6-сферные координаты

В математике . 6-сферные координаты — это система координат трехмерного пространства, полученная путем инвертирования трехмерных декартовых координат по единичной 2-сфере $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ . Они названы так потому, что локусы , в которых одна координата постоянна, образуют сферы, касающиеся начала координат с одной из шести сторон (в зависимости от того, какая координата считается постоянной и является ли ее значение положительным или отрицательным). и не имеет к ней никакого отношения Эта система координат существует независимо от 6-сферы .Эти три координаты

u={\frac {x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad v={\frac {y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad w={\frac {z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.

Поскольку инверсия является инволюцией , уравнения для x , y и z через u , v и w аналогичны:

x={\frac {u}{u^{2}+v^{2}+w^{2}}},\quad y={\frac {v}{u^{2}+v^{2}+w^{2}}},\quad z={\frac {w}{u^{2}+v^{2}+w^{2}}}.

Эта система координат $R$ -сепарабельна для уравнения Лапласа с 3 переменными.

См. также

Мун, П. и Спенсер, Д.Э. 6-сферные координаты. Рис. 4.07 в Справочнике по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения, 2-е изд. Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 122–123, 1988.
Вайсштейн, Эрик В. «6-сферные координаты» . Математический мир .
Шестисферные координаты Михаэля Шрайбера, Демонстрационный проект Вольфрама .