Гравитационный потенциал

«Гравитационный потенциал» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о гравитационном потенциале Земли, см. Геопотенциал . Чтобы узнать о поле гравитационных потенциалов, см. Гравитационное поле .

В классической механике гравитационный потенциал представляет собой скалярное поле, связывающее с каждой точкой пространства работу ( передаваемую энергию ) на единицу массы, которая потребуется для перемещения объекта в эту точку из фиксированной точки отсчета. Он аналогичен электрическому потенциалу , в котором играет масса роль заряда . Точка отсчета, где потенциал равен нулю, по соглашению находится бесконечно далеко от любой массы, что приводит к отрицательному потенциалу на любом конечном расстоянии.

В математике гравитационный потенциал также известен как потенциал Ньютона и является фундаментальным при изучении теории потенциала . Его также можно использовать для решения электростатических и магнитостатических полей, создаваемых однородно заряженными или поляризованными эллипсоидными телами.

энергия

Основная статья: Гравитационная потенциальная энергия

Гравитационный потенциал ( V ) в определенном месте — это гравитационная потенциальная энергия ( U ) в этом месте на единицу массы:

$$V={\frac {U}{m}},$$

где m — масса объекта. Потенциальная энергия равна (по величине, но отрицательна) работе, совершаемой гравитационным полем по перемещению тела в заданное положение в пространстве из бесконечности. Если тело имеет массу 1 килограмм, то потенциальная энергия, приписываемая этому телу, равна гравитационному потенциалу. Таким образом, потенциал можно интерпретировать как отрицательную работу, совершаемую гравитационным полем, перемещающим единицу массы из бесконечности.

В некоторых ситуациях уравнения можно упростить, предположив, что поле практически не зависит от положения. близкой к поверхности Земли, гравитационное ускорение g Например, в области , можно считать постоянным. В этом случае разница потенциальной энергии от одной высоты до другой в хорошем приближении линейно связана с разницей высот:

$$\Delta U\approx mg\Delta h.$$

Математическая форма

Гравитационный потенциал V на расстоянии x от точечной массы массы M можно определить как работу W , которую необходимо совершить внешнему агенту, чтобы перенести единицу массы из бесконечности в эту точку:

$$V(\mathbf {x} )={\frac {W}{m}}={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} ={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}{\frac {GmM}{x^{2}}}dx=-{\frac {GM}{x}},$$

где G — гравитационная постоянная , а F — гравитационная сила. Произведение GM является стандартным гравитационным параметром и часто известно с более высокой точностью, чем G или M по отдельности. Потенциал имеет единицы энергии на массу, например, Дж/кг в системе МКС . По соглашению, там, где оно определено, оно всегда отрицательно, а поскольку x стремится к бесконечности, оно приближается к нулю.

Гравитационное поле и, следовательно, ускорение небольшого тела в пространстве вокруг массивного объекта представляет собой отрицательный градиент гравитационного потенциала. Таким образом, отрицательный отрицательный градиент дает положительное ускорение по направлению к массивному объекту. Поскольку потенциал не имеет угловых составляющих, его градиент равен

$$\mathbf {a} =-{\frac {GM}{x^{3}}}\mathbf {x} =-{\frac {GM}{x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},$$

где x — вектор длины x, направленный от точечной массы к малому телу и ${\hat {\mathbf {x} }}$ — единичный вектор, направленный от точечной массы к малому телу. Таким образом, величина ускорения подчиняется закону обратных квадратов :

$$|\mathbf {a} |={\frac {GM}{x^{2}}}.$$

Потенциал, связанный с распределением масс , представляет собой суперпозицию потенциалов точечных масс. Если распределение масс представляет собой конечный набор точечных масс, и если точечные массы расположены в точках x ₁ , ..., x _n и имеют массы m ₁ , ..., m _n , то потенциал распределения в точке х находится

$$V(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.$$

Точки x и r , где r содержится в распределенной массе (серый цвет) и дифференциальной массе dm ( r ), расположенной в точке r .

