Критические показатели перколяции

В контексте физико-математической теории перколяции перколяционный переход характеризуется набором универсальных критических показателей , которые описывают фрактальные свойства просачивающейся среды на больших масштабах и достаточно близко к переходу. Показатели степени универсальны в том смысле, что они зависят только от типа модели перколяции и размерности пространства. Ожидается, что они не будут зависеть от микроскопических деталей, таких как структура решетки или от того, учитывается ли перколяция сайтов или связей. В данной статье рассматриваются критические показатели случайной перколяции.

Перколяционные системы имеют параметр $p\,\!$ который контролирует занятость сайтов или облигаций в системе. При критическом значении $p_{c}\,\!$ средний размер кластера стремится к бесконечности и происходит перколяционный переход. По мере приближения $p_{c}\,\!$ , различные величины либо расходятся, либо стремятся к постоянному значению по степенному закону в $|p-p_{c}|\,\!$ , и показатель этого степенного закона является критическим показателем. Хотя показатель степени этого степенного закона обычно одинаков по обе стороны от порога, коэффициент или «амплитуда» обычно различны, что приводит к универсальному соотношению амплитуд.

Описание

Термодинамические или конфигурационные системы вблизи критической точки или непрерывного фазового перехода становятся фрактальными , и поведение многих величин в таких условиях описывается универсальными критическими показателями . Теория перколяции представляет собой особенно простую и фундаментальную модель статистической механики, имеющую критическую точку, и была проделана большая работа по нахождению ее критических показателей как теоретически (ограничено двумя измерениями), так и численно.

Критические показатели степени существуют для множества наблюдаемых, но большинство из них связаны друг с другом отношениями экспоненты (или масштабирования). Лишь немногие из них независимы, и выбор фундаментальных показателей зависит от направленности данного исследования. Один из вариантов — набор $\{\sigma ,\,\tau \}\,\!$ мотивированный распределением размера кластера, другой вариант — $\{d_{\text{f}},\,\nu \}\,\!$ мотивировано структурой бесконечного кластера. Так называемые показатели коррекции расширяют эти наборы, они относятся к более высоким порядкам асимптотического разложения вокруг критической точки.

Определения показателей

Самоподобие на пороге перколяции

Перколяционные кластеры становятся самоподобными именно при пороговой плотности $p_{c}\,\!$ для достаточно больших масштабов длины, что влечет за собой следующие асимптотические степенные законы:

Фрактальное измерение $d_{\text{f}}\,\!$ описывает, как масса зарождающегося бесконечного скопления зависит от радиуса или другой меры длины, $M(L)\sim L^{d_{\text{f}}}\,\!$ в $p=p_{c}\,\!$ и для датчиков больших размеров, $L\to \infty \,\!$ . Другие обозначения: магнитный показатель. $y_{h}=D=d_{f}\,\!$ и соразмерность $\Delta _{\sigma }=d-d_{f}\,\!$ .

Показатель Фишера $\tau \,\!$ характеризует распределение кластеров по размерам $n_{s}\,\!$ , который часто определяется при компьютерном моделировании. Последний подсчитывает количество кластеров заданного размера (объема) $s\,\!$ , нормированный на общий объем (число узлов решетки). Распределение подчиняется степенному закону на пороге: $n_{s}\sim s^{-\tau }\,\!$ асимптотически как $s\to \infty \,\!$ .

Вероятность для двух сайтов, разделенных расстоянием ${\vec {r}}\,\!$ принадлежать к тем же кластерным распадам, что и $g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-2(d-d_{\text{f}})}\,\!$ или $g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-d+(2-\eta )}\,\!$ для больших расстояний, что вносит аномальную размерность $\eta \,\!$ . Также, $\delta =(d+2-\eta )/(d-2+\eta )$ и $\eta =2-\gamma /\nu$ .

Экспонента $\Omega \,\!$ связано с ведущей поправкой к масштабированию , которая проявляется, например, в асимптотическом разложении распределения по размерам кластеров, $n_{s}\sim s^{-\tau }(1+{\text{const}}\times s^{-\Omega })\,\!$ для $s\to \infty \,\!$ . Также, $\omega =\Omega /(\sigma \nu )=\Omega d_{f}$ .

Для таких величин, как средний размер кластера $S\sim a_{0}|p-p_{c}|^{-\gamma }(1+a_{1}(p-p_{c})^{\Delta _{1}}+\ldots )$ , поправки контролируются показателем степени $\Delta _{1}=\Omega \beta \delta =\omega \nu$ . ^[1]

Минимальное или или химическое расстояние показатель пути кратчайшего $d_{\mathrm {min} }$ описывает, как среднее минимальное расстояние $\langle \ell \rangle$ относится к евклидову расстоянию $r$ , а именно $\langle \ell \rangle \sim r^{d_{\mathrm {min} }}$ Обратите внимание, что более целесообразно и практично измерять среднее значение. $r$ , < $r$ > для заданного $\ell$ . Эластичный позвоночник ^[2] имеет ту же фрактальную размерность, что и кратчайший путь. Соответствующая величина - это размер распространения. $d_{\ell }$ , который описывает масштабирование массы M критического кластера на химическом расстоянии $\ell$ как $M\sim \ell ^{d_{\ell }}$ , и связано с фрактальной размерностью $d_{f}$ кластера $d_{\ell }=d_{f}/d_{\mathrm {min} }$ . Химическую дистанцию можно также рассматривать как время в процессе роста эпидемии, и она также определяет $\nu _{t}$ где $d_{\mathrm {min} }=\nu _{t}/\nu =z$ , и $z$ является динамическим показателем . ^[3] Еще один пишет $\nu _{\parallel }=\nu _{t}$ .

С минимальной размерностью также связан одновременный рост двух соседних кластеров. Вероятность того, что два кластера сольются точно во времени $t$ масштабируется как $p(t)\sim t^{-\lambda }$ ^[4] с $\lambda =1+5/(4d_{\mathrm {min} })$ . ^[5]

Размер магистрали , который определяется как подмножество сайтов кластера.Проведение тока при наличии разницы напряжений между двумя удаленными друг от друга объектами - это $d_{\text{b}}$ (или $d_{\text{BB}}$ ). Также определяется $\xi =d-d_{\text{b}}$ . ^[6]

Фрактальная размерность по случайного блуждания бесконечному зарождающемуся перколяционному кластеру определяется выражением $d_{w}$ .

Спектральное измерение ${\tilde {d}}$ такое, что среднее количество отдельных сайтов, посещаемых за $N$ -шаговое случайное блуждание масштабируется как $N^{\tilde {d}}$ .

Критическое поведение, близкое к порогу перколяции

Приближение к порогу перколяции снова определяется степенными законами, которые асимптотически близки к $p_{c}\,\!$ :

Экспонента $\nu \,\!$ описывает расхождение корреляционной длины $\xi \,\!$ по мере приближения к перколяционному переходу $\xi \sim |p-p_{c}|^{-\nu }\,\!$ . Бесконечный кластер становится однородным на масштабах, выходящих за пределы корреляционной длины; кроме того, это мера линейной протяженности наибольшего конечного кластера. Другие обозначения: тепловой показатель. $y_{t}=1/\nu$ и размер $\Delta _{\epsilon }=d-1/\nu$ .

