Стохастическое уравнение в частных производных

Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных ( SPDE ) обобщают уравнения в частных производных с помощью случайных силовых членов и коэффициентов, точно так же, как обычные стохастические дифференциальные уравнения обобщают обыкновенные дифференциальные уравнения .

Они имеют отношение к квантовой теории поля , статистической механике и пространственному моделированию . ^[1]^[2]

Примеры [ править ]

Одним из наиболее изученных СПДЭ является стохастическое уравнение теплопроводности : ^[3] что формально можно записать как

\partial _{t}u=\Delta u+\xi \;,

где $\Delta$ является лапласианом и $\xi$ обозначает пространственно-временной белый шум . Другие примеры также включают стохастические версии известных линейных уравнений, таких как волновое уравнение. ^[4] и уравнение Шрёдингера . ^[5]

Обсуждение [ править ]

Одна из трудностей – отсутствие регулярности. В одномерном пространстве решения стохастического уравнения теплопроводности лишь почти 1/2- непрерывны по Гельдеру в пространстве и 1/4-непрерывны по Гельдеру во времени. Для размерностей два и выше решения даже не имеют функционального значения, а могут рассматриваться как случайные распределения .

Для линейных уравнений обычно можно найти мягкое решение с помощью полугрупп . методов ^[6]

Однако проблемы начинают возникать при рассмотрении нелинейных уравнений. Например

\partial _{t}u=\Delta u+P(u)+\xi ,

где $P$ является полиномом. В этом случае даже неясно, как следует понимать это уравнение. Такое уравнение также не будет иметь функционального решения в размерности больше единицы и, следовательно, не будет иметь поточечного смысла. Хорошо известно, что пространство распределений не имеет продуктовой структуры. Это основная проблема такой теории. Это приводит к необходимости той или иной формы перенормировки .

Первой попыткой обойти такие проблемы для некоторых конкретных уравнений был так называемый трюк да Прато – Дебуше , который включал изучение таких нелинейных уравнений как возмущений линейных. ^[7] Однако это можно использовать только в очень ограничительных условиях, поскольку оно зависит как от нелинейного фактора, так и от регулярности члена шума движения. В последние годы эта область резко расширилась, и теперь существует мощный механизм, гарантирующий локальное существование множества докритических СДЭП. ^[8]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Прево, Клаудия; Рёкнер, Майкл (2007). Краткий курс стохастических дифференциальных уравнений в частных производных . Конспект лекций по математике. Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-70780-6 .
^ Краински, Элиас Т.; Гомес-Рубио, Вирхилио; Бакка, Хокон; Лензи, Аманда; Кастро-Камило, Даниэла; Симпсон, Дэниел; Линдгрен, Финн; Рю, Ховард (2018). Расширенное пространственное моделирование со стохастическими уравнениями в частных производных с использованием R и INLA . Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл/CRC Press. ISBN 978-1-138-36985-6 .
^ Эдвардс, Сан-Франциско; Уилкинсон, доктор медицинских наук (8 мая 1982 г.). «Поверхностная статистика зернистого заполнителя» . Учеб. Р. Сок. Лонд. А. 381 (1780): 17–31. Бибкод : 1982RSPSA.381...17E . дои : 10.1098/rspa.1982.0056 . JSTOR 2397363 .
^ Даланг, Роберт С.; Франгос, Невада (1998). «Стохастическое волновое уравнение в двух пространственных измерениях» . Анналы вероятности . 26 (1): 187–212. дои : 10.1214/аоп/1022855416 . ISSN 0091-1798 . JSTOR 2652898 .
^ Диоси, Лайош; Струнц, Уолтер Т. (24 ноября 1997 г.). «Немарковское стохастическое уравнение Шрёдингера для открытых систем» . Буквы по физике А. 235 (6): 569–573. arXiv : Quant-ph/9706050 . Бибкод : 1997PhLA..235..569D . дои : 10.1016/S0375-9601(97)00717-2 . ISSN 0375-9601 .
^ Уолш, Джон Б. (1986). «Введение в стохастические уравнения в частных производных». В Кармоне, Рене; Кестен, Гарри; Уолш, Джон Б.; Хеннекен, Польша (ред.). XIV Летняя школа вероятностей Сент-Флура - 1984 год . Конспект лекций по математике. Полет. 1180. Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 265–439. дои : 10.1007/bfb0074920 . ISBN 978-3-540-39781-6 .
^ Да Прато, Джузеппе; Дебюше, Арно (2003). «Сильные решения стохастических уравнений квантования». Анналы вероятности . 31 (4): 1900–1916. JSTOR 3481533 .
^ Корвин, Иван; Шен, Хао (2020). «Некоторые недавние достижения в области сингулярных стохастических уравнений в частных производных» . Бык. амер. Математика. Соц . 57 (3): 409–454. дои : 10.1090/bull/1670 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Бейн, А.; Крисан, Д. (2009). Основы стохастической фильтрации . Стохастическое моделирование и прикладная теория вероятности. Том. 60. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0387768953 .
Холден, Х.; Оксендал, Б.; Убё, Дж.; Чжан, Т. (2010). Стохастические уравнения в частных производных: моделирование с использованием функционального подхода с использованием белого шума . Университетский текст (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. дои : 10.1007/978-0-387-89488-1 . ISBN 978-0-387-89487-4 .
Линдгрен, Ф.; Рю, Х.; Линдстрем, Дж. (2011). «Явная связь между гауссовскими полями и гауссовскими марковскими случайными полями: стохастический подход с использованием уравнения в частных производных» . Журнал Королевского статистического общества, серия B: Статистическая методология . 73 (4): 423–498. дои : 10.1111/j.1467-9868.2011.00777.x . hdl : 20.500.11820/1084d335-e5b4-4867-9245-ec9c4f6f4645 . ISSN 1369-7412 .
Сю, Д. (2010). Численные методы стохастических вычислений: подход спектрального метода . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-14212-8 .

