий вид:

$F=F_{3}(p,Q).$

Чтобы найти F явно, используйте уравнение для его производной из таблицы выше:

$P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}},$

и подставим выражение для P из уравнения ( 1 ), выраженное через p и Q :

${\frac {p}{Q^{2}}}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}}$

Интегрирование этого значения по Q приводит к уравнению для производящей функции преобразования, заданному уравнением ( 1 ):

$F_{3}(p,Q)={\frac {p}{Q}}$

Чтобы убедиться, что это правильная производящая функция, убедитесь, что она соответствует ( 1 ):

$q=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}}={\frac {-1}{Q}}$

См. также

• Уравнение Гамильтона – Якоби
• скобка Пуассона

Дальнейшее чтение

• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Коннектикут ; Сафко, Дж. Л. (2001). Классическая механика (3-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-65702-9 .