уравнение Закаи
В теории фильтрации уравнение Закаи представляет собой линейное стохастическое уравнение в частных производных для ненормализованной плотности скрытого состояния. Напротив, уравнение Кушнера дает нелинейное стохастическое уравнение в частных производных для нормированной плотности скрытого состояния. В принципе, любой подход позволяет оценить количественную функцию (состояние динамической системы ) на основе зашумленных измерений, даже если система нелинейна (тем самым обобщая более ранние результаты Винера и Калмана для линейных систем и решая центральную проблему в теория оценки ). Однако применение этого подхода к конкретной инженерной ситуации может быть проблематичным, поскольку эти уравнения довольно сложны. [1] [2] Уравнение Закаи представляет собой билинейное стохастическое уравнение в частных производных . Он был назван в честь Моше Закая . [3]
Обзор
[ редактировать ]Предположим, что состояние системы меняется по закону
и доступно зашумленное измерение состояния системы:
где являются независимыми винеровскими процессами . Тогда ненормированная условная плотность вероятности состояния в момент времени t определяется уравнением Закаи:
![{\displaystyle dp=L[p]dt+ph^{T}dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe0c8219d2a875de84b711f4606532a794e5384)
где
![{\displaystyle L[p]=-\sum {\frac {\partial (f_{i}p)}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum {\frac {\partial ^{2}p}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb2669d2f505cc85b234783f9ef991b4fa6652e)
является форвардным оператором Колмогорова.
Как упоминалось ранее, является ненормализованной плотностью и, следовательно, не обязательно интегрируется до 1. После решения для При желании можно выполнить интеграцию и нормализацию (дополнительный шаг не требуется в подходе Кушнера).
Обратите внимание, что если последний член в правой части опущен (путем выбора h тождественно нулю), результатом будет нестохастическое УЧП: знакомое уравнение Фоккера-Планка , которое описывает эволюцию состояния, когда информация об измерениях недоступна.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Шритаран, СС (1994). «Нелинейная фильтрация стохастических уравнений Навье – Стокса». Ин Фунаки, Т.; Войчински, Вашингтон (ред.). Нелинейные стохастические PDE: турбулентность Бюргерса и гидродинамический предел (PDF) . Спрингер-Верлаг . стр. 247–260. ISBN 0-387-94624-1 .
- ^ Хоббс, СЛ; Шритаран, СС (1996). «Теория нелинейной фильтрации для стохастических уравнений реакции-диффузии». В Грецкий Н.; Гольдштейн, Дж.; Уль, Джей-Джей (ред.). Вероятность и современный анализ (PDF) . Марсель Деккер . стр. 219–234.
- ^ Закаи, М. (1969). «Об оптимальной фильтрации диффузионных процессов» . Журнал теории вероятностей и смежных областей . 11 (3): 230–243. дои : 10.1007/BF00536382 . МР0242552 . S2CID 119763576 . Збл 0164.19201 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Григелионис, Б.; Микулявичюс, Р. (1983). «Стохастические эволюционные уравнения и плотности условных распределений». Теория и применение случайных полей . Берлин: Шпрингер. стр. 49–88. дои : 10.1007/BFb0044682 .
- Шусс, Зеев (2012). «Нелинейная фильтрация и сглаживание диффузий». Нелинейная фильтрация и оптимальное отслеживание фазы . Бостон: Спрингер. стр. 85–106. дои : 10.1007/978-1-4614-0487-3_3 . ISBN 978-1-4614-0486-6 .