Вне критичности существуют только конечные кластеры до максимального размера кластера. $s_{\max }\,\!$ , а распределение кластеров по размерам плавно обрезается быстро убывающей функцией: $n_{s}\sim s^{-\tau }f(s/s_{\max })\,\!$ . Экспонента $\sigma$ характеризует расхождение параметра среза, $s_{\max }\sim |p-p_{c}|^{-1/\sigma }\,\!$ . Из фрактального соотношения имеем $s_{\max }\sim \xi ^{d_{\text{f}}}\,\!$ , уступая $\sigma =1/\nu d_{\text{f}}\,\!$ .

Плотность кластеров (количество кластеров на сайт) $n_{c}$ непрерывен на пороге, но его третья производная стремится к бесконечности, что определяется показателем степени $\alpha$ : $n_{c}\sim A+B(p-p_{c})+C(p-p_{c})^{2}+D_{\pm }|p-p_{c}|^{2-\alpha }+\cdots$ , где $D_{\pm }$ представляет коэффициент выше и ниже точки перехода.

Сила вес или просачивающегося кластера , $P$ или $P_{\infty }$ , — вероятность того, что сайт принадлежит бесконечному кластеру. $P$ равен нулю ниже перехода и не является аналитическим. Чуть выше перехода, $P\sim (p-p_{c})^{\beta }\,\!$ , определяя показатель степени $\beta \,\!$ . $\ P$ играет роль параметра порядка .

Расхождение среднего размера кластера $S=\sum _{s}s^{2}n_{s}/p_{c}\sim |p-p_{c}|^{-\gamma }\,\!$ вводит показатель степени $\gamma \,\!$ .

Показатель разрыва Δ определяется как Δ = 1/(β+γ) = 1/σ и представляет собой «разрыв» в значениях критического показателя с одного момента. $M_{n}$ к следующему $M_{n+1}$ для $n>2$ .

Показатель проводимости $t=\nu t'$ описывает, как электропроводность $C$ обращается в ноль в смеси проводник-изолятор, $C\sim (p-p_{c})^{t}\,\!$ . Также, $t'=\zeta$ .

Критические показатели поверхности

Вероятность того, что точка на поверхности принадлежит просачивающемуся или бесконечному кластеру для $p\geq p_{c}$ является $P_{\mathrm {surf} }\sim (p-p_{c})^{\beta _{\mathrm {surf} }}\,\!$ .

Поверхностная фрактальная размерность определяется выражением $d_{\mathrm {surf} }=d-1-\beta _{\mathrm {surf} }/\nu$ . ^[7]

Корреляции, параллельные и перпендикулярные поверхности, затухают как $g_{\parallel }({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{2-d-\eta _{\parallel }}\,\!$ и $g_{\perp }({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{2-d-\eta _{\perp }}\,\!$ . ^[8]

Средний размер конечных кластеров, связанных с узлом на поверхности, равен $\chi _{1}\sim |p-p_{c}|^{-\gamma _{1}}$ . ^[9]^[10]^[11]

Среднее количество участков на поверхности, соединенных с участком на поверхности, равно $\chi _{1,1}\sim |p-p_{c}|^{-\gamma _{1,1}}$ . ^[9]^[10]^[11]

Масштабирование отношений

Отношения гипермасштабирования

\tau ={\frac {d}{d_{\text{f}}}}+1\,\!

d_{\text{f}}=d-{\frac {\beta }{\nu }}\,\!

\eta =2+d-2d_{\text{f}}\,\!

Отношения, основанные на $\{\sigma ,\tau \}$

\alpha =2-{\frac {\tau -1}{\sigma }}\,\!

\beta ={\frac {\tau -2}{\sigma }}\,\!

\gamma ={\frac {3-\tau }{\sigma }}\,\!

\beta +\gamma ={\frac {1}{\sigma }}=\nu d_{f}\,\!

\nu ={\frac {\tau -1}{\sigma d}}={\frac {2\beta +\gamma }{d}}\,\!

\delta ={\frac {1}{\tau -2}}\,\!

Отношения, основанные на $\{d_{\text{f}},\nu \}$

\alpha =2-\nu d\,\!

\beta =\nu (d-d_{\text{f}})\,\!

\gamma =\nu (2d_{\text{f}}-d)\,\!

\sigma ={\frac {1}{\nu d_{\text{f}}}}\,\!

Масштабные соотношения проводимости

d_{w}=d+{\frac {t-\beta }{\nu }}\,\!

t'=d_{w}-d_{f}\,\!

{\tilde {d}}=2d_{f}/d_{w}

Отношения масштабирования поверхности

\eta _{\parallel }=2-d+2\beta _{\mathrm {surf} }/\nu \,\!

d_{\mathrm {surf} }=d-1-\beta _{\mathrm {surf} }/\nu \,\!

\eta _{\parallel }=2\eta _{\perp }-\eta \,

^[12]

\gamma _{1}=\nu (2-\eta _{\perp })\,\!

^[11]

\gamma _{1,1}=\nu (d-1-2\beta _{\mathrm {surf} }/\nu )=\nu (1-\eta _{\parallel })\,\!

^[11]^[13]

\gamma +\nu =2\gamma _{1}-\gamma _{1,1}\,\!

^[10]^[11]

x_{1}=\beta _{\mathrm {surf} }/\nu \,\!

