Траектория

Иллюстрация, показывающая направленную траекторию пули, выпущенной по поднимающейся в гору цели.

Траектория движется или путь полета — это путь, по которому пространстве в объект массы зависимости в от . времени В классической механике траектория определяется гамильтоновой механикой через канонические координаты ; следовательно, полная траектория определяется положением и импульсом одновременно.

Масса может быть снарядом или спутником . ^[1] Например, это может быть орбита — путь планеты , астероида или кометы при ее движении вокруг центральной массы .

В теории управления траектория — это упорядоченный во времени набор состояний ( динамической системы см., например, карту Пуанкаре ). В дискретной математике траекторией называется последовательность $(f^{k}(x))_{k\in \mathbb {N} }$ значений, рассчитанных путем многократного применения отображения $f$ к элементу $x$ своего источника.

Физика траекторий [ править ]

Знакомый пример траектории — путь снаряда, например брошенного мяча или камня. В существенно упрощенной модели объект движется только под действием однородного силового гравитационного поля . Это может быть хорошим приближением для камня, брошенного на короткие расстояния, например, на поверхность Луны . В этом простом приближении траектория принимает форму параболы . Обычно при определении траекторий может возникнуть необходимость учитывать неоднородные силы гравитации и сопротивление воздуха ( сопротивление и аэродинамику ). Этому посвящена дисциплина баллистика .

Одним из замечательных достижений механики Ньютона был вывод Кеплером законов движения планет . В гравитационном поле точечной массы или сферически-симметричной протяженной массы (например, Солнца ) траектория движущегося объекта представляет собой коническое сечение , обычно эллипс или гиперболу . ^[а] Это с достаточно хорошим приближением согласуется с наблюдаемыми орбитами планет , комет и искусственных космических кораблей, хотя если комета проходит близко к Солнцу, то на нее также влияют другие силы, такие как солнечный ветер и радиационное давление , которые изменяют орбите и заставит комету выбросить материал в космос.

Теория Ньютона позже развилась в раздел теоретической физики, известный как классическая механика . Он использует математику дифференциального исчисления (которое также было начато Ньютоном в юности). На протяжении веков бесчисленное количество учёных внесли свой вклад в развитие этих двух дисциплин. Классическая механика стала наиболее яркой демонстрацией силы рационального мышления, то есть разума , как в науке, так и в технике. Это помогает понять и предсказать огромный спектр явлений ; траектории — это всего лишь один пример.

Рассмотрим частицу массы $m$ , двигаясь в потенциальном поле $V$ . С физической точки зрения масса представляет собой инерцию , а поле $V$ представляет собой внешние силы особого рода, известные как «консервативные». Данный $V$ в каждой соответствующей позиции есть способ определить связанную с ней силу, которая будет действовать в этой позиции, скажем, из гравитации. Однако не все силы можно выразить таким образом.

Движение частицы описывается дифференциальным уравнением второго порядка

m{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V({\vec {x}}(t)){\text{ with }}{\vec {x}}=(x,y,z).

В правой части сила выражена через $\nabla V$ , градиент потенциала, взятый в точках траектории. Ньютона Это математическая форма второго закона движения : для таких ситуаций сила равна произведению массы на ускорение.

Примеры [ править ]

Равномерная гравитация, ни сопротивление, ни ветер [ править ]

Траектории массы, брошенной под углом 70°,
без сопротивления
с сопротивлением Стокса
с сопротивлением Ньютона

Идеальный случай движения снаряда в однородном гравитационном поле при отсутствии других сил (например, сопротивления воздуха) впервые исследовал Галилео Галилей . Пренебрежение влиянием атмосферы на формирование траектории считалось бы бесполезной гипотезой практичными исследователями на протяжении всего Средневековья в Европе . Тем не менее, предвидя существование вакуума , который позже был продемонстрирован на Земле его соавтором Евангелистой Торричелли. ^{[ нужна ссылка ]}Галилей смог положить начало будущей науке механике . ^{[ нужна ссылка ]} В почти вакууме, как оказалось, например, на Луне , его упрощенная параболическая траектория оказывается по существу правильной.

В последующем анализе мы выведем уравнение движения снаряда, измеренное в инерциальной системе отсчета, покоящейся относительно земли. С рамкой связана правая система координат, начало которой находится в точке старта снаряда. $x$ -ось касается земли, а $y$ ось перпендикулярна ей (параллельна линиям гравитационного поля). Позволять $g$ быть ускорением силы тяжести . Относительно равнинной местности пусть начальная горизонтальная скорость равна $v_{h}=v\cos(\theta )$ а начальная вертикальная скорость будет $v_{v}=v\sin(\theta )$ . Также будет показано, диапазон что $2v_{h}v_{v}/g$ , а максимальная высота равна $v_{v}^{2}/2g$ . Максимальная дальность при заданной начальной скорости $v$ получается, когда $v_{h}=v_{v}$ , т.е. начальный угол равен 45 $^{\circ }$ . Этот диапазон $v^{2}/g$ , а максимальная высота на максимальной дальности равна $v^{2}/(4g)$ .

Вывод уравнения движения [ править ]

Предположим, что движение снаряда измеряется в системе свободного падения , которая находится в точке ( x , y ) = (0,0) в момент t = 0. Уравнение движения снаряда в этой системе координат (по принципу эквивалентности) ) было бы $y=x\tan(\theta )$ . Координаты этой системы свободного падения относительно нашей инерциальной системы отсчета будут следующими: $y=-gt^{2}/2$ . То есть, $y=-g(x/v_{h})^{2}/2$ .

