Функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными

В физике функция Грина (или фундаментальное решение ) для лапласиана (или оператора Лапласа) с тремя переменными используется для описания реакции определенного типа физической системы на точечный источник . В частности, эта функция Грина возникает в системах, которые могут быть описаны уравнением Пуассона — уравнением в частных производных (УЧП) вида $\nabla ^{2}u(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )$ где $\nabla ^{2}$ является оператором Лапласа в $\mathbb {R} ^{3}$ , $f(\mathbf {x} )$ является исходным термином системы, и $u(\mathbf {x} )$ является решением уравнения. Потому что $\nabla ^{2}$ — линейный дифференциальный оператор , решение $u(\mathbf {x} )$ к общей системе этого типа можно записать в виде интеграла по распределению источника, заданному формулой $f(\mathbf {x} )$ : $u(\mathbf {x} )=\int G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )f(\mathbf {x'} )d\mathbf {x} '$ где функция Грина для лапласиана трех переменных $G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )$ описывает реакцию системы в точке $\mathbf {x}$ к точечному источнику, расположенному в $\mathbf {x'}$ : $\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )$ а точечный источник определяется выражением $\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )$ , дельта-функция Дирака .

Мотивация

Одной из физических систем такого типа является распределение зарядов в электростатике . В такой системе электрическое поле выражается как отрицательный градиент электрического потенциала и применяется закон Гаусса в дифференциальной форме: ${\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} )\\[1ex]{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho (\mathbf {x} )}{\varepsilon _{0}}}\end{aligned}}$

Объединение этих выражений дает нам уравнение Пуассона : $-\mathbf {\nabla } ^{2}\phi (\mathbf {x} )={\frac {\rho (\mathbf {x} )}{\varepsilon _{0}}}$

Мы можем найти решение $\phi (\mathbf {x} )$ к этому уравнению для произвольного распределения заряда, временно рассматривая распределение, созданное точечным зарядом $q$ расположен по адресу $\mathbf {x'}$ : $\rho (\mathbf {x} )=q\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )$

В этом случае, $-{\frac {\varepsilon _{0}}{q}}\mathbf {\nabla } ^{2}\phi (\mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )$ что показывает, что $G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )$ для ${\textstyle -{\frac {\varepsilon _{0}}{q}}\nabla ^{2}}$ даст ответ системы на точечный заряд $q$ . Следовательно, из приведенного выше обсуждения, если мы сможем найти функцию Грина этого оператора, мы сможем найти $\phi (\mathbf {x} )$ быть $\phi (\mathbf {x} )=\int G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )\,d\mathbf {x} '$ для общего распределения заряда.

Математическое изложение

в свободном пространстве Функция Грина для оператора Лапласа с тремя переменными выражается через обратное расстояние между двумя точками и известна как « ядро Ньютона » или « ньютоновский потенциал ». То есть решение уравнения $\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )$ является $G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|}},$ где $\mathbf {x} =(x,y,z)$ являются стандартными декартовыми координатами в трехмерном пространстве и $\delta$ – дельта-функция Дирака .

Алгебраическое выражение функции Грина для оператора Лапласа с тремя переменными, кроме постоянного члена $-1/(4\pi )$ выраженные в декартовых координатах, будем называть ${\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\left[\left(x-x'\right)^{2}+\left(y-y'\right)^{2}+\left(z-z'\right)^{2}\right]^{-{1}/{2}}.$

Возможны многие формулы разложения, учитывая алгебраическое выражение функции Грина. Одно из наиболее известных из них, разложение Лапласа для уравнения Лапласа с тремя переменными, дается через производящую функцию для полиномов Лежандра : ${\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}}P_{l}(\cos \gamma ),$ которое было записано в терминах сферических координат $(r,\theta ,\varphi )$ . Обозначение «меньше (больше)» означает, что берется сферический радиус со штрихом или без штриха в зависимости от того, какой из них меньше (больше) другого. $\gamma$ представляет угол между двумя произвольными векторами $(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )$ данный $\cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ').$

Круговая цилиндрическая функция Грина в свободном пространстве (см. ниже) выражается через обратное расстояние между двумя точками. Джексона Это выражение взято из «Классической электродинамики» . ^{[ 1 ]} Используя функцию Грина для оператора Лапласа с тремя переменными, можно проинтегрировать уравнение Пуассона , чтобы определить потенциальную функцию. Функции Грина можно разложить по базисным элементам (гармоническим функциям), которые определяются с использованием разделимых систем координат для линейного уравнения в частных производных . Существует множество расширений функции Грина с точки зрения специальных функций. В случае границы, расположенной на бесконечности, с граничным условием, сводящим решение к нулю на бесконечности, существует функция Грина бесконечной протяженности. Для оператора Лапласа с тремя переменными его можно, например, расширить во вращательно-инвариантных системах координат, которые допускают разделение переменных . Например: ${\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\frac {1}{\pi {\sqrt {RR'}}}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{im(\varphi -\varphi ')}Q_{m-{\frac {1}{2}}}(\chi )$ где $\chi ={\frac {R^{2}+{R'}^{2}+\left(z-z'\right)^{2}}{2RR'}}$ и $Q_{m-{\frac {1}{2}}}(\chi )$ нечетной полуцелой степени – функция Лежандра второго рода , представляющая собой тороидальную гармонику. Здесь разложение записано в цилиндрических координатах $(R,\varphi ,z)$ . См., например, Тороидальные координаты .

