Универсальность (динамические системы)

В статистической механике универсальность — это наблюдение того, что у большого класса систем существуют свойства, независимые от динамических деталей системы. Системы проявляют универсальность в пределе масштабирования, когда объединяется большое количество взаимодействующих частей. Современное значение этого термина было введено Лео Кадановым в 1960-х годах. но более простая версия концепции уже подразумевалась в уравнении Ван дер Ваальса и в более ранней теории фазовых переходов Ландау , которая не учитывала масштабирование правильно.

Этот термин постепенно получает более широкое использование в нескольких областях математики, включая комбинаторику и теорию вероятностей , всякий раз, когда количественные характеристики структуры (например, асимптотическое поведение) могут быть выведены из нескольких глобальных параметров, появляющихся в определении, не требуя знания детали системы.

Ренормгруппа дает интуитивно привлекательное, хотя и математически нестрогое, объяснение универсальности. Он классифицирует операторы статистической теории поля на релевантные и нерелевантные. Соответствующие операторы ответственны за возмущения свободной энергии, лагранжиана мнимого времени , которые влияют на предел континуума и могут быть замечены на больших расстояниях. Нерелевантными операторами являются те, которые меняют только детали на коротких дистанциях. Набор масштабно-инвариантных статистических теорий определяет классы универсальности , а конечномерный список коэффициентов соответствующих операторов параметризует поведение, близкое к критическому.

Универсальность в статистической механике

Понятие универсальности возникло при изучении фазовых переходов в статистической механике. Фазовый переход происходит, когда материал резко меняет свои свойства: вода при нагревании закипает и превращается в пар; или магнит при нагревании теряет свой магнетизм. Фазовые переходы характеризуются параметром порядка , таким как плотность или намагниченность, который изменяется в зависимости от параметра системы, например температуры. Особое значение параметра, при котором система меняет свою фазу, является критической точкой системы . Для систем, проявляющих универсальность, чем ближе параметр к своему критическому значению , тем менее чувствительно параметр порядка зависит от деталей системы.

Если параметр β является критическим при значении β _c , то параметр порядка a будет хорошо аппроксимироваться выражением

$a=a_{0}\left\vert \beta -\beta _{c}\right\vert ^{\alpha }.$

Показатель α является критическим показателем системы. Замечательное открытие, сделанное во второй половине двадцатого века, заключалось в том, что очень разные системы имели одинаковые критические показатели.

В 1975 году Митчелл Фейгенбаум обнаружил универсальность повторяющихся карт.

Примеры

Универсальность получила свое название потому, что она наблюдается в большом разнообразии физических систем. Примеры универсальности включают в себя:

• Лавины в грудах песка. Вероятность схода лавины находится в степенной зависимости от размера лавины, и лавины возникают во всех масштабах размеров. Это называется « самоорганизованная критичность ».
• Образование и распространение трещин и разрывов в различных материалах: от стали до камня и бумаги. Изменения направления надрыва или шероховатости изломанной поверхности находятся в степенной зависимости от масштаба размеров.
• Электрический пробой диэлектриков . , напоминающий трещины и разрывы
• Просачивание через трещины горных пород или воду жидкостей через неупорядоченные среды, например нефть через фильтровальную бумагу, например, в хроматографии . Степенное масштабирование связывает скорость потока с распределением трещин.
• Диффузия . молекул и в растворе явление -ограниченной агрегации диффузионно
• Распределение горных пород разного размера в агрегатной смеси, подвергающейся встряхиванию (под действием силы тяжести на породы).
• Появление критической опалесценции в жидкостях вблизи фазового перехода .

обзор

Одним из важных достижений в материаловедении в 1970-х и 1980-х годах было осознание того, что статистическая теория поля, подобно квантовой теории поля, может быть использована для создания микроскопической теории универсальности. Основное наблюдение заключалось в том, что для всех различных систем поведение при фазовом переходе описывается непрерывным полем и что одна и та же статистическая теория поля будет описывать разные системы. Показатели масштабирования во всех этих системах могут быть получены только из теории поля и известны как критические показатели .

Ключевое наблюдение заключается в том, что вблизи фазового перехода или критической точки возмущения возникают во всех масштабах размеров, и поэтому для описания явлений следует искать явно масштабно-инвариантную теорию , которая, по-видимому, была впервые помещена в формальную теоретическую основу Покровский и Паташинский в 1965 году. . Универсальность является побочным продуктом того факта, что существует относительно мало масштабно-инвариантных теорий. Для любой конкретной физической системы подробное описание может иметь множество зависящих от масштаба параметров и аспектов. Однако по мере приближения к фазовому переходу масштабно-зависимые параметры играют все менее важную роль и доминируют масштабно-инвариантные части физического описания. Таким образом, упрощенная и часто точно решаемая модель может быть использована для аппроксимации поведения этих систем вблизи критической точки.

Перколяцию можно смоделировать с помощью случайной сети электрических резисторов , в которой электричество течет от одной стороны сети к другой. Видно, что общее сопротивление сети описывается средней связностью резисторов в сети.

Образование разрывов и трещин можно смоделировать случайной сетью электрических предохранителей . При увеличении протекания электрического тока по сети некоторые предохранители могут сгореть, но в целом ток шунтируется по проблемным местам и распределяется равномерно. Однако в определенный момент (при фазовом переходе) может произойти каскадный отказ , когда избыточный ток от одного сгоревшего предохранителя перегружает поочередно следующий предохранитель, пока две стороны сети не будут полностью отключены и ток больше не будет течь.

Для анализа таких случайных сетевых систем рассматривается стохастическое пространство всех возможных сетей (то есть канонический ансамбль ) и выполняется суммирование (интегрирование) по всем возможным конфигурациям сети. Как и в предыдущем обсуждении, каждая данная случайная конфигурация понимается как взятая из пула всех конфигураций с некоторым заданным распределением вероятностей; роль температуры в распределении обычно заменяется средней связностью сети.

Ожидаемые значения операторов, таких как скорость потока, теплоемкость и т. д., получаются путем интегрирования по всем возможным конфигурациям. Этот акт интеграции по всем возможным конфигурациям является точкой общности между системами статистической механики и квантовой теории поля . В частности, язык ренормгруппы можно применять при обсуждении моделей случайных сетей. В 1990-е и 2000-е годы были обнаружены более сильные связи между статистическими моделями и конформной теорией поля . Изучение универсальности остается жизненно важной областью исследований.

Приложения в других областях

Как и другие концепции статистической механики (такие как энтропия и основные уравнения ), универсальность оказалась полезной конструкцией для характеристики распределенных систем на более высоком уровне, таких как многоагентные системы . Термин был применен к многоагентному моделированию, где поведение системы на уровне системы не зависит от степени сложности отдельных агентов и почти полностью определяется природой ограничений, управляющих их взаимодействием. В сетевой динамике универсальность означает тот факт, что, несмотря на разнообразие нелинейных динамических моделей, которые различаются во многих деталях, наблюдаемое поведение многих различных систем подчиняется набору универсальных законов. Эти законы не зависят от конкретных деталей каждой системы.