Класс универсальности

В статистической механике класс универсальности представляет собой набор математических моделей , которые имеют единый масштабно-инвариантный предел в процессе группового потока перенормировки. Хотя модели внутри класса могут существенно различаться в конечных масштабах, их поведение будет становиться все более схожим по мере приближения к предельному масштабу. В частности, асимптотические явления, такие как критические показатели, будут одинаковыми для всех моделей класса.

Некоторые хорошо изученные классы универсальности содержат модель Изинга или теорию перколяции в соответствующих точках фазового перехода ; это оба семейства классов, по одному на каждое измерение решетки. Как правило, семейство классов универсальности будет иметь нижнюю и верхнюю критическую размерность : ниже нижней критической размерности класс универсальности становится вырожденным (это измерение равно 2d для модели Изинга или для направленной перколяции, но 1d для ненаправленной перколяции), и выше верхнего критического измерения критические показатели стабилизируются и могут быть рассчитаны с помощью аналога теории среднего поля (это измерение равно 4d для Изинга или направленной перколяции и 6d для ненаправленной перколяции).

Список критических показателей

Критические показатели определяются как изменение некоторых физических свойств системы вблизи точки фазового перехода. Эти физические свойства будут включать его пониженную температуру. $\tau$ , его параметр порядка, измеряющий, какая часть системы находится в «упорядоченной» фазе, удельная теплоемкость и так далее.

Экспонента $\alpha$ – показатель степени, связывающий теплоемкость C с приведенной температурой: имеем $C=\tau ^{-\alpha }$ . В критической точке теплоемкость обычно будет сингулярной, но знак минус в определении $\alpha$ позволяет ему оставаться позитивным.
Экспонента $\beta$ связывает параметр порядка $\Psi$ к температуре. В отличие от большинства критических показателей степени он считается положительным, поскольку в критической точке параметр порядка обычно равен нулю. Итак, у нас есть $\Psi =|\tau |^{\beta }$ .
Экспонента $\gamma$ связывает температуру с реакцией системы на внешнюю движущую силу или исходное поле. У нас есть $d\Psi /dJ=\tau ^{-\gamma }$ , где J является движущей силой.
Экспонента $\delta$ связывает параметр порядка с полем источника при критической температуре, где эта зависимость становится нелинейной. У нас есть $J=\Psi ^{\delta }$ (следовательно $\Psi =J^{1/\delta }$ ), с теми же значениями, что и раньше.
Экспонента $\nu$ связывает размер корреляций (т.е. участков упорядоченной фазы) с температурой; вдали от критической точки они характеризуются длиной корреляции $\xi$ . У нас есть $\xi =\tau ^{-\nu }$ .
Экспонента $\eta$ измеряет размер корреляций при критической температуре. Он определяется так, что корреляционная функция масштабируется как $r^{-d+2-\eta }$ .
Экспонента $\sigma$ , используемый в теории перколяции , измеряет размер самых больших кластеров (грубо говоря, самых больших упорядоченных блоков) при «температурах» (вероятностях соединения) ниже критической точки. Так $s_{\max }\sim (p_{c}-p)^{-1/\sigma }$ .
Экспонента $\tau$ , также из теории перколяции , измеряет количество кластеров размера s, далеких от $s_{\max }$ (или количество кластеров в критичности): $n_{s}\sim s^{-\tau }f(s/s_{\max })$ , с $f$ Фактор удаляется при критической вероятности.

Для симметрий указанная группа дает симметрию параметра порядка. Группа $\mathrm {Dih} _{n}$ — группа диэдра , группа симметрии n- угольника, $S_{n}$ — n -элементная симметрическая группа , $\mathrm {Oct}$ представляет собой октаэдрическую группу , а $O(n)$ — ортогональная группа в n измерениях. 1 — тривиальная группа .

