Уравнение Кардара–Паризи–Чжана

В математике уравнение Кардара-Паризи-Чжана (КПЗ) представляет собой нелинейное стохастическое уравнение в частных производных , введенное Мехраном Кардаром , Джорджио Паризи и И-Ченг Чжаном в 1986 году. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Он описывает временное изменение поля высот. $h({\vec {x}},t)$ с пространственной координатой ${\vec {x}}$ и координата времени $t$ :

{\frac {\partial h({\vec {x}},t)}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}h+{\frac {\lambda }{2}}\left(\nabla h\right)^{2}+\eta ({\vec {x}},t)\;.

Здесь, $\eta ({\vec {x}},t)$ белый гауссов шум со средним

$\langle \eta ({\vec {x}},t)\rangle =0$

и второй момент

$\langle \eta ({\vec {x}},t)\eta ({\vec {x}}',t')\rangle =2D\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {x}}')\delta (t-t'),$

$\nu$ , $\lambda$ , и $D$ являются параметрами модели, а $d$ это размерность.

В одном пространственном измерении уравнение КПЗ соответствует стохастической версии уравнения Бюргерса с полем $u(x,t)$ посредством замены $u=-\lambda \,\partial h/\partial x$ .

с помощью ренормгруппы Предполагается, что уравнение КПЗ представляет собой теорию поля многих моделей поверхностного роста , таких как модель Идена , баллистическое осаждение и модель слабо асимметричного одноступенчатого твердого тела на твердом теле (SOS). Строгое доказательство было дано Бертини и Джакомином в случае модели SOS. ^{[ 3 ]}

Класс универсальности КПЗ

Многие взаимодействующие системы частиц , такие как полностью асимметричный процесс простого исключения , лежат в классе универсальности КПЗ . Этот класс характеризуется следующими критическими показателями в одном пространственном измерении (1 + 1 измерение): показатель шероховатости $\alpha ={\tfrac {1}{2}}$ , показатель роста $\beta ={\tfrac {1}{3}}$ и динамический показатель $z={\tfrac {3}{2}}$ . Чтобы проверить, соответствует ли модель роста классу КПЗ, можно рассчитать ширину поверхности:

W(L,t)=\left\langle {\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}{\big (}h(x,t)-{\bar {h}}(t){\big )}^{2}\,dx\right\rangle ^{1/2},

где ${\bar {h}}(t)$ средняя высота поверхности во времени $t$ и $L$ это размер системы. Для моделей класса КПЗ основные свойства поверхности $h(x,t)$ может быть охарактеризовано Семейства – Вичека масштабным соотношением шероховатости . ^{[ 4 ]}

W(L,t)\approx L^{\alpha }f(t/L^{z}),

с функцией масштабирования $f(u)$ удовлетворяющий

f(u)\propto {\begin{cases}u^{\beta }&\ u\ll 1\\1&\ u\gg 1\end{cases}}

В 2014 году Хайрер и Квастель показали, что в более общем плане следующие уравнения, подобные КПЗ, относятся к классу универсальности КПЗ: ^{[ 2 ]}

{\frac {\partial h({\vec {x}},t)}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}h+P\left(\nabla h\right)+\eta ({\vec {x}},t)\;,

где $P$ четной степени – любой полином .

Семейство процессов, которые предположительно являются универсальными пределами в классе универсальности КПЗ (1+1) и управляют долговременными флуктуациями, - это процессы Эйри и фиксированная точка КПЗ .

Решение уравнения КПЗ

Известно, что из-за нелинейности уравнения и присутствия белого шума пространства-времени решения уравнения КПЗ не являются гладкими или регулярными, а скорее « фрактальными » или « грубыми ». Даже без нелинейного члена уравнение сводится к стохастическому уравнению теплопроводности , решение которого не дифференцируемо по пространственной переменной, но удовлетворяет условию Гёльдера с показателем степени меньше 1/2. Таким образом, нелинейный член $\left(\nabla h\right)^{2}$ является неопределенным в классическом смысле.