Внешние ссылки [ править ]

«Мини-курс по стохастическим уравнениям в частных производных» (PDF) . 2006.
Хайрер, Мартин (2009). «Введение в стохастические PDE». arXiv : 0907.4178 [ мат.PR ].

[1] Прево, Клаудия; Рёкнер, Майкл (2007). Краткий курс стохастических дифференциальных уравнений в частных производных . Конспект лекций по математике. Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-70780-6 .

[2] Краински, Элиас Т.; Гомес-Рубио, Вирхилио; Бакка, Хокон; Лензи, Аманда; Кастро-Камило, Даниэла; Симпсон, Дэниел; Линдгрен, Финн; Рю, Ховард (2018). Расширенное пространственное моделирование со стохастическими уравнениями в частных производных с использованием R и INLA . Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл/CRC Press. ISBN 978-1-138-36985-6 .

[3] Эдвардс, Сан-Франциско; Уилкинсон, доктор медицинских наук (8 мая 1982 г.). «Поверхностная статистика зернистого заполнителя» . Учеб. Р. Сок. Лонд. А. 381 (1780): 17–31. Бибкод : 1982RSPSA.381...17E . дои : 10.1098/rspa.1982.0056 . JSTOR 2397363 .

[4] Даланг, Роберт С.; Франгос, Невада (1998). «Стохастическое волновое уравнение в двух пространственных измерениях» . Анналы вероятности . 26 (1): 187–212. дои : 10.1214/аоп/1022855416 . ISSN 0091-1798 . JSTOR 2652898 .

[5] Диоси, Лайош; Струнц, Уолтер Т. (24 ноября 1997 г.). «Немарковское стохастическое уравнение Шрёдингера для открытых систем» . Буквы по физике А. 235 (6): 569–573. arXiv : Quant-ph/9706050 . Бибкод : 1997PhLA..235..569D . дои : 10.1016/S0375-9601(97)00717-2 . ISSN 0375-9601 .

[6] Уолш, Джон Б. (1986). «Введение в стохастические уравнения в частных производных». В Кармоне, Рене; Кестен, Гарри; Уолш, Джон Б.; Хеннекен, Польша (ред.). XIV Летняя школа вероятностей Сент-Флура - 1984 год . Конспект лекций по математике. Полет. 1180. Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 265–439. дои : 10.1007/bfb0074920 . ISBN 978-3-540-39781-6 .

[7] Да Прато, Джузеппе; Дебюше, Арно (2003). «Сильные решения стохастических уравнений квантования». Анналы вероятности . 31 (4): 1900–1916. JSTOR 3481533 .

[8] Корвин, Иван; Шен, Хао (2020). «Некоторые недавние достижения в области сингулярных стохастических уравнений в частных производных» . Бык. амер. Математика. Соц . 57 (3): 409–454. дои : 10.1090/bull/1670 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]