Экспоненты для стандартной перколяции

$д$	$1$ ^[14]	$2$	$3$	$4$	$5$	$6 - е$ ^[15]^[16]^[17]^{[примечание 1]}	$6 +$
$а$	1	–2/3	-0.625(3) -0.64(4) ^[20]	-0.756(40) -0.75(2) ^[20]	-0.870(1) ^[20]	$-1+{\frac {\varepsilon }{7}}-{\frac {443}{2^{2}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}$	-1
$б$	0	0.14(3) ^[21] 5/36	0.39(2) ^[22] 0.4181(8) 0.41(1) ^[23] 0.405(25), ^[24] 0.4273 ^[19] 0.4053(5) ^[25] 0.429(4) ^[20]	0.52(3) ^[22] 0.639(20) ^[26] 0.657(9) 0.6590 ^[19] 0.658(1) ^[20]	0.66(5) ^[22] 0.835(5) ^[26] 0.830(10) 0.8457 ^[19] 0.8454(2) ^[20]	$1-{\frac {\varepsilon }{7}}-{\frac {61}{2^{2}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}$	1
$с$	1	43/18	1.6 ^[23] 1.80(5) ^[22] 1.66(7) ^[27] 1.793(3) 1.805(20) ^[26] 1.8357 ^[19] 1.819(3) ^[25] 1.78(3) ^[20]	1.6(1) ^[22] 1.48(8) ^[27] 1.422(16) 1.4500 ^[19] 1.435(15) ^[26] 1.430(6) ^[20]	1.3(1) ^[22] 1.18(7) ^[27] 1.185(5) ^[26] 1.1817 ^[19] 1.1792(7) ^[20]	$1+{\frac {\varepsilon }{7}}+{\frac {565}{2^{2}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}$	1
$д$	$\infty$	91/5, 18 ^[28]	5.29(6) ^[29]^* 5.3 ^[28] 5.16(4) ^[20]	3.9 ^[28] 3.198(6) ^[30] 3.175(8) ^[20]	3.0 ^[28] 2.3952(12) ^[20]	$2+{\frac {2}{7}}\varepsilon +{\frac {565}{2\cdot 3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}$	2
$или$	1	5/24	-0.046(8) ^[29] -0.059(9) ^[31] -0.07(5) ^[26] -0.0470 ^[19] −0.03(1) ^[20]	-0.12(4) ^[26] -0.0944(28) ^[30] -0.0929(9) ^[32] -0.0954 ^[19] -0.084(4) ^[20]	-0.075(20) ^[26] -0.0565 ^[19] −0.0547(10) ^[20]	$-{\frac {\varepsilon }{21}}-{\frac {206}{3^{3}7^{3}}}\varepsilon ^{2}$	0
$н$	1	1.33(5) ^[33] 4/3	0.8(1), ^[23] 0.80(5), ^[33] 0.872(7) ^[26] 0.875(1) ^[29] 0.8765(18) ^[34] 0.8960 ^[19] 0.8764(12) ^[35] 0.8751(11) ^[36] 0.8762(12) ^[37] 0.8774(13) ^[38] 0.88(2) ^[20]	0.6782(50) ^[26] 0.689(10) ^[30] 0.6920 ^[19] 0.693 ^[39] 0.6852(28) ^[38] 0.6845(23) ^[40] 0.6845(6) ^[41] 0.686(2) ^[20]	0.51(5) ^[42] 0,569(5) указано в ^[38] 0.571(3) ^[26] 0.5746 ^[19] 0.5723(18) ^[38] 0.5737(33) ^[40] 0.5757(7) ^[41] 0.5739(1) ^[20]	${\frac {1}{2}}+{\frac {5}{84}}\varepsilon +{\frac {589}{2^{2}3^{3}7^{3}}}\varepsilon ^{2}$	1/2
$п$	1	36/91	0.42(6) ^[43] 0.445(10) ^[29] 0.4522(8) ^[30] 0.4524(6) ^[37] 0.4419 ^[19] 0.452(7) ^[20]	0.476(5) 0.4742 ^[19] 0.4789(14) ^[20]	0.496(4) 0.4933 ^[19] 0.49396(13) ^[20]	${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{98}}\varepsilon ^{2}$	1/2
$т$	2	187/91	2.186(2) ^[31] 2.1888 ^[19] 2.189(2) ^[29] 2.190(2) ^[32] 2.189(1) ^[44] 2.18906(8) ^[30] 2.18909(5) ^[37] 2.1892(1) ^[45] 2.1938(12) ^[20]	2.26 ^[28] 2.313(3) ^[46] 2.3127(6) ^[30] 2.313(2) ^[32] 2.3124 ^[19] 2.3142(5) ^[45] 2.3150(8) ^[20]	2.33 ^[28] 2.412(4) ^[46] 2.4171 ^[19] 2.419(1) ^[45] 2.4175(2) ^[20]	${\frac {5}{2}}-{\frac {\varepsilon }{14}}+{\frac {313}{2^{3}3^{2}7^{3}}}\varepsilon ^{2}$	5/2
$d_{\text{f}}$	1	91/48	2.523(4) ^[29]^* 2.530(4) ^[31]^* 2.5230(1) ^[34] 2.5226(1) ^[47] 2.52293(10) ^[37]	3.12(2), ^[42] 3.05(5), 3.003 ^[39] 3.0472(14) ^[30] 3.046(7) ^[46] 3.046(5) ^[32] 3.0479 ^[19] 3.0437(11) ^[45] 3.0446(7) ^[40]	3.54(4) 3.69(2) ^[42] 3.528 ^[19] 3.524(2) ^[45] 3.5260(14) ^[40]	$4-{\frac {10}{21}}\varepsilon +{\frac {103}{3^{3}7^{3}}}\varepsilon ^{2}$	4
$Ой$		0.70(2) ^[32] 0.77(4) ^[48] 0.77(2) ^[49] 72/91 ^[50]^[51] 0.44(9) ^[1]	0.50(9) ^[26] 0.64(2) ^[29] 0.73(8) ^[31] 0.65(2) ^[52] 0.60(8) ^[32] 0.77(3) ^[45] 0.64(5) ^[34]	0.31(5) ^[26] 0.5(1) ^[32] 0.37(4) ^[30] 0.4008 ^[19]	0.27(7) ^[26] 0.2034 ^[19] 0.210(2) ^[20]	${\frac {\varepsilon }{4}}-{\frac {283}{2^{2}3^{2}7^{2}}}\varepsilon ^{2}$
$ой$		3/2 ^[50]	1.26(23) ^[26] 1.6334 ^[19] 1.62(13) ^[34] 1.61(5) ^[29]	0.94(15) ^[26] 1.2198 ^[19] 1.13(10) ^[30] 1.0(2) ^[53]	0.96(26) ^[26] 0.7178 ^[19]	$\varepsilon -{\frac {671}{2\cdot 3^{2}7^{2}}}\varepsilon ^{2}$ ^[54]^[19]	0
$t'=t/\nu$		0.9479 ^[55] 0.995(1) ^[56] 0.977(8)) ^[57] 0.9825(8) ^[4]	2.276(12) ^[58] 2.26(4) ^[59] 2.305(15) ^[60] 2.283(3) ^[53]				3
$d_{w}$		2.8784(8) ^[4]
$d_{s}$		4/3 ^[55] 1.327(1) ^[56] 1.3100(11) ^[4]	1.32(6) ^[61]
$d_{\mathrm {surf} }$		2/3 ^[62]^[63]	1.04(5) ^[10] 1.030(6) ^[64] 1.0246(4) ^[65]	1.32(7) ^[66]	1.65(3) ^[66]	$2-{\frac {5}{21}}\varepsilon$ ^[66]	2 ^[66]
$\beta _{\mathrm {surf} }/\nu =x_{1}$		1/3 ^[62]	0.98(2) ^[67] 0.970(6) ^[64] 0.975(4) ^[68] 0.9754(4) ^[65] 0.974(2) ^[69]	1.64(2) ^[69]	2.408(5) ^[69]	3
$\eta _{\parallel }$ (серфинг)		2/3 ^[62]	1.02(12) ^[66] 1.08(10) ^[10]	1.37(13) ^[66]	1.7(6) ^[66]
$d_{\text{b}}$		1.60(5) ^[2] 1.64(1) ^[70] 1.647(4) ^[3] 1.6432(8) ^[4] 1.6434(2) ^[71] 1.64336(10) ^[72] 1.64333316328711...* ^[6]	1.8, 1.77(7) ^[2] 1.855(15) ^[73]	1.95(5) ^[74] 1.9844(11) ^[40]	2.00(5) ^[74] 2.0226(27) ^[40]		2
$d_{\text{min}}=z$		1.132(2) ^[75] 1.130(3) ^[76] 1.1307(4) ^[3] 1.1303(8) ^[77] 1.1306(3) ^[4] 1.130 77(2) ^[78]	1.35(5) ^[2] 1.34(1) ^[76] 1.374(6) ^[64] 1.3756(6) ^[78] 1.3756(3) ^[35] 1.3755(3) ^[37]	1.607(5) ^[46] 1.6042(5) ^[40]	1.812(6) ^[46] 1.8137(16) ^[40]		2
$\lambda =\mu +1$		2.1055(10) ^[79] 2.1056(3) ^[5] 2.1045(10) ^[80] 2.105 ^[81]