Теперь, переведя обратно в инерциальную систему координат, координаты снаряда примут вид $y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2$ То есть:

y=-{g\sec ^{2}\theta  \over 2v_{0}^{2}}x^{2}+x\tan \theta ,

(где v ₀ — начальная скорость, $\theta$ — угол возвышения, а g — ускорение свободного падения).

Дальность и высота [ править ]

Диапазон — это наибольшее расстояние , R в которое объект проходит вдоль оси X секторе I. vi Начальная скорость это — _{скорость ,} с которой указанный объект запускается из начальной точки. Начальный угол θi угол , _{— это} под которым указанный объект выпускается. G — соответствующее гравитационное притяжение объекта в нулевой среде.

R={v_{i}^{2}\sin 2\theta _{i} \over g}

Высота траектории h . — это наибольшая параболическая высота, которую достигает объект на своей

h={v_{i}^{2}\sin ^{2}\theta _{i} \over 2g}

Угол подъема [ править ]

По углу подъема $\theta$ и начальная скорость $v$ :

v_{h}=v\cos \theta ,\quad v_{v}=v\sin \theta \;

давая диапазон как

R=2v^{2}\cos(\theta )\sin(\theta )/g=v^{2}\sin(2\theta )/g\,.

Это уравнение можно перестроить, чтобы найти угол для требуемого диапазона.

\theta ={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}\left({\frac {gR}{v^{2}}}\right)

(Уравнение II: угол запуска снаряда)

Обратите внимание, что функция синуса такова, что существует два решения для $\theta$ для заданного диапазона $d_{h}$ . Угол $\theta$ дающий максимальный диапазон, можно найти, рассматривая производную или $R$ относительно $\theta$ и установив его на ноль.

{\mathrm {d} R \over \mathrm {d} \theta }={2v^{2} \over g}\cos(2\theta )=0

которое имеет нетривиальное решение в $2\theta =\pi /2=90^{\circ }$ , или $\theta =45^{\circ }$ . Тогда максимальная дальность $R_{\max }=v^{2}/g\,$ . Под этим углом $\sin(\pi /2)=1$ , поэтому максимальная полученная высота равна ${v^{2} \over 4g}$ .

Чтобы найти угол, дающий максимальную высоту при заданной скорости, вычислите производную максимальной высоты. $H=v^{2}\sin ^{2}(\theta )/(2g)$ относительно $\theta$ , то есть ${\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)$ который равен нулю, когда $\theta =\pi /2=90^{\circ }$ . Итак, максимальная высота $H_{\mathrm {max} }={v^{2} \over 2g}$ получается, когда снаряд выпущен прямо вверх.

Орбитальные объекты [ править ]

Если вместо однородной направленной вниз гравитационной силы мы рассмотрим два тела, вращающиеся по орбитам с взаимной гравитацией между ними, мы получим законы движения планет Кеплера . Их вывод был одной из главных работ Исаака Ньютона и во многом послужил мотивацией для развития дифференциального исчисления .

Ловля мячей [ править ]

Если снаряд, такой как бейсбольный или крикетный мяч, движется по параболической траектории с незначительным сопротивлением воздуха, и если игрок расположен так, чтобы поймать его при падении, он увидит, что его угол возвышения постоянно увеличивается на протяжении всего полета. Тангенс угла подъема пропорционален времени, прошедшему с момента поднятия мяча в воздух, обычно при ударе битой. Даже когда мяч действительно опускается, ближе к концу полета, угол его подъема, видимый игроком, продолжает увеличиваться. Таким образом, игрок видит его так, как будто он поднимается вертикально с постоянной скоростью. Нахождение места, из которого кажется, что мяч устойчиво поднимается, помогает игроку занять правильную позицию для ловли. Если он находится слишком близко к игроку с битой, отбившему мяч, будет казаться, что он поднимается с возрастающей скоростью. Если он находится слишком далеко от игрока с битой, будет казаться, что он быстро замедляется, а затем начинает опускаться.

Примечания [ править ]

^ Теоретически орбита может быть радиальной прямой, кругом или параболой. Это предельные случаи, вероятность возникновения которых в реальности равна нулю.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Мета, Рохит. «11». Принципы физики . п. 378.

Внешние ссылки [ править ]

Апплет Projectile Motion Flash. Архивировано 14 сентября 2008 г. в Wayback Machine :)
Калькулятор траектории
Интерактивное моделирование движения снаряда.
Projectile Lab, симулятор траектории на JavaScript
Движение параболического снаряда: стрельба безобидным транквилизатором по падающей обезьяне Роберто Кастилья-Мелендес, Роксана Рамирес-Эррера и Хосе Луис Гомес-Муньос, Демонстрационный проект Вольфрама .
Траектория , ScienceWorld.
Java-симуляция движения снаряда с сопротивлением воздуха первого порядка. Архивировано 3 июля 2012 года в Wayback Machine.
Java-моделирование движения снаряда; нацеливание решений, парабола безопасности.

[2] Теоретически орбита может быть радиальной прямой, кругом или параболой. Это предельные случаи, вероятность возникновения которых в реальности равна нулю.

[1] Мета, Рохит. «11». Принципы физики . п. 378.

[1]

[а]