уравнение Кушнера

В теории фильтрации уравнение Кушнера (в честь Гарольда Кушнера ) представляет собой уравнение для условной плотности вероятности состояния стохастической нелинейной динамической системы с учетом зашумленных измерений состояния. Таким образом, это обеспечивает решение проблемы нелинейной фильтрации в теории оценивания . Это уравнение иногда называют уравнением Стратоновича – Кушнера. Кушнера–Стратоновича) (или уравнение . Однако правильное уравнение в терминах исчисления Ито было впервые выведено Кушнером, хотя более эвристическая его версия Стратоновича появилась уже в . работах Стратоновича в конце пятидесятых годов Однако вывод с точки зрения исчисления Ито принадлежит Ричарду Бьюси.

Обзор

Предположим, что состояние системы меняется по закону

$dx=f(x,t)\,dt+\sigma \,dw$

и доступно шумное измерение состояния системы:

$dz=h(x,t)\,dt+\eta \,dv$

где w , v — независимые винеровские процессы . Тогда условная плотность вероятности p ( x , t ) состояния в момент времени t определяется уравнением Кушнера:

$dp(x,t)=L[p(x,t)]dt+p(x,t){\big (}h(x,t)-E_{t}h(x,t){\big )}^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}{\big (}dz-E_{t}h(x,t)dt{\big )}.$

где

$L[p]:=-\sum {\frac {\partial (f_{i}p)}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum (\sigma \sigma ^{\top })_{i,j}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}$

является форвардным оператором Колмогорова и

$dp(x,t)=p(x,t+dt)-p(x,t)$

– изменение условной вероятности.

Термин $dz-E_{t}h(x,t)dt$ – это инновация , т.е. разница между измеренным значением и его ожидаемым значением.

Фильтр Калмана – Бьюси

Можно использовать уравнение Кушнера для вывода фильтра Калмана – Бьюси для линейного диффузионного процесса. Предположим, у нас есть $f(x,t)=Ax$ и $h(x,t)=Cx$. Уравнение Кушнера будет иметь вид

$dp(x,t)=L[p(x,t)]dt+p(x,t){\big (}Cx-C\mu (t){\big )}^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}{\big (}dz-C\mu (t)dt{\big )},$

где $\mu (t)$ среднее значение условной вероятности в момент времени $t$. Умножение на $x$ и, проинтегрировав по нему, получим изменение среднего

$d\mu (t)=A\mu (t)dt+\Sigma (t)C^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}{\big (}dz-C\mu (t)dt{\big )}.$

Аналогично, изменение дисперсии $\Sigma (t)$ дается

${\tfrac {d}{dt}}\Sigma (t)=A\Sigma (t)+\Sigma (t)A^{\top }+\sigma ^{\top }\sigma -\Sigma (t)C^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}C\,\Sigma (t).$

Тогда условная вероятность в каждый момент времени определяется нормальным распределением. ${\mathcal {N}}(\mu (t),\Sigma (t))$.

См. также

• уравнение Закаи