сорт	измерение	Симметрия	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$	$\delta$	$\nu$	$\eta$
с 3 штатами Поттс	2	$S_{3}$	⁠ 1 / 3 ⁠	⁠ 1 / 9 ⁠	⁠ 13 / 9 ⁠	14	⁠ 5 / 6 ⁠	⁠ 4 / 15 ⁠
Эшкин-Теллер (Поттс, 4 штата)	2	$S_{4}$	⁠ 2 / 3 ⁠	⁠ 1 / 12 ⁠	⁠ 7 / 6 ⁠	15	⁠ 2 / 3 ⁠	⁠ 1 / 4 ⁠
Обычная перколяция	1	1	1	0	1	$\infty$	1	1
	2	1	− ⁠ 2 / 3 ⁠	⁠ 5 / 36 ⁠	⁠ 43 / 18 ⁠	⁠ 91 / 5 ⁠	⁠ 4 / 3 ⁠	⁠ 5 / 24 ⁠
	3	1	−0.625(3)	0.4181(8)	1.793(3)	5.29(6)	0.87619(12)	0,46(8) или 0,59(9)
	4	1	−0.756(40)	0.657(9)	1.422(16)	3,9 или 3,198(6)	0.689(10)	−0.0944(28)
	5	1	≈ −0.85	0.830(10)	1.185(5)	3.0	0.569(5)	-0,075(20) или -0,0565
	6 ⁺	1	−1	1	1	2	⁠ 1 / 2 ⁠	0
Направленная перколяция	1	1	0.159464(6)	0.276486(8)	2.277730(5)	0.159464(6)	1.096854(4)	0.313686(8)
	2	1	0.451	0.536(3)	1.60	0.451	0.733(8)	0.230
	3	1	0.73	0.813(9)	1.25	0.73	0.584(5)	0.12
	4 ⁺	1	−1	1	1	2	⁠ 1 / 2 ⁠	0
Сохраняющаяся направленная перколяция (Манна, или «локальный линейный интерфейс»).	1	1		0.28(1)		0.14(1)	1.11(2) ^[1]	0.34(2) ^[1]
	2	1		0.64(1)	1.59(3)	0.50(5)	1.29(8)	0.29(5)
	3	1		0.84(2)	1.23(4)	0.90(3)	1.12(8)	0.16(5)
	4 ⁺	1		1	1	1	1	0
Защищенное просачивание	2	1		5/41 ^[2]	86/41 ^[2]
Защищенное просачивание	3	1		0.28871(15) ^[2]	1.3066(19) ^[2]
Изинг	2	$\mathbb {Z} _{2}$	0	⁠ 1 / 8 ⁠	⁠ 7 / 4 ⁠	15	1	⁠ 1 / 4 ⁠
Изинг	3	$\mathbb {Z} _{2}$	0.11008(1)	0.326419(3)	1.237075(10)	4.78984(1)	0.629971(4)	0.036298(2)
XY	3	$O(2)$	-0.01526(30)	0.34869(7)	1.3179(2)	4.77937(25)	0.67175(10)	0.038176(44)
Гейзенберг	3	$O(3)$	−0.12(1)	0.366(2)	1.395(5)		0.707(3)	0.035(2)
Среднее поле	все	любой	0	⁠ 1 / 2 ⁠	1	3	⁠ 1 / 2 ⁠	0
Молекулярно-лучевая эпитаксия ^[3]
Гауссово свободное поле

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Фахардо, Хуан АБ (2008). Универсальность в самоорганизованной критичности (PDF) . Гранада. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Файфар, Шон; Бретанья, Алекс; Монтфрой, Воутер (15 января 2021 г.). «Защищенная перколяция: новый класс универсальности, относящийся к сильно легированным квантовым критическим системам» . Журнал физических коммуникаций . 5 (1): 015008. arXiv : 2008.08258 . Бибкод : 2021JPhCo...5a5008F . дои : 10.1088/2399-6528/abd8e9 . ISSN 2399-6528 .
^ Луис, Эдвин; де Ассис, Тьяго; Феррейра, Сильвио; Андраде, Роберто (2019). «Показатель локальной шероховатости в классе универсальности нелинейной молекулярно-лучевой эпитаксии в одномерном измерении». Физический обзор E . 99 (2): 022801. arXiv : 1812.03114 . Бибкод : 2019PhRvE..99b2801L . дои : 10.1103/PhysRevE.99.022801 . ПМИД 30934348 . S2CID 91187266 .

Внешние ссылки

Классы универсальности от Sklogwiki
Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления , Оксфорд, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5
Одор, Геза (2004). «Классы универсальности в неравновесных решетчатых системах». Обзоры современной физики . 76 (3): 663–724. arXiv : cond-mat/0205644 . Бибкод : 2004РвМП...76..663О . дои : 10.1103/RevModPhys.76.663 . S2CID 96472311 .
Кресвик, Ричард Дж.; Ким, Сын Ён (1997). «Критические представители модели Поттса с четырьмя государствами». Журнал физики A: Математический и общий . 30 (24): 8785–8786. arXiv : cond-mat/9701018 . дои : 10.1088/0305-4470/30/24/036 . S2CID 16687747 .

[Fajardo-1] Jump up to: ^а ^б Фахардо, Хуан АБ (2008). Универсальность в самоорганизованной критичности (PDF) . Гранада. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[:0-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Файфар, Шон; Бретанья, Алекс; Монтфрой, Воутер (15 января 2021 г.). «Защищенная перколяция: новый класс универсальности, относящийся к сильно легированным квантовым критическим системам» . Журнал физических коммуникаций . 5 (1): 015008. arXiv : 2008.08258 . Бибкод : 2021JPhCo...5a5008F . дои : 10.1088/2399-6528/abd8e9 . ISSN 2399-6528 .

[3] Луис, Эдвин; де Ассис, Тьяго; Феррейра, Сильвио; Андраде, Роберто (2019). «Показатель локальной шероховатости в классе универсальности нелинейной молекулярно-лучевой эпитаксии в одномерном измерении». Физический обзор E . 99 (2): 022801. arXiv : 1812.03114 . Бибкод : 2019PhRvE..99b2801L . дои : 10.1103/PhysRevE.99.022801 . ПМИД 30934348 . S2CID 91187266 .

[1]

[2]

[3]