Тороидальные координаты

Иллюстрация тороидальных координат, полученных вращением двумерной биполярной системы координат вокруг оси, разделяющей два ее фокуса. Очаги расположены на расстоянии 1 от вертикальной оси z . Часть красной сферы, лежащая над плоскостью $xy$, представляет собой изоповерхность σ = 30°, синий тор — изоповерхность τ = 0,5, а жёлтая полуплоскость — изоповерхность φ = 60°. Зеленая полуплоскость отмечает плоскость x - z , от которой измеряется φ. Черная точка расположена на пересечении красной, синей и желтой изоповерхностей, примерно в декартовых координатах (0,996, -1,725, 1,911).

Тороидальные координаты представляют собой трехмерную ортогональную систему координат , возникающую в результате вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, разделяющей два ее фокуса. Таким образом, два фокуса $F_{1}$ и $F_{2}$ в биполярных координатах становятся кольцом радиуса $a$ в $xy$ плоскость тороидальной системы координат; тот $z$-ось — ось вращения. Фокальное кольцо также известно как опорный круг.

Определение

Наиболее распространенное определение тороидальных координат. $(\tau ,\sigma ,\phi )$ является

$x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi$

$y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi$

$z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

вместе с $\mathrm {sign} (\sigma )=\mathrm {sign} (z$). $\sigma$ координата точки $P$ равен углу $F_{1}PF_{2}$ и $\tau$ координата равна натуральному логарифму отношения расстояний $d_{1}$ и $d_{2}$ к противоположным сторонам фокального кольца

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.$

Диапазоны координат $-\pi <\sigma \leq \pi$, $\tau \geq 0$ и $0\leq \phi <2\pi .$

Координатные поверхности

Вращение этой двумерной биполярной системы координат вокруг вертикальной оси создает трехмерную тороидальную систему координат, показанную выше. Круг на вертикальной оси становится красной сферой , тогда как круг на горизонтальной оси становится синим тором .

Поверхности постоянной $\sigma$ соответствуют сферам разных радиусов

$\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(z-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$

все они проходят через фокальное кольцо, но не концентричны. Поверхности постоянных $\tau$ являются непересекающимися торами разных радиусов

$z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}$

которые окружают фокальное кольцо. Центры констант- $\sigma$ сферы лежат вдоль $z$-ось, тогда как константа- $\tau$ Торы сосредоточены в $xy$ самолет.

Обратное преобразование

The $(\sigma ,\tau ,\phi )$ координаты могут быть рассчитаны из декартовых координат ( x , y , z ) следующим образом. Азимутальный угол $\phi$ определяется формулой

$\tan \phi ={\frac {y}{x}}$

Цилиндрический радиус $\rho$ точки P определяется выражением

$\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}=\left(a{\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\right)^{2}$

и его расстояния до фокусов в плоскости, определяемой формулой $\phi$ дается

$d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}$

$d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}$

Геометрическая интерпретация координат σ и τ точки P . Наблюдается в плоскости постоянного азимутального угла $\phi$, тороидальные координаты эквивалентны биполярным координатам . Угол $\sigma$ формируется двумя фокусами в этой плоскости и P , тогда как $\tau$ – логарифм отношения расстояний к фокусам. Соответствующие круги постоянных $\sigma$ и $\tau$ показаны красным и синим цветом соответственно и пересекаются под прямым углом (пурпурный прямоугольник); они ортогональны.

Координата $\tau$ равен натуральному логарифму фокусных расстояний

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$

тогда как $|\sigma |$ равен углу между лучами и фокусами, который можно определить из закона косинусов

$\cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}.$

Или явно, включая знак,

$\sigma =\mathrm {sign} (z)\arccos {\frac {r^{2}-a^{2}}{\sqrt {(r^{2}-a^{2})^{2}+4a^{2}z^{2}}}}$

где $r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}$.

Преобразования между цилиндрическими и тороидальными координатами можно выразить в сложных обозначениях как

$z+i\rho \ =ia\coth {\frac {\tau +i\sigma }{2}},$

$\tau +i\sigma \ =\ln {\frac {z+i(\rho +a)}{z+i(\rho -a)}}.$

Масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для тороидальных координат $\sigma$ и $\tau$ равны

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

тогда как азимутальный масштабный коэффициент равен

$h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

Таким образом, бесконечно малый элемент объема равен

$dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi$

Дифференциальные операторы

Лапласиан определяется выражением $${\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}&\left[\sinh \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\quad +\left.{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}$$