Если распределение массы задано как мера массы dm в трехмерном евклидовом пространстве R ³ , то потенциал представляет собой − свертку G / | р | с дм . В хороших случаях это равно интегралу

$$V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\,dm(\mathbf {r} ),$$

где | Икс - р | — расстояние между точками x и r . Если существует функция ρ ( r ), представляющая плотность распределения в точке r , так что dm ( r ) = ρ ( r ) dv ( r ) , где dv ( r ) — евклидов элемент объёма , то гравитационный потенциал равен объема интеграл

$$V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\,\rho (\mathbf {r} )dv(\mathbf {r} ).$$

Если V — потенциальная функция, исходящая из непрерывного распределения массы ρ ( r ), то ρ можно восстановить с помощью оператора Лапласа , Δ :

$$\rho (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x} ).$$

Это справедливо поточечно, если ρ непрерывен и равен нулю вне ограниченного множества. В общем случае мера массы dm может быть восстановлена ​​таким же образом, если оператор Лапласа взят в смысле распределений . Как следствие, гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона . См. также функцию Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными и ньютоновского потенциала .

Интеграл может быть выражен через известные трансцендентные функции для всех эллипсоидальных форм, включая симметричные и вырожденные. К ним относятся сфера, где три полуоси равны; сплюснутый (см. опорный эллипсоид ) и вытянутый сфероиды, у которых две полуоси равны; вырожденные, где одна полуось бесконечна (эллиптический и круговой цилиндры), и неограниченный лист, где две полуоси бесконечны. Все эти формы широко используются в приложениях интеграла гравитационного потенциала (кроме константы G , где 𝜌 — постоянная плотность заряда) к электромагнетизму.

Сферическая симметрия

Сферически симметричное распределение массы ведет себя для наблюдателя совершенно вне распределения, как если бы вся масса была сосредоточена в центре и, таким образом, эффективно как точечная масса по теореме о оболочках . На поверхности земли ускорение дается так называемой стандартной силой тяжести g , примерно 9,8 м/с. ² , хотя это значение незначительно меняется в зависимости от широты и высоты. Величина ускорения на полюсах немного больше, чем на экваторе, поскольку Земля представляет собой сплюснутый сфероид .

В рамках сферически-симметричного распределения массы можно решить уравнение Пуассона в сферических координатах . Внутри однородного сферического тела радиуса R , плотности ρ и массы m гравитационная сила g внутри сферы изменяется линейно с расстоянием r от центра, определяя гравитационный потенциал внутри сферы, который равен

$$V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho \left[r^{2}-3R^{2}\right]={\frac {Gm}{2R^{3}}}\left[r^{2}-3R^{2}\right],\qquad r\leq R,$$

которая дифференцируемо связана с потенциальной функцией снаружи сферы (см. рисунок вверху).

Общая теория относительности

См. Также: Гравитационное ускорение § Общая теория относительности и Гравитационное поле § Общая теория относительности.

В общей теории относительности гравитационный потенциал заменяется метрическим тензором . Когда гравитационное поле слабое и источники движутся очень медленно по сравнению со скоростью света, общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации, и метрический тензор можно расширить с точки зрения гравитационного потенциала.

расширение

Основные статьи: Сферические мультипольные моменты и мультипольное расширение

Потенциал в точке x определяется выражением

$$V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\ dm(\mathbf {r} ).$$

Иллюстрация распределения массы (серого цвета) с центром масс в качестве начала векторов x и r и точкой, в которой вычисляется потенциал, в начале вектора x .

Потенциал можно разложить в ряд полиномов Лежандра . Представьте точки x и r как векторы положения относительно центра масс. Знаменатель интеграла выражается как квадратный корень из квадрата, что дает

$${\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {|\mathbf {x} |^{2}-2\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} +|\mathbf {r} |^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {1}{|\mathbf {x} |}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {1-2{\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}$$

где в последнем интеграле r = | р | и θ — угол между x и r .

(См. «Математическая форма».) Подынтегральная функция может быть разложена в ряд Тейлора по Z = r /| х | , путем явного вычисления коэффициентов. Менее трудоемкий способ достижения того же результата — использование обобщенной биномиальной теоремы . Полученный ряд является производящей функцией полиномов Лежандра:

$$\left(1-2XZ+Z^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\ =\sum _{n=0}^{\infty }Z^{n}P_{n}(X)$$

действителен для | Х | ≤ 1 и | Я | < 1 . Коэффициенты P _n являются полиномами Лежандра степени n . Следовательно, коэффициенты Тейлора подынтегрального выражения задаются полиномами Лежандра от X = cos θ . Таким образом, потенциал можно разложить в ряд, сходящийся для позиций x таких, что r < | х | для всех массовых элементов системы (т. е. вне сферы с центром в центре масс, окружающей систему):

$${\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta )\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left(1+\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}+\cdots \right)\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}$$