В 2013 году Мартин Хайрер совершил прорыв в решении уравнения КПЗ, расширив преобразование Коула-Хопфа и построив аппроксимации с использованием диаграмм Фейнмана . ^{[ 5 ]} В 2014 году он был награжден медалью Филдса за работу над уравнением КПЗ, а также за теорию грубых путей и структуры регулярности . Для уравнения (1+1) КПЗ было найдено 6 различных аналитических самоподобных решений с разными аналитическими шумовыми членами. ^{[ 6 ]}

Физическое происхождение

Этот вывод происходит от ^{[ 7 ]} и. ^{[ 8 ]} Предположим, мы хотим описать рост поверхности некоторым уравнением в частных производных . Позволять $h(x,t)$ представляют высоту поверхности в позиции $x$ и время $t$ . Их значения непрерывны. Мы ожидаем, что будет своего рода механизм сглаживания . Тогда простейшим уравнением роста поверхности можно считать диффузии уравнение

{\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}

Но это детерминированное уравнение, подразумевающее, что поверхность не имеет случайных флуктуаций. Самый простой способ учесть флуктуации — добавить шумовой член. Тогда мы можем использовать уравнение

{\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial ^{2}x}}+\eta (x,t),

с $\eta$ считается гауссовым белым шумом со средним нулем и ковариацией $E[\eta (x,t)\eta (x',t')]=\delta (x-x')\delta (t-t')$ . Это известно как уравнение Эдвардса-Уилкинсона (EW) или стохастическое уравнение теплопроводности с аддитивным шумом (SHE). Поскольку это линейное уравнение, его можно точно решить с помощью анализа Фурье . Но поскольку шум является гауссовым, а уравнение линейным, флуктуации, наблюдаемые в этом уравнении, по-прежнему являются гауссовскими. Это означает, что уравнения EW недостаточно для описания интересующего поверхностного роста, поэтому нам нужно добавить нелинейную функцию для роста. Таким образом, изменение роста поверхности во времени имеет три вклада. Первая модель латерального роста как нелинейная функция вида $F\left({\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}\right)$ . Второй — это релаксация , или регуляризация , посредством диффузионного члена. ${\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial ^{2}x}}$ , и третий — белый шум, заставляющий $\eta (x,t)$ . Поэтому,

{\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}=-\lambda F\left({\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial ^{2}x}}+\eta (x,t)

Ключевой термин $F\left({\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}\right)$ Предполагается, что детерминированная часть роста является функцией только наклона и является симметричной функцией. Отличное наблюдение за Кардаром, Паризи и Чжаном (КПЗ) ^{[ 1 ]} заключалось в том, что пока поверхность растет в нормальном направлении (к поверхности), мы измеряем высоту по оси высоты, которая перпендикулярна оси пространства, и, следовательно, должна возникнуть нелинейность, возникающая из-за этого простого геометрического эффекта. Когда уклон поверхности $\partial _{x}h={\tfrac {\partial h}{\partial x}}$ мал, эффект принимает вид $F(\partial _{x}h)=(1+|\partial _{x}h|^{2})^{-{\frac {1}{2}}}$ , но это приводит к, казалось бы, неразрешимому уравнению. Чтобы обойти эту трудность, можно взять общий $F$ и разложим его как ряд Тейлора ,

F(s)=F(0)+F'(0)s+{\frac {1}{2}}F''(0)s^{2}+...

Первый член можно удалить из уравнения сдвигом во времени, так как если $h(x,t)$ решает уравнение КПЗ, тогда ${\tilde {h}}(x,t):=h(x,t)-\lambda F(0)t$ решает

{\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}=-\lambda F(0)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial ^{2}x}}+\eta (x,t).

Второе должно исчезнуть из-за симметрии $F$ , но в любом случае можно было бы исключить из уравнения сдвигом координат с постоянной скоростью, поскольку если бы $h(x,t)$ решает уравнение КПЗ, тогда ${\tilde {h}}(x,t):=h(x-\lambda F'(0)t,t-\lambda F'(0)x)$ решает

{\frac {\partial {\tilde {h}}(x,t)}{\partial t}}=-\lambda F'(0){\frac {\partial {\tilde {h}}(x,t)}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}{\tilde {h}}(x,t)}{\partial ^{2}x}}+\eta (x,t).

Таким образом, квадратичный член является первым нетривиальным вкладом, и он единственный, который сохраняется. Приходим к уравнению КПЗ

{\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}=-\lambda \left({\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial ^{2}x}}+\eta (x,t).