Для $d=2$ , $d_{\mathrm {b} }=2-(z^{2}-1)/12$ где $z$ удовлетворяет ${\sqrt {3}}z/4+\sin(2\pi z/3)=0$ около $z=2.3$ . ^[6]

Экспоненты для защищенной просачивания

При защищенной перколяции связи удаляются по одной только из перколяционного кластера. Изолированные кластеры больше не модифицируются. Масштабирование отношений: $\beta '=\beta /(1+\beta )$ , $\gamma '=\gamma /(1+\beta )$ , $\nu '=\nu /(1+\beta )$ , $\tau '=\tau$ где отмеченные количества обозначают защищенную просачивание ^[25]

$д$	$2$	$3$
$б'$	5/41 ^[25]	0.288 71(15) ^[25]
$с'$	86/41 ^[25]	1.3066(19) ^[25]
$тот$	187/91 ^[25]	2.1659(21) ^[25]

Показатели стандартной перколяции на нетривиальной плоской решетке ( Взвешенная плоская стохастическая решетка (WPSL) )

WPSL	Экспоненты
$d$	$2$
$\nu$	$1.635$
$\beta$	$0.222$
$\gamma$	$2.825$
$\tau$	$2.072$
$d_{f}$	$1.864$

Отметим, что утверждалось, что численные значения показателей перколяции зависят только от размера решетки. Однако перколяция на WPSL является исключением в том смысле, что, хотя она и двумерна, она не принадлежит той универсальности, которой принадлежат все плоские решетки. ^[82]^[83]

Показатели направленной перколяции

Направленная перколяция (DP) относится к перколяции, при которой жидкость может течь только в одном направлении вдоль связей, например, только в направлении вниз по квадратной решетке, повернутой на 45 градусов. Эта система называется «1 + 1-мерной ДП», где два измерения рассматриваются как пространство и время.

$\nu _{\perp }$ и $\nu _{\parallel }$ – поперечный (перпендикулярный) и продольный (параллельный) показатели корреляционной длины соответственно. Также $\zeta =1/z=\nu _{\perp }/\nu _{\parallel }$ . Он удовлетворяет соотношению гипермасштабирования $d/z=\eta +2\delta$ .

Для показателя степени было использовано другое соглашение. $z$ , который здесь мы называем $z'$ , определяется через соотношение $\langle R^{2}\rangle \sim t^{z'}$ , так что $z'=\nu _{\parallel }/\nu _{\perp }=2/z$ . ^[84] Он удовлетворяет соотношению гипермасштабирования $dz'=2\eta +4\delta$ .

$\delta$ – показатель степени, соответствующий поведению вероятности выживания в зависимости от времени: $P(t)\sim t^{-\delta }$ .

$\eta$ (иногда называемый $\mu$ ) — показатель степени, соответствующий поведению среднего количества посещенных сайтов за раз $t$ (в среднем по всем образцам, включая прекратившие распространение): $N(t)\sim t^{-\eta }$ .

Показатели размерности d(пространство)+1(время) приведены ниже.

$д+1$	$1+1$	$2+1$	$3+1$	$4 - е$ ^[85]	$Среднее поле$
$б$	0.276486(8) ^[86] 0.276 7(3) ^[87]	0.5834(30) ^[88] 0.580(4) ^[87]	0.813(9) ^[89] 0.818(4) ^[87] 0.82205 ^[85]	$1-{\frac {\varepsilon }{6}}$	1
$д, а$	0.159464(6) ^[86] 0.15944(2) ^[87]	0.4505(1) ^[88] 0.451(3) ^[84] 0.4509(5) ^[90] 0.4510(4) ^[87] 0.460(6) ^[91]	0.732(4) ^[92] 0.7398(10) ^[87] 0.73717 ^[93]	$1-{\frac {\varepsilon }{4}}$	1
$привет$	0.313686(8) ^[86] 0.31370(5) ^[87]	0.2303(4) ^[90] 0.2307(2) ^[87] 0.2295(10) ^[88] 0.229(3) ^[84] 0.214(8) ^[91]	0.1057(3) ^[87] 0.114(4) ^[89] 0.12084 ^[93]
$\nu _{\parallel }$	1.733847(6) ^[86] 1.733825(25) ^[94] 1.7355(15) ^[87]1.73(2) ^[95]	1.16(5) ^[95] 1.287(2) ^[87] 1.295(6) ^[84]	1.106(3) ^[87] 1.11(1) ^[89] 1.10571 ^[93]
$\nu _{\perp }$	1.096854(4) ^[86] 1.096844(14) ^[94] 1.0979(10) ^[87]	0.7333(75) ^[92] 0.729(1) ^[87]	0.584(5) ^[92] 0.582(2) ^[87] 0.58360 ^[93]	${\frac {1}{2}}+{\frac {\varepsilon }{16}}$	${\frac {1}{2}}$
$z=2/z'$	1.580745(10) ^[86] 1.5807(2) ^[87]	1.7660(16) ^[92] 1.765(3) ^[84] 1.766(2) ^[88] 1.7665(2) ^[87] 1.7666(10) ^[90]	1.88746 ^[93] 1.8990(4) ^[87] 1.901(5) ^[92]	$2-{\frac {\varepsilon }{12}}$	2
$с$	2.277730(5) = 41/18?, ^[86] 2.278(2) ^[96]	1.595(18) ^[88]	1.237(23) ^[89]		1
$т$	2.112(5), ^[97] 2.1077(13), ^[98] 2.10825(8) ^[86]

Масштабирующие соотношения для направленной перколяции

$\beta ={\frac {\tau -2}{\sigma }}$

$\gamma ={\frac {3-\tau }{\sigma }}$

$\tau =2+{\frac {2}{1+\gamma /\beta }}$ ^[98]

${\tilde {\tau }}=\nu _{\parallel }-\beta$ ^[86]

$\eta =\gamma /\nu _{\parallel }-1$

$d_{\mathrm {DP} }=2-\beta /\nu _{\parallel }$ ^[99]

$d_{b,\mathrm {DP} }=2-2\beta /\nu _{\parallel }$ ^[99]

$\Delta =\beta +\gamma$

$dz'=2\eta +4\delta$

$d/z=\eta +2\delta$

Экспоненты динамической перколяции

Для динамической перколяции (эпидемического роста обычных перколяционных кластеров) имеем

$P(t)\sim L^{-\beta /\nu }\sim (t^{1/d_{\mathrm {min} }})^{-\beta /\nu }=t^{-\delta }$ , подразумевая

$\delta ={\frac {\beta }{\nu d_{\mathrm {min} }}}={\frac {d-d_{f}}{d_{\mathrm {min} }}}$

Для $N(t)\sim t^{\eta }$ , учитывать $N(\leq s)\sim s^{3-\tau }\sim R^{d_{f}(3-\tau )}\sim t^{d_{f}(3-\tau )/d_{\mathrm {min} }}$ и взяв производную по $t$ урожайность $N(t)\sim t^{d_{f}(3-\tau )/d_{\mathrm {min} }-1}$ , подразумевая

$\eta ={\frac {d_{f}(3-\tau )}{d_{\mathrm {min} }}}-1={\frac {2d_{f}-d}{d_{\mathrm {min} }}}-1$

Также, $z=d_{\mathrm {min} }$

Используя приведенные выше показатели, находим

$д:$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6 - е$	$Среднее поле$
$\delta$	0.09212	0.34681	0.59556	0.8127		1
$\eta ,\mu$	0.584466	0.48725	0.30233	0.1314		0

