Разделимое уравнение в частных производных

можно Разделимое уравнение в частных производных разбить на систему уравнений меньшей размерности (меньшее количество независимых переменных) методом разделения переменных . Обычно оно основано на том, что проблема имеет особую форму или симметрию . Таким образом, уравнение в частных производных (УЧП) можно решить путем решения набора более простых УЧП или даже обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), если проблему можно разбить на одномерные уравнения.

Наиболее распространенной формой разделения переменных является простое разделение переменных. Решение получается, если принять решение в виде произведения функций каждой отдельной координаты. Существует особая форма разделения переменных, называемая $R$-разделение переменных, которое осуществляется записью решения в виде определенной фиксированной функции координат, умноженной на произведение функций каждой отдельной координаты. Уравнение Лапласа на ${\mathbb {R} }^{n}$ является примером уравнения в частных производных, которое допускает решения через $R$-разделение переменных; в трехмерном случае используются 6-сферные координаты .

(Это не следует путать со случаем разделимого ОДУ, который относится к несколько иному классу задач, которые можно разбить на пару интегралов ; см. разделение переменных .)

Пример

Например, рассмотрим независимое от времени уравнение Шредингера

$[-\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} )]\psi (\mathbf {x} )=E\psi (\mathbf {x} )$

для функции $\psi (\mathbf {x} )$ (для простоты в безразмерных единицах). (Аналогично, рассмотрим неоднородное уравнение Гельмгольца .) Если функция $V(\mathbf {x} )$ в трех измерениях имеет вид

$V(x_{1},x_{2},x_{3})=V_{1}(x_{1})+V_{2}(x_{2})+V_{3}(x_{3}),$

тогда оказывается, что задачу можно разбить на три одномерных ОДУ для функций $\psi _{1}(x_{1})$, $\psi _{2}(x_{2})$, и $\psi _{3}(x_{3})$, а окончательное решение можно записать как $\psi (\mathbf {x} )=\psi _{1}(x_{1})\cdot \psi _{2}(x_{2})\cdot \psi _{3}(x_{3})$. (В более общем смысле, отделимые случаи уравнения Шрёдингера были перечислены Эйзенхартом в 1948 году. )