Иллюстрация тороидальных координат, полученных вращением двумерной биполярной системы координат вокруг оси, разделяющей два ее фокуса. Очаги расположены на расстоянии 1 от вертикальной оси z . Часть красной сферы, лежащая над плоскостью $xy$, представляет собой изоповерхность σ = 30°, синий тор — изоповерхность τ = 0,5, а жёлтая полуплоскость — изоповерхность φ = 60°. Зеленая полуплоскость отмечает плоскость x - z , от которой измеряется φ. Черная точка расположена на пересечении красной, синей и желтой изоповерхностей, примерно в декартовых координатах (0,996, -1,725, 1,911).
Тороидальные координаты представляют собой трехмерную ортогональную систему координат , возникающую в результате вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, разделяющей два ее фокуса. Таким образом, два фокуса и в биполярных координатах становятся кольцом радиуса в плоскость тороидальной системы координат; тот -ось — ось вращения. Фокальное кольцо также известно как опорный круг.
Вращение этой двумерной биполярной системы координат вокруг вертикальной оси создает трехмерную тороидальную систему координат, показанную выше. Круг на вертикальной оси становится красной сферой , тогда как круг на горизонтальной оси становится синим тором .
Поверхности постоянной соответствуют сферам разных радиусов
все они проходят через фокальное кольцо, но не концентричны. Поверхности постоянных являются непересекающимися торами разных радиусов
которые окружают фокальное кольцо. Центры констант- сферы лежат вдоль -ось, тогда как константа- Торы сосредоточены в самолет.
The координаты могут быть рассчитаны из декартовых координат ( x , y , z ) следующим образом. Азимутальный угол определяется формулой
Цилиндрический радиус точки P определяется выражением
и его расстояния до фокусов в плоскости, определяемой формулой дается
Геометрическая интерпретация координат σ и τ точки P . Наблюдается в плоскости постоянного азимутального угла , тороидальные координаты эквивалентны биполярным координатам . Угол формируется двумя фокусами в этой плоскости и P , тогда как – логарифм отношения расстояний к фокусам. Соответствующие круги постоянных и показаны красным и синим цветом соответственно и пересекаются под прямым углом (пурпурный прямоугольник); они ортогональны.
Для векторного поля векторный лапласиан определяется выражением
Другие дифференциальные операторы, такие как и можно выразить в координатах заменив масштабные коэффициенты в общие формулы находится в ортогональных координатах .
Тороидальные гармоники обладают множеством интересных свойств. Если вы сделаете замену переменной тогда, например, с исчезающим порядком (соглашение состоит в том, чтобы не записывать порядок, когда он исчезает) и
и
где и – полные эллиптические интегралы первого второго и рода соответственно . Остальные тороидальные гармоники можно получить, например, через полные эллиптические интегралы, используя рекуррентные соотношения для ассоциированных функций Лежандра.
В качестве альтернативы можно сделать другую замену (Эндрюс 2006).
где
И снова получается разделимое уравнение. частное решение, полученное разделением переменных, Тогда имеет вид:
где каждая функция представляет собой линейную комбинацию:
снова используются тороидальные гармоники Обратите внимание, что хотя для функции T , аргумент скорее, чем и и индексы обмениваются. Этот метод полезен для ситуаций, в которых граничные условия не зависят от сферического угла. , например, заряженное кольцо, бесконечная полуплоскость или две параллельные плоскости. Для тождеств, связывающих тороидальные гармоники с гиперболическим аргументомкосинус с гиперболическим котангенсом аргумента, см. формулы Уиппла .
Мун П.Х., Спенсер Д.Э. (1988). «Тороидальные координаты ( η , θ , ψ )». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (2-е изд., 3-е исправленное печатное издание). Нью-Йорк: Springer Verlag. стр. 112–115 (Раздел IV, E4Ry). ISBN 978-0-387-02732-6 .
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: 977950120a6d46d4122d90c49642afd7__1702162080 URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/97/d7/977950120a6d46d4122d90c49642afd7.html Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Toroidal coordinates - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)