Сохраняемое количество

Сохраняющаяся величина — это свойство или значение , которое остается постоянным в системе с течением времени , даже когда в системе происходят изменения. В математике сохраняющаяся величина динамической системы формально определяется как функция зависимых переменных , значение которых остается постоянным вдоль каждой траектории системы. ^[1]

Не все системы имеют сохраняющиеся количества, и сохраняющиеся количества не уникальны, поскольку всегда можно получить другое такое же количество, применив подходящую функцию , например, добавив константу, к сохраняемому количеству.

Поскольку многие законы физики выражают тот или иной вид сохранения , сохраняющиеся величины обычно существуют в математических моделях физических систем . Например, любая модель классической механики будет иметь механическую энергию как сохраняющуюся величину, пока задействованные силы консервативны .

Дифференциальные уравнения [ править ]

Для системы дифференциальных уравнений первого порядка

{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)

где жирным шрифтом обозначены векторные величины, скалярная функция H ( r ) является сохраняющейся величиной системы, если для любого времени и начальных условий в некоторой конкретной области

{\frac {dH}{dt}}=0

Обратите внимание, что, используя правило многомерной цепочки ,

{\frac {dH}{dt}}=\nabla H\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)

так что определение можно записать в виде

\nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)=0

который содержит информацию, специфичную для системы, и может быть полезен при поиске сохраняющихся величин или определении того, существует ли сохраняющаяся величина.

Гамильтонова механика [ править ]

Для системы, определяемой гамильтонианом ${\mathcal {H}}$ , функция f обобщенных координат q и обобщенных импульсов p имеет эволюцию во времени

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}

и, следовательно, сохраняется тогда и только тогда, когда ${\textstyle \{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}=0}$ . Здесь $\{f,{\mathcal {H}}\}$ обозначает скобку Пуассона .

Лагранжева механика [ править ]

Предположим, что система определяется лагранжианом L с обобщенными координатами q . Если L не имеет явной зависимости от времени (поэтому ${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=0}$ ), то энергия E, определяемая формулой

E=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right]-L

сохраняется.

Кроме того, если ${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial q}}=0}$ , то q называется циклической координатой, а обобщенный импульс p определяется формулой

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}

сохраняется. Это можно получить с помощью уравнений Эйлера-Лагранжа .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Бланшар, Девани, Холл (2005). Дифференциальные уравнения . Брукс/Коул Паблишинг Ко. с. 486. ИСБН 0-495-01265-3 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[1] Бланшар, Девани, Холл (2005). Дифференциальные уравнения . Брукс/Коул Паблишинг Ко. с. 486. ИСБН 0-495-01265-3 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[1]