Формулы Уиппла

В теории функций специальных преобразование Уиппла для функций Лежандра , названное в честь Фрэнсиса Джона Уэлша Уиппла , возникает из общего выражения, касающегося связанных функций Лежандра . Эти формулы ранее были представлены с точки зрения сферических гармоник , теперь, когда мы рассматриваем уравнения в терминах тороидальных координат , возникают совершенно новые симметрии функций Лежандра.

Для ассоциированных функций Лежандра первого и второго рода

$P_{-\mu -{\frac {1}{2}}}^{-\nu -{\frac {1}{2}}}{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}={\frac {(z^{2}-1)^{1/4}e^{-i\mu \pi }Q_{\nu }^{\mu }(z)}{(\pi /2)^{1/2}\Gamma (\nu +\mu +1)}}$

и

$Q_{-\mu -{\frac {1}{2}}}^{-\nu -{\frac {1}{2}}}{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}=-i(\pi /2)^{1/2}\Gamma (-\nu -\mu )(z^{2}-1)^{1/4}e^{-i\nu \pi }P_{\nu }^{\mu }(z).$

Эти выражения действительны для всех параметров. $\nu ,\mu ,$ и $z$. Сдвигая комплексную степень и порядок соответствующим образом, мы получаем формулы Уиппла для общей комплексной замены индексов общих ассоциированных функций Лежандра первого и второго рода. Они даны

$P_{\nu -{\frac {1}{2}}}^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {2}}\Gamma (\mu -\nu +{\frac {1}{2}})}{\pi ^{3/2}(z^{2}-1)^{1/4}}}{\biggl [}\pi \sin \mu \pi P_{\mu -{\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}+\cos \pi (\nu +\mu )e^{-i\nu \pi }Q_{\mu -{\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}{\biggr ]}$

и

$Q_{\nu -{\frac {1}{2}}}^{\mu }(z)={\frac {e^{i\mu \pi }\Gamma (\mu -\nu +{\frac {1}{2}})(\pi /2)^{1/2}}{(z^{2}-1)^{1/4}}}{\biggl [}P_{\mu -{\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}-{\frac {2}{\pi }}e^{-i\nu \pi }\sin \nu \pi Q_{\mu -{\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}{\biggr ]}.$

Обратите внимание, что эти формулы корректно работают для всех значений степени и порядка, за исключением целочисленных значений. Однако, если мы рассмотрим эти формулы для тороидальных гармоник, т. е. где степень полуцелая, порядок целочисленный, а аргумент положительный и больше единицы, получим

$P_{m-{\frac {1}{2}}}^{n}(\cosh \eta )={\frac {(-1)^{m}}{\Gamma (m-n+{\frac {1}{2}})}}{\sqrt {\frac {2}{\pi \sinh \eta }}}Q_{n-{\frac {1}{2}}}^{m}(\coth \eta )$

и

$Q_{m-{\frac {1}{2}}}^{n}(\cosh \eta )={\frac {(-1)^{m}\pi }{\Gamma (m-n+{\frac {1}{2}})}}{\sqrt {\frac {\pi }{2\sinh \eta }}}P_{n-{\frac {1}{2}}}^{m}(\coth \eta )$.

Это формулы Уиппла для тороидальных гармоник. Они демонстрируют важное свойство тороидальных гармоник при перестановке индексов (целых чисел, связанных с порядком и степенью).

Внешние ссылки

• [1]

Ссылки

• Коул, Ховард С.; Дж. Э. Тохлин; АРП Рау; Его Величество Шривастава (2000). «Разработки по определению гравитационного потенциала с использованием тороидальных функций». Астрономические Нахрихтен . 321 (5/6): 363–372. Бибкод : 2000AN....321..363C . doi : 10.1002/1521-3994(200012)321:5/6<363::AID-ASNA363>3.0.CO;2-X .