Используя одну из формул Уиппла для тороидальных гармоник, можно получить альтернативный вид функции Грина ${\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\sqrt {\frac {\pi }{2RR'(\chi ^{2}-1)^{1/2}}}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{m}}{\Gamma (m+1/2)}}P_{-{\frac {1}{2}}}^{m}{\left({\frac {\chi }{\sqrt {\chi ^{2}-1}}}\right)}e^{im(\varphi -\varphi ')}$ в терминах тороидальной гармоники первого рода.

Эта формула была использована в 1999 году для астрофизических приложений в статье, опубликованной в «Астрофизическом журнале» , опубликованной Говардом Колем и Джоэлом Толином. ^{[ 2 ]} Вышеупомянутая формула известна и в инженерном сообществе. Например, статья, написанная в « Журнале прикладной физики» в томе 18, 1947 г., страницы 562–577, показывает, что Н.Г. Де Брейн и К.Дж. Букамп знали об указанной выше взаимосвязи. Фактически, практически вся математика, найденная в недавних статьях, уже была выполнена Честером Сноу. Это можно найти в его книге под названием «Гипергеометрические и функции Лежандра с приложениями к интегральным уравнениям теории потенциала» , Национальное бюро стандартов прикладной математики, серия 19, 1952. Посмотрите конкретно на страницах 228–263. Статья Честера Сноу «Магнитные поля цилиндрических и кольцевых катушек» (Национальное бюро стандартов, Applied Mathematical Series 38, 30 декабря 1953 г.) ясно показывает взаимосвязь между функцией Грина в свободном пространстве в цилиндрических координатах и Q -функциональное выражение. См. также еще одну работу Сноу, озаглавленную «Формулы для расчета емкости и индуктивности», циркуляр Национального бюро стандартов 544, 10 сентября 1954 г., стр. 13–41. Действительно, в последнее время было опубликовано не так уж много публикаций на тему тороидальных функций и их приложений в технике и физике. Однако существует ряд инженерных приложений. Опубликовано одно приложение; Статья написана Дж. П. Сельваджи, С. Салоном, О. Квоном и М. В. К. Чари «Расчет внешнего магнитного поля по постоянным магнитам в двигателях с постоянными магнитами - альтернативный метод», IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 40, № 5, сентябрь 2004 г. Эти авторы провели обширную работу с функциями Лежандра второго рода и полуцелой степени или тороидальными функциями нулевого порядка. Они решили множество задач, демонстрирующих круговую цилиндрическую симметрию, используя тороидальные функции.

Приведенные выше выражения для функции Грина для оператора Лапласа с тремя переменными являются примерами выражений одиночного суммирования для этой функции Грина. Существуют также одноцелые выражения для этой функции Грина. Их примеры можно видеть во вращательных цилиндрических координатах в виде интегрального преобразования Лапласа в разности вертикальных высот, ядро которого задается через функцию Бесселя нулевого порядка первого рода как ${\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\int _{0}^{\infty }J_{0}{\left(k{\sqrt {R^{2}+{R'}^{2}-2RR'\cos(\varphi -\varphi ')}}\right)}e^{-k(z_{>}-z_{<})}\,dk,$ где $z_{>}(z_{<})$ большие (меньшие) переменные $z$ и $z'$ . Точно так же функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными может быть задана как интегральное косинус-преобразование Фурье разности вертикальных высот, ядро которого задается в терминах модифицированной функции Бесселя второго рода нулевого порядка как ${\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }K_{0}{\left(k{\sqrt {R^{2}+{R'}^{2}-2RR'\cos(\varphi -\varphi ')}}\right)}\cos[k(z-z')]\,dk.$

Вращательно-инвариантные функции Грина для оператора Лапласа с тремя переменными

Разложения по функциям Грина существуют во всех вращательно-инвариантных системах координат, которые, как известно, дают решения уравнения Лапласа с тремя переменными с помощью метода разделения переменных.

См. также

Ссылки

^ Джексон. Классическая электродинамика (3-е изд.). стр. 125–127.
^ Коул, Ховард С.; Толин, Джоэл Э. (10 декабря 1999 г.). «Компактное цилиндрическое расширение функции Грина для решения потенциальных задач» . Астрофизический журнал . 527 (1): 86–101. дои : 10.1086/308062 . ISSN 0004-637X .

[1] Джексон. Классическая электродинамика (3-е изд.). стр. 125–127.

[2] Коул, Ховард С.; Толин, Джоэл Э. (10 декабря 1999 г.). «Компактное цилиндрическое расширение функции Грина для решения потенциальных задач» . Астрофизический журнал . 527 (1): 86–101. дои : 10.1086/308062 . ISSN 0004-637X .

[ 1 ]

[ 2 ]