Для векторного поля $${\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )=n_{\tau }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\tau }+n_{\sigma }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\sigma }+n_{\phi }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\phi },$$ векторный лапласиан определяется выражением $${\begin{aligned}\Delta {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )&=\nabla (\nabla \cdot {\vec {n}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {n}})\\&={\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\tau }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {\sinh ^{4}\tau +(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+n_{\sigma }(-\sinh \tau \sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad +{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sinh \tau )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}(-2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \\&\qquad +{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left({\frac {-2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \sigma }^{2}}}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2})+\cdots \\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \phi }^{2}}}{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\sigma }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {(\cosh ^{2}\tau +1-2\cosh \tau \cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+n_{\sigma }\left(-\sinh ^{2}\tau -2\sin ^{2}\sigma \right)+\ldots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}(2\sin \sigma (\cosh \tau -\cos \sigma ))+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}\left(-2\sinh \tau (\cosh \tau -\cos \sigma )\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left(2{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\phi }\left\{n_{\phi }\left(-{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \phi }}\left({\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \phi }}\left(-{\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\end{aligned}}$$

Другие дифференциальные операторы, такие как $\nabla \cdot \mathbf {F}$ и $\nabla \times \mathbf {F}$ можно выразить в координатах $(\sigma ,\tau ,\phi )$ заменив масштабные коэффициенты в общие формулы находится в ортогональных координатах .

Тороидальные гармоники

Стандартное разделение

с 3 переменными Уравнение Лапласа

$\nabla ^{2}\Phi =0$

допускает решение методом разделения переменных в тороидальных координатах. Производим замену

$\Phi =U{\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}$

Тогда получается разделимое уравнение. Частное решение, полученное разделением переменных, имеет вид:

$\Phi ={\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )$

где каждая функция представляет собой линейную комбинацию:

$S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }$

$T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )$

$V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }$

Где P и Q — ассоциированные функции Лежандра первого и второго рода. Эти функции Лежандра часто называют тороидальными гармониками.

Тороидальные гармоники обладают множеством интересных свойств. Если вы сделаете замену переменной $z=\cosh \tau >1$ тогда, например, с исчезающим порядком $\mu =0$ (соглашение состоит в том, чтобы не записывать порядок, когда он исчезает) и $\nu =0$

$Q_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {2}{1+z}}}\right)$

и

$P_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {z-1}{z+1}}}\right)$

где $\,\!K$ и $\,\!E$ – полные эллиптические интегралы первого второго и рода соответственно . Остальные тороидальные гармоники можно получить, например, через полные эллиптические интегралы, используя рекуррентные соотношения для ассоциированных функций Лежандра.

Классические применения тороидальных координат заключаются в решении уравнений в частных производных . например, уравнение Лапласа, для которого тороидальные координаты допускают разделение переменных , или уравнение Гельмгольца , для которого тороидальные координаты не допускают разделения переменных. Типичными примерами могут служить электрический потенциал и электрическое поле проводящего тора или, в вырожденном случае, электрического токового кольца (Hulme 1982).

Альтернативное разделение

В качестве альтернативы можно сделать другую замену (Эндрюс 2006).

$\Phi ={\frac {U}{\sqrt {\rho }}}$

где

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.$

И снова получается разделимое уравнение. частное решение, полученное разделением переменных, Тогда имеет вид:

$\Phi ={\frac {a}{\sqrt {\rho }}}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )$

где каждая функция представляет собой линейную комбинацию:

$S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }$

$T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )$

$V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }.$

снова используются тороидальные гармоники Обратите внимание, что хотя для функции T , аргумент $\coth \tau$ скорее, чем $\cosh \tau$ и $\mu$ и $\nu$ индексы обмениваются. Этот метод полезен для ситуаций, в которых граничные условия не зависят от сферического угла. $\theta$, например, заряженное кольцо, бесконечная полуплоскость или две параллельные плоскости. Для тождеств, связывающих тороидальные гармоники с гиперболическим аргументомкосинус с гиперболическим котангенсом аргумента, см. формулы Уиппла .

Ссылки

• Байерли, В. Э. (1893) Элементарный трактат о рядах Фурье и сферических, цилиндрических и эллипсоидальных гармониках с приложениями к проблемам математической физики Ginn & co. стр. 264–266.
• Арфкен Г (1970). Математические методы для физиков (2-е изд.). Орландо, Флорида: Academic Press. стр. 112–115.
• Эндрюс, Марк (2006). «Альтернативное разделение уравнения Лапласа в тороидальных координатах и ​​его применение к электростатике». Журнал электростатики . 64 (10): 664–672. CiteSeerX   10.1.1.205.5658 . doi : 10.1016/j.elstat.2005.11.005 .
• Халм, А. (1982). «Заметка о магнитном скалярном потенциале электрического токового кольца». Математические труды Кембриджского философского общества . 92 (1): 183–191. дои : 10.1017/S0305004100059831 .

Библиография

• Морс ПМ, Фешбах Х (1953). Методы теоретической физики . Часть I. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 666.
• Корн Г.А., Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 182. LCCN   59014456 .
• Маргенау Х., Мерфи GM (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр. 190–192 . LCCN   55010911 .
• Мун П.Х., Спенсер Д.Э. (1988). «Тороидальные координаты ( η , θ , ψ )». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (2-е изд., 3-е исправленное печатное издание). Нью-Йорк: Springer Verlag. стр. 112–115 (Раздел IV, E4Ry). ISBN  978-0-387-02732-6 .

Внешние ссылки

• Описание тороидальных координат в MathWorld