См. также

Примечания

^ Для членов более высокого порядка в $\varepsilon$ расширения см. ^[18]^[19]^[20]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Адлер, Джоан; Моше, Моше; Привман, Владимир (1983). «Глава 2: Исправления к масштабированию для перколяции». В Дойшере, Г.; Заллен, Р.; Адлер, Дж. (ред.). Перколяционные структуры и процессы, Ann. Израиль Физ. Соц. 5 . Адам Хильгер, Бристоль. стр. 397–423.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Херрманн, HJ; округ Колумбия Хонг; Его Превосходительство Стэнли (1984). «Опора и эластичный каркас перколяционных кластеров, полученных новым методом «сжигания» ». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 17 (5): Л261–Л266. Бибкод : 1984JPhA...17L.261H . дои : 10.1088/0305-4470/17/5/008 . S2CID 16510317 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Грассбергер, Питер (1992). «Распространение и основные размеры двумерной перколяции». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 25 (21): 5475–5484. Бибкод : 1992JPhA...25.5475G . дои : 10.1088/0305-4470/25/21/009 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Грассбергер, Питер (1999). «Показатель проводимости и размерность основной цепи в двумерной перколяции». Физика А. 262 (3–4): 251–263. arXiv : cond-mat/9808095 . Бибкод : 1999PhyA..262..251G . дои : 10.1016/S0378-4371(98)00435-X . S2CID 955125 .
^ Jump up to: ^а ^б Зифф, РМ (1999). «Точный критический показатель для функции масштабирования кратчайшего пути при перколяции». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 32 (43): Л457–Л459. arXiv : cond-mat/9907305 . Бибкод : 1999JPhA...32L.457Z . дои : 10.1088/0305-4470/32/43/101 . S2CID 1605985 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Нолен, Пьер; Вэй Цянь; Синь Сунь; Цзыцзе Чжуан (2023). «Основная экспонента для двумерной перколяции». arXiv : 2309.05050 [ мат.PR ].
^ Стауффер, Д.; А. Ахарони (1999). «Профиль плотности зарождающегося бесконечного перколяционного кластера». Международный журнал современной физики C . 10 (5): 935–940. Бибкод : 1999IJMPC..10..935S . дои : 10.1142/S0129183199000735 .
^ Биндер, К.; ПК Хоэнберг (1972). «Фазовые переходы и статические спиновые корреляции в моделях Изинга со свободными поверхностями» . Физический обзор B . 6 (9): 3461–3487. Бибкод : 1972PhRvB...6.3461B . дои : 10.1103/PhysRevB.6.3461 .
^ Jump up to: ^а ^б Де'Белл, Кейт (1980). Поверхностные эффекты при перколяции (кандидатская диссертация). Лондонский университет.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ДеБелл; Дж. Эссам (1980). «Рядные исследования расширения перколяции на поверхности». Дж. Физ. C: Физика твердого тела . 13 (25): 4811–4821. Бибкод : 1980JPhC...13.4811D . дои : 10.1088/0022-3719/13/25/023 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Биндер, К. (1981). «Критическое поведение на поверхностях». В Домбе, К.; Лебовиц, Дж.Л. (ред.). Фазовые переходы и критические явления, Том 8 . Академическая пресса. стр. 1–144. ISBN 978-0122203084 .
^ Лубенский, ТЦ; М. Х. Рубин (1975). «Критические явления в полубесконечных системах. И. $\epsilon$ расширение для положительной длины экстраполяции» . Physical Review B. 11 ( 11): 4533–4546. Bibcode : 1975PhRvB..11.4533L . doi : 10.1103/PhysRevB.11.4533 .
^ Плеймлинг, М. (2004). «Критические явления на идеальных и неидеальных поверхностях». Журнал физики A: Математический и общий . 37 (19): С79–Р115. arXiv : cond-mat/0402574 . дои : 10.1088/0305-4470/37/19/R01 . S2CID 15712212 .
^ Рейнольдс, П.Дж.; Его Превосходительство Стэнли; В. Кляйн (1977). «Поля-призраки, парная связность и масштабирование: точные результаты в одномерной перколяции» . Журнал физики A: Математический и общий . 10 (11): Л203–Л209. Бибкод : 1977JPhA...10L.203R . дои : 10.1088/0305-4470/10/11/007 .
^ Эссам, JW (1980). «Теория перколяции» . Реп. прог. Физ . 43 (7): 833–912. Бибкод : 1980RPPh...43..833E . дои : 10.1088/0034-4885/43/7/001 . S2CID 250755965 .
^ Харрис, AB; ТЦ Лубенский; В. К. Холкомб; К. Дасгупта (1975). «Ренормгрупповой подход к проблемам перколяции» . Письма о физических отзывах . 35 (6): 327–330. Бибкод : 1975PhRvL..35..327H . дои : 10.1103/PhysRevLett.35.327 .
^ Священник, Р.Г.; Т.Ц. Лубенский (1976). «Критические свойства двух тензорных моделей применительно к задаче перколяции» . Физический обзор B . 13 (9): 4159–4171. Бибкод : 1976PhRvB..13.4159P . дои : 10.1103/PhysRevB.13.4159 .
^ Алькантара Бонфим, 0. Ф.; Дж. Э. Киркхэм; Эй Джей Маккейн (1981). «Критические показатели задачи перколяции и особенности края Янга-Ли» . Дж. Физ. А: Математика. Ген . 14 (9): 2391–2413. Бибкод : 1981JPhA...14.2391D . дои : 10.1088/0305-4470/14/9/034 . {{cite journal}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа Грейси, Дж.А. (2015). «Четырехпетлевая перенормировка теории φ^3 в шести измерениях». Физ. Преподобный Д. 92 (2): 025012. arXiv : 1506.03357 . Бибкод : 2015PhRvD..92b5012G . doi : 10.1103/PhysRevD.92.025012 . S2CID 119205590 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С Боринский, М; Дж. А. Грейси; МВ Компанияец; О. Шнец (2021). «Пятипетлевая перенормировка теории фи ^ 3 с приложениями к особенности края Ли-Янга и теории перколяции». Физический обзор D . 103 : 116024. arXiv : 2103.16224 . дои : 10.1103/PhysRevD.103.116024 . S2CID 232417253 .
^ Сайкс, МФ; М. Глен; Д.С. Гонт (1974). «Вероятность перколяции задачи узла на треугольной решетке». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 7 (9): Л105–Л108. Бибкод : 1974JPhA....7L.105S . дои : 10.1088/0305-4470/7/9/002 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Киркпатрик, Скотт (1976). «Явления перколяции в более высоких измерениях: подход к пределу среднего поля». Физ. Преподобный Летт . 36 (2): 69–72. Бибкод : 1976PhRvL..36...69K . дои : 10.1103/PhysRevLett.36.69 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Сур, А.; Джоэл Л. Лебовиц; Дж. Марро; М. Х. Калос; С. Киркпатрик (1976). «Исследование явлений перколяции методом Монте-Карло для простой кубической решетки». Дж. Стат. Физ . 15 (5): 345–353. Бибкод : 1976JSP....15..345S . дои : 10.1007/BF01020338 . S2CID 38734613 .