См. также

Источники

^ Jump up to: ^а ^б Кардар, Мехран; Паризи, Джорджио; Чжан, И-Чэн (3 марта 1986 г.). «Динамическое масштабирование растущих интерфейсов» . Письма о физических отзывах . 56 (9): 889–892. Бибкод : 1986PhRvL..56..889K . doi : 10.1103/PhysRevLett.56.889 . ПМИД 10033312 .
^ Jump up to: ^а ^б Хайрер, Мартин; Квастель, Дж. (2014), Слабая универсальность уравнения КПЗ (PDF)
^ Бертини, Лоренцо; Джакомин, Джамбаттиста (1997). «Стохастические уравнения Бюргерса и КПЗ из систем частиц». Связь в математической физике . 183 (3): 571–607. Бибкод : 1997CMaPh.183..571B . CiteSeerX 10.1.1.49.4105 . дои : 10.1007/s002200050044 . S2CID 122139894 .
^ Семья, Ф .; Вичек, Т. (1985). «Масштабирование активной зоны в процессе Идена в перколяционных сетях и модели баллистического осаждения». Журнал физики A: Математический и общий . 18 (2): L75–L81. Бибкод : 1985JPhA...18L..75F . дои : 10.1088/0305-4470/18/2/005 .
^ Хайрер, Мартин (2013). «Решение уравнения КПЗ». Анналы математики . 178 (2): 559–664. arXiv : 1109.6811 . дои : 10.4007/анналы.2013.178.2.4 . S2CID 119247908 .
^ Барна, Ференц Имре; Богнар, Габриэлла; Мохаммед, Гуэдда; Хричо, Кристиан; Матьяш, Ласло (2020). «Аналитические самоподобные решения уравнения роста интерфейса Кардара-Паризи-Чжана с различными шумовыми членами» . Математическое моделирование и анализ . 25 (2): 241–257. Бибкод : 2019arXiv190401838F . дои : 10.3846/mma.2020.10459 . S2CID 102487227 .
^ «Конспекты лекций Джереми Квастела» (PDF) .
^ Томохиро, Сасамото (2016). «Одномерное уравнение Кардара – Паризи – Чжана: распределение по высоте и универсальность» . Успехи теоретической и экспериментальной физики . 2016 (2). дои : 10.1093/ptep/ptw002 .

Дальнейшее чтение

Барабаши, А.-Л.; Стэнли, HE (13 апреля 1995 г.). «6 - Уравнение Кардара – Паризи – Чжана». Фрактальные концепции поверхностного роста (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511599798.008 . ISBN 978-0-521-48308-7 .
Корвин, Иван (2011). «Уравнение Кардара-Паризи-Чжана и класс универсальности». arXiv : 1106.1596 [ мат.PR ].
«Конспекты лекций Джереми Квастела» (PDF) .
Томохиро, Сасамото (2016). «Одномерное уравнение Кардара – Паризи – Чжана: распределение по высоте и универсальность» . Успехи теоретической и экспериментальной физики . 2016 (2). дои : 10.1093/ptep/ptw002 .

[foo-1] Jump up to: ^а ^б Кардар, Мехран; Паризи, Джорджио; Чжан, И-Чэн (3 марта 1986 г.). «Динамическое масштабирование растущих интерфейсов» . Письма о физических отзывах . 56 (9): 889–892. Бибкод : 1986PhRvL..56..889K . doi : 10.1103/PhysRevLett.56.889 . ПМИД 10033312 .

[:0-2] Jump up to: ^а ^б Хайрер, Мартин; Квастель, Дж. (2014), Слабая универсальность уравнения КПЗ (PDF)

[3] Бертини, Лоренцо; Джакомин, Джамбаттиста (1997). «Стохастические уравнения Бюргерса и КПЗ из систем частиц». Связь в математической физике . 183 (3): 571–607. Бибкод : 1997CMaPh.183..571B . CiteSeerX 10.1.1.49.4105 . дои : 10.1007/s002200050044 . S2CID 122139894 .

[4] Семья, Ф .; Вичек, Т. (1985). «Масштабирование активной зоны в процессе Идена в перколяционных сетях и модели баллистического осаждения». Журнал физики A: Математический и общий . 18 (2): L75–L81. Бибкод : 1985JPhA...18L..75F . дои : 10.1088/0305-4470/18/2/005 .

[5] Хайрер, Мартин (2013). «Решение уравнения КПЗ». Анналы математики . 178 (2): 559–664. arXiv : 1109.6811 . дои : 10.4007/анналы.2013.178.2.4 . S2CID 119247908 .

[6] Барна, Ференц Имре; Богнар, Габриэлла; Мохаммед, Гуэдда; Хричо, Кристиан; Матьяш, Ласло (2020). «Аналитические самоподобные решения уравнения роста интерфейса Кардара-Паризи-Чжана с различными шумовыми членами» . Математическое моделирование и анализ . 25 (2): 241–257. Бибкод : 2019arXiv190401838F . дои : 10.3846/mma.2020.10459 . S2CID 102487227 .

[foog-7] «Конспекты лекций Джереми Квастела» (PDF) .

[8] Томохиро, Сасамото (2016). «Одномерное уравнение Кардара – Паризи – Чжана: распределение по высоте и универсальность» . Успехи теоретической и экспериментальной физики . 2016 (2). дои : 10.1093/ptep/ptw002 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]