Интеграл ${\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}$ – составляющая центра масс в направлении x ; это исчезает, поскольку вектор x исходит из центра масс. Итак, подведение интеграла под знак суммы дает

$$V(\mathbf {x} )=-{\frac {GM}{|\mathbf {x} |}}-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}dm(\mathbf {r} )+\cdots$$

Это показывает, что удлинение тела вызывает меньший потенциал в направлении удлинения и более высокий потенциал в перпендикулярных направлениях по сравнению с потенциалом, обусловленным сферической массой, если сравнивать случаи с одинаковым расстоянием до центра масс. (Если сравнивать случаи с одинаковым расстоянием до поверхности , то получится обратное.)

Числовые значения

Абсолютное значение гравитационного потенциала в ряде мест с учетом гравитации от Земля Солнце , ; и Млечный Путь приведены в следующей таблице т.е. объекту на поверхности Земли потребуется 60 МДж/кг, чтобы «покинуть» гравитационное поле Земли, еще 900 МДж/кг, чтобы также покинуть гравитационное поле Солнца, и более 130 ГДж/кг, чтобы покинуть гравитационное поле Млечного Пути. Потенциал равен половине квадрата скорости убегания .

Расположение	относительно
	Земля	Солнце	Млечный Путь
Поверхность Земли	60 МДж/кг	900 МДж/кг	≥ 130 ГДж/кг
ЛЕО	57 МДж/кг	900 МДж/кг	≥ 130 ГДж/кг
«Вояджер-1» (17 000 миллионов км от Земли)	23 Дж/кг	8 МДж/кг	≥ 130 ГДж/кг
0,1 светового года от Земли	0,4 Дж/кг	140 кДж/кг	≥ 130 ГДж/кг

Сравните гравитацию в этих местах .

См. также

• Применение полиномов Лежандра в физике
• Стандартный гравитационный параметр ( GM )
• геоид
• Геопотенциал
• Геопотенциальная модель

Ссылки

• Владимиров В.С. (1971), Уравнения математической физики , Перевод с русского Одри Литтлвуд. Под редакцией Алана Джеффри. Чистая и прикладная математика, вып. 3, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., MR   0268497 .
• Ван, WX (1988). «Потенциал однородного сфероида в сфероидальной системе координат. I. Во внешней точке». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 21 (22): 4245–4250. Бибкод : 1988JPhA...21.4245W . дои : 10.1088/0305-4470/21/22/026 .
• Милон, Т. (1990). «Заметка о потенциале однородного эллипсоида в эллипсоидных координатах». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 23 (4): 581–584. дои : 10.1088/0305-4470/23/4/027 .
• Расталл, Питер (1991). Постпринципия: Гравитация для физиков и астрономов . Всемирная научная . стр. 7 и далее. ISBN  981-02-0778-6 .
• Конвей, Джон Т. (2000). «Точные решения гравитационного потенциала семейства неоднородных сфероидов» . Пн. Нет. Р. Астрон. Соц . 316 (3): 555–558. Бибкод : 2000MNRAS.316..555C . дои : 10.1046/j.1365-8711.2000.03524.x .
• Коул, Х.С.; Тохлин, Дж. Э.; Рау, АРП (2000). «Разработки по определению гравитационного потенциала с использованием тороидальных функций». Астрон. Нахр . 321 (5/6): 363–372. Бибкод : 2000AN....321..363C . doi : 10.1002/1521-3994(200012)321:5/6<363::AID-ASNA363>3.0.CO;2-X .
• Торнтон, Стивен Т.; Мэрион, Джерри Б. (2003), Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.), Брукс Коул, ISBN  978-0-534-40896-1 .
• Чжу, Лупейя (1988). «Гравитация и плотностная структура Земли» . Департамент наук о Земле и атмосфере. EAS-437 Динамика Земли . Университет Сент-Луиса. Калифорнийский технологический институт . Проверено 25 марта 2009 г.
• Чарльз Д. Гилани (28 ноября 2006 г.). «Гравитационное поле Земли» . Государственная геодезическая инженерная программа Пенсильвании. Архивировано из оригинала 18 июля 2011 г. Проверено 25 марта 2009 г.
• Фукусима, Тосио (2014). «Вытянутое сфероидальное гармоническое расширение гравитационного поля» . Астрофиз. Дж . 147 (6): 152. Бибкод : 2014AJ....147..152F . дои : 10.1088/0004-6256/147/6/152 .