^ Адлер, Джоан; Игаль Меир; Амнон Ахароний; АБ Харрис; Лиор Кляйн (1990). «Серия низких концентраций в общем измерении». Журнал статистической физики . 58 (3/4): 511–538. Бибкод : 1990JSP....58..511A . дои : 10.1007/BF01112760 . S2CID 122109020 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Файфар, Шон; Бретанья, Алекс; Монтфрой, Воутер (15 января 2021 г.). «Защищенная перколяция: новый класс универсальности, относящийся к сильно легированным квантовым критическим системам» . Журнал физических коммуникаций . 5 (1): 015008. arXiv : 2008.08258 . Бибкод : 2021JPhCo...5a5008F . дои : 10.1088/2399-6528/abd8e9 . ISSN 2399-6528 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д Адлер, Дж .; Ю. Меир; А. Ахарони; АБ Харрис (1990). «Серийное исследование моментов перколяции в общем измерении» . Физ. Преподобный Б. 41 (13): 9183–9206. Бибкод : 1990PhRvB..41.9183A . дои : 10.1103/PhysRevB.41.9183 . ПМИД 9993262 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Гонт, Д.С.; Х. Раскин (1978). «Процессы перколяции связей в d измерениях». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 11 (7): 1369–1380. Бибкод : 1978JPhA...11.1369G . дои : 10.1088/0305-4470/7.11.025 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Наканиси, Х; Его Превосходительство Стэнли (1980). «Масштабирование явлений перколяции в системах размерности от двух до семи: числа кластеров». Физический обзор B . 22 (5): 2466–2488. Бибкод : 1980PhRvB..22.2466N . дои : 10.1103/PhysRevB.22.2466 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Лоренц, CD; Р. М. Зифф (1998). «Точное определение порогов перколяции связей и поправок к масштабированию конечного размера для решеток sc, fcc и bcc». Физ. Преподобный Е. 57 (1): 230–236. arXiv : cond-mat/9710044 . Бибкод : 1998PhRvE..57..230L . дои : 10.1103/PhysRevE.57.230 . S2CID 119074750 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Бальестерос, ХГ; Л.А. Фернандес; В. Мартин-Майор; А. Муньос Судепе; Г. Паризи; Джей Джей Руис-Лоренцо (1997). «Меры критических показателей в четырехмерном просачивании сайтов». Буквы по физике Б. 400 (3–4): 346–351. arXiv : hep-lat/9612024 . Бибкод : 1997PhLB..400..346B . дои : 10.1016/S0370-2693(97)00337-7 . S2CID 10242417 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Ян, Н.; Д. Стауффер (1998). «Случайное просачивание сайтов в трех измерениях». Межд. Дж. Мод. Физ. С. 9 (2): 341–347. Бибкод : 1998IJMPC...9..341J . дои : 10.1142/S0129183198000261 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Тиггеманн, Д. (2001). «Моделирование перколяции на компьютерах с массовым параллелизмом». Межд. Дж. Мод. Физ. С. 12 (6): 871–878. arXiv : cond-mat/0106354 . Бибкод : 2001IJMPC..12..871T . дои : 10.1142/S012918310100205X . S2CID 118911971 .
^ Jump up to: ^а ^б Левенштейн, М.Э.; Б.И. Шкловский; М.С. Шур; АЛ Эфрос (1975). «Связь между критическими показателями теории перколяции». Ж. Эксп. Теор. Физ . 69 : 386–392. Бибкод : 1975JETP...42..197L . ,
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Баллестерос, Пенсильвания; Л.А. Фернандес; В. Мартин-Майор; А. Муньос Судепе; Г. Паризи; Джей Джей Руис-Лоренцо (1999). «Поправки к масштабированию: просачивание участков и модель Изинга в трех измерениях». Журнал физики А. 32 (1): 1–13. arXiv : cond-mat/9805125 . Бибкод : 1999JPhA...32....1B . дои : 10.1088/0305-4470/32/1/004 . S2CID 2787294 .
^ Jump up to: ^а ^б Ван, Дж.; З. Чжоу; В. Чжан; ТМ Гарони; Ю. Дэн (2013). «Связь и просачивание сайтов в трех измерениях». Физический обзор E . 87 (5): 052107.arXiv : 1302.0421 . Бибкод : 2013PhRvE..87e2107W . дои : 10.1103/PhysRevE.87.052107 . ПМИД 23767487 . S2CID 14087496 . ,
^ Хм.; Х.В. Блёте; Р. М. Зифф; Ю. Дэн (2014). «Краткодействующие корреляции в просачивании при критичности». Физический обзор E . 90 (4): 042106. arXiv : 1406.0130 . Бибкод : 2014PhRvE..90d2106H . дои : 10.1103/PhysRevE.90.042106 . ПМИД 25375437 . S2CID 21410490 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Сюй, Сяо; Ван, Цзюньфэн; Лев, Цзянь-Пин; Дэн, Юджин (2014). «Одновременный анализ трехмерных моделей перколяции». Границы физики . 9 (1): 113–119. arXiv : 1310.5399 . Бибкод : 2014FrPhy...9..113X . дои : 10.1007/s11467-013-0403-z . S2CID 119250232 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Коза, Збигнев; Якуб Пола (2016). «От дискретной к непрерывной перколяции в измерениях от 3 до 7». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2016 (10): 103206. arXiv : 1606.08050 . Бибкод : 2016JSMTE..10.3206K . дои : 10.1088/1742-5468/2016/10/103206 . S2CID 118580056 .
^ Jump up to: ^а ^б Леклер, Андре; Джошуа Сквайрс (2018). «Конформный бутстрап для перколяции и полимеров». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2018 (12): 123105. arXiv : 1802.08911 . Бибкод : 2018arXiv180208911L . дои : 10.1088/1742-5468/aaf10a . S2CID 73674896 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Чжан, Чжунцзин; Пэнчэн Хоу; Шэн Фан; Хао Ху; Юджин Дэн (2021). «Критические показатели и универсальное избыточное кластерное число перколяции в четырех и пяти измерениях». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 580 : 126124. arXiv : 2004.11289 . Бибкод : 2021PhyA..58026124Z . дои : 10.1016/j.physa.2021.126124 . S2CID 216080833 .
^ Jump up to: ^а ^б Тан, Сяо-Цзюнь; Дэн, Ю-Джин; Якобсен, Йеспер Люкке (2020). «N-кластерные корреляции в четырех- и пятимерной перколяции» . Границы физики . 15 (4): 41501. arXiv : 2006.10981 . Бибкод : 2020FrPhy..1541501T . дои : 10.1007/s11467-020-0972-6 . ISSN 2095-0462 . S2CID 219956814 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Ян, Н; Хонг, округ Колумбия; Стэнли, HE (21 октября 1985 г.). «Фрактальное измерение и другие показатели перколяции в четырех и пяти измерениях» . Журнал физики A: Математический и общий . 18 (15): L935–L939. Бибкод : 1985JPhA...18L.935J . дои : 10.1088/0305-4470/18/15/006 . ISSN 0305-4470 .
^ Сайкс, МФ; Д.С. Гонт; Дж. В. Эссам (1976). «Вероятность перколяции задачи узлов на гранецентрированной кубической решетке». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 9 (5): Л43–Л46. Бибкод : 1976JPhA....9L..43S . дои : 10.1088/0305-4470/9/5/002 .
^ Тиггеманн, Д. (2006). «Перколяция на растущих решетках». Межд. Дж. Мод. Физ. С. 17 (8): 1141–1150. arXiv : cond-mat/0604418 . Бибкод : 2006IJMPC..17.1141T . дои : 10.1142/S012918310600962X . S2CID 119398198 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Мертенс, Стефан; Кристофер Мур (2018). «Пороги перколяции и показатели Фишера в гиперкубических решетках». Физический обзор E . 98 (2): 022120.arXiv : 1806.08067 . Бибкод : 2018PhRvE..98b2120M . дои : 10.1103/PhysRevE.98.022120 . ПМИД 30253462 . S2CID 52821851 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Пол, Джеральд; Р. М. Зифф; Его Превосходительство Стэнли (2001). «Порог перколяции, показатель Фишера и показатель кратчайшего пути для четырех и пяти измерений». Физ. Преподобный Е. 64 (2): 026115. arXiv : cond-mat/0101136 . Бибкод : 2001PhRvE..64b6115P . дои : 10.1103/PhysRevE.64.026115 . ПМИД 11497659 . S2CID 18271196 .
^ Дэн, Юджин; Хенк В.Дж. Блёте (2005). «Исследование модели перколяции сайтов в двух и трех измерениях методом Монте-Карло» . Физ. Преподобный Е. 72 (1): 016126. Бибкод : 2005PhRvE..72a6126D . дои : 10.1103/PhysRevE.72.016126 . ПМИД 16090055 .
^ Каммерер, А.; Ф. Хёфлинг; Т. Франош (2008). «Теория динамического масштабирования с кластерным разрешением и универсальные поправки для переноса в перколяционных системах». Еврофиз. Летт . 84 (6): 66002. arXiv : 0811.1414 . Бибкод : 2008EL.....8466002K . дои : 10.1209/0295-5075/84/66002 . S2CID 16581770 .
^ Зифф, РМ; Ф. Бабалиевский (1999). «Просачивание узлов на ромбовидной решетке Пенроуза». Физика А. 269 (2–4): 201–210. Бибкод : 1999PhyA..269..201Z . дои : 10.1016/S0378-4371(99)00166-1 .
^ Jump up to: ^а ^б Зифф, РМ (2011). «Показатель поправки к масштабированию для двумерной перколяции». Физ. Преподобный Е. 83 (2): 020107.arXiv : 1101.0807 . Бибкод : 2011PhRvE..83b0107Z . дои : 10.1103/PhysRevE.83.020107 . ПМИД 21405805 . S2CID 14750620 .
^ Ахарония, Амнон; Асикайнен, Йоонас (2003). «Фрактальная размерность и поправки к масштабированию критических кластеров Поттса». Фракталы, дополнительный выпуск . 11 (1): 3–7. arXiv : cond-mat/0206367 . дои : 10.1142/S0218348X03001665 .
^ Гимель, Жан-Кристоф; Тако Николаи; Доминик Дюран (2000). «Распределение перколяционных кластеров по размерам на кубических решетках». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 33 (43): 7687–7697. Бибкод : 2000JPhA...33.7687G . дои : 10.1088/0305-4470/33/43/302 . S2CID 121516245 .
^ Jump up to: ^а ^б Козлов Б.; М. Лагес (2010). «Универсальность трехмерных показателей перколяции и поправки первого порядка к масштабированию показателей проводимости». Физика А. 389 (23): 5339–5346. Бибкод : 2010PhyA..389.5339K . дои : 10.1016/j.physa.2010.08.002 .
^ Хоутон, А.; Дж. С. Рив; Диджей Уоллес (1978). «Поведение высокого порядка в теориях поля фи ^ 3 и проблема перколяции». Физ. Преподобный Б. 17 (7): 2956. Бибкод : 1978PhRvB..17.2956H . дои : 10.1103/PhysRevB.17.2956 .
^ Jump up to: ^а ^б Александр, С.; Р. Орбах (1982). «Плотность состояний на фракталах:« фрактоны » » (PDF) . Журнал Physique Lettres . 43 (17): Л625–Л631. doi : 10.1051/jphyslet:019820043017062500 .
^ Jump up to: ^а ^б Милованов, А.В. (1997). «Топологическое доказательство гипотезы Александра-Орбаха». Физ. Преподобный Е. 56 (3): 2437–2446. Бибкод : 1997PhRvE..56.2437M . дои : 10.1103/PhysRevE.56.2437 .
^ Цен, Вэй; Дунбин Лю; Бинцюань Мао (2012). «Алгоритм молекулярной траектории для случайных блужданий по перколяционным системам при критичности в двух и трех измерениях». Физика А. 391 (4): 925–929. Бибкод : 2012PhyA..391..925C . дои : 10.1016/j.physa.2011.01.003 .
^ Джингольд, Дэвид Б.; Си Джей Лобб (1990). «Перколяционная проводимость в трех измерениях». Физический обзор B . 42 (13): 8220–8224. Бибкод : 1990PhRvB..42.8220G . дои : 10.1103/PhysRevB.42.8220 . ПМИД 9994994 .
^ Норманд, Жан-Мари; Ганс Дж. Херрманн (1995). «Точное определение показателя проводимости 3D перколяции с помощью «Перколы» ». Международный журнал современной физики C . 6 (6): 813. arXiv : cond-mat/9602081 . Бибкод : 1995IJMPC...6..813N . дои : 10.1142/S0129183195000678 . S2CID 2912863 .
^ Клерк, Жан-Мари; В.А. Подольский; А.К. Сарычев (2000). «Точное определение показателя проводимости трехмерной перколяции с использованием точной числовой перенормировки». Европейский физический журнал Б. 15 (3): 507–516. Бибкод : 2000EPJB...15..507C . дои : 10.1007/s100510051153 . S2CID 121306901 .
^ Аргиракис, П.; Р. Копельман (1984). «Случайное блуждание по перколяционным кластерам». Физический обзор B . 29 (1): 511–514. Бибкод : 1984PhRvB..29..511A . дои : 10.1103/PhysRevB.29.511 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Карди, Джон (1984). «Конформная инвариантность и поверхностное критическое поведение». Ядерная физика Б . 240 (4): 514–532. Бибкод : 1984НуФБ.240..514С . дои : 10.1016/0550-3213(84)90241-4 .
^ Вандерзанде, К. (1988). «Поверхностное фрактальное измерение двумерной перколяции». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 21 (3): 833–837. Бибкод : 1988JPhA...21..833V . дои : 10.1088/0305-4470/21/3/039 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Грассбергер, Питер (1992). «Численные исследования критической перколяции в трех измерениях». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 25 (22): 5867–5888. Бибкод : 1992JPhA...25.5867G . дои : 10.1088/0305-4470/25/22/015 .
^ Jump up to: ^а ^б Дэн, Юджин; Хенк В.Дж. Блёте (2005). «Поверхностные критические явления в трехмерной перколяции» . Физ. Преподобный Е. 71 (1): 016117. Бибкод : 2005PhRvE..71a6117D . дои : 10.1103/PhysRevE.71.016117 . ПМИД 15697668 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Диль, Х.В.; ПМлам (1989). «Полубесконечная модель Поттса и просачивание на поверхности». З. Физ. Б. 74 (3): 395–401. Бибкод : 1989ZPhyB..74..395D . дои : 10.1007/BF01307889 . S2CID 121559161 .
^ Хансен, А; П.М. Лам; С. Ру (1981). «Параметр порядка поверхности в трехмерной перколяции». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 22 (13): 2635. doi : 10.1088/0305-4470/22/13/056 .
^ Дэн, Юджин; Х. Бл:от (2004). «Анизотропный предел модели перколяции связей и конформная инвариантность в искривленной геометрии». Физ. Преподобный Е. 69 (6): 066129. Бибкод : 2004PhRvE..69f6129D . дои : 10.1103/PhysRevE.69.066129 . ПМИД 15244689 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Пэк, Сын Ки; Петтер Миннхаген; Бом Джун Ким (2010). «Поверхностная и объемная критичность в средней точке перколяции». Физ. Преподобный Е. 81 (4): 041108.arXiv : 1004.2622 . Бибкод : 2010PhRvE..81d1108B . дои : 10.1103/PhysRevE.81.041108 . ПМИД 20481678 . S2CID 18938058 .
^ Ринтул, доктор медицины; Х. Наканиши (1992). «Точное определение основной фрактальной размерности двумерных перколяционных кластеров». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 25 (15): Л945. Бибкод : 1992JPhA...25L.945R . дои : 10.1088/0305-4470/25/15/008 .
^ Дэн, Юджин; Хенк В.Дж. Блёте; Бернар Найнхейс (2004). «Основные показатели двумерной модели Поттса с q-состоянием: исследование Монте-Карло» . Физ. Преподобный Е. 69 (2): 026114. Бибкод : 2004PhRvE..69b6114D . дои : 10.1103/PhysRevE.69.026114 . ПМИД 14995527 .
^ Сюй, Сяо; Ван, Цзюньфэн; Чжоу, Цзунчжэн; Гарони, Тимоти М.; Дэн, Юджин (2014). «Геометрическая структура перколяционных кластеров». Физический обзор E . 89 (1): 012120.arXiv : 1309.7244 . Бибкод : 2014PhRvE..89a2120X . дои : 10.1103/PhysRevE.89.012120 . ПМИД 24580185 . S2CID 25468743 .
^ Ринтул, доктор медицины; Х. Наканиши (1994). «Точная характеристика трехмерных просачивающихся остовов». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 27 (16): 5445–5454. Бибкод : 1994JPhA...27.5445R . дои : 10.1088/0305-4470/27/16/011 .
^ Jump up to: ^а ^б Мукарзель, К. (1994). «Быстрый алгоритм для магистральных сетей». Межд. Дж. Мод. Физ. С. 9 (6): 887–895. arXiv : cond-mat/9801102 . дои : 10.1142/S0129183198000844 . S2CID 14077176 .
^ Грассбергер, П. (1985). «О распространении двумерной перколяции». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 18 (4): Л215–Л219. Бибкод : 1985JPhA...18L.215G . дои : 10.1088/0305-4470/18/4/005 .
^ Jump up to: ^а ^б Херрманн, Ганс Дж.; Х. Юджин Стэнли (1988). «Фрактальная размерность минимального пути в двух- и трехмерной перколяции». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 21 (5): Л829–Л833. Бибкод : 1984JPhA...17L.261H . дои : 10.1088/0305-4470/17/5/008 . S2CID 16510317 .
^ Дэн, Юджин; Вэй Чжан; Тимоти М. Гарони; Алан Д. Сокал; Андреа Спортиелло (2010). «Некоторые геометрические критические показатели перколяции и модели случайных кластеров». Физический обзор E . 81 (2): 020102(Р). arXiv : 0904.3448 . Бибкод : 2010PhRvE..81b0102D . дои : 10.1103/PhysRevE.81.020102 . ПМИД 20365513 . S2CID 1746746 .
^ Jump up to: ^а ^б Чжоу, Цзунчжэн; Цзи Ян; Юджин Дэн; Роберт М. Зифф (2012). «Фрактальное измерение кратчайшего пути для просачивания в двух и трех измерениях». Физический обзор E . 86 (6): 061101. arXiv : 1110.1955 . Бибкод : 2012PhRvE..86a1101G . дои : 10.1103/PhysRevE.86.061101 . ПМИД 23367887 . S2CID 37986944 .
^ Грассбергер, Питер (1999). «Парная связность и масштабирование кратчайшего пути при критической просачивании». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 32 (35): 6233–6238. arXiv : cond-mat/9906309 . Бибкод : 1999JPhA...32.6233G . дои : 10.1088/0305-4470/32/35/301 . S2CID 17663911 .
^ Бреретон, Тим; Кристиан Хирш; Фолькер Шмидт; Дирк Крозе (2014). «Критический показатель масштабирования кратчайшего пути при просачивании континуума». Дж. Физ. А: Математика. Теор . 47 (50): 505003. Бибкод : 2014JPhA...47X5003B . дои : 10.1088/1751-8113/47/50/505003 . S2CID 14191555 .
^ Бреретон, Тим; Хирш, Кристиан; Шмидт, Волкер; Крозе, Дирк (19 декабря 2014 г.). «Критический показатель для масштабирования по кратчайшему пути при просачивании континуума» . Физический журнал A: Математический и теоретический . 47 (50): 505003. doi : 10.1088/1751-8113/47/50/505003 . ISSN 1751-8113 .
^ Хасан, МК; Рахман, ММ (2015). «Перколяция на мультифрактальной безмасштабной планарной стохастической решетке и ее класс универсальности». Физический обзор E . 92 (4): 040101. arXiv : 1504.06389 . Бибкод : 2015PhRvE..92d0101H . дои : 10.1103/PhysRevE.92.040101 . ПМИД 26565145 . S2CID 119112286 .
^ Хасан, МК; Рахман, ММ (2016). «Класс универсальности узлов и перколяции связей на мультифрактальной безмасштабной плоской стохастической решетке». Физический обзор E . 94 (4): 042109. arXiv : 1604.08699 . Бибкод : 2016PhRvE..94d2109H . дои : 10.1103/PhysRevE.94.042109 . ПМИД 27841467 . S2CID 22593028 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Грассбергер, П.; Ю. Чжан (1996). « Самоорганизованная формулировка стандартных явлений перколяции». Физика А. 224 (1–2): 169. Бибкод : 1996PhyA..224..169G . дои : 10.1016/0378-4371(95)00321-5 .
^ Jump up to: ^а ^б Янссен, Гонконг; Тойбер, Калифорнийский университет (2005). «Теоретико-полевой подход к перколяционным процессам». Анналы физики . 315 (1): 147–192. arXiv : cond-mat/0409670 . Бибкод : 2005AnPhy.315..147J . дои : 10.1016/j.aop.2004.09.011 . S2CID 19033621 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Дженсен, И. (1999). «Разложение в ряд низкой плотности для направленной перколяции: I. Новый эффективный алгоритм с приложениями к квадратной решетке». Дж. Физ. А. 32 (48): 5233–5249. arXiv : cond-mat/9906036 . Бибкод : 1999JPhA...32.5233J . дои : 10.1088/0305-4470/32/28/304 . S2CID 2681356 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р Ван, Цзюньфэн; Цзунчжэн Чжоу; Цинцюань Лю; Тимоти М. Гарони; Юджин Дэн (2013). «Высокоточное исследование направленной перколяции методом Монте-Карло в измерениях (d + 1)». Физ. Преподобный Е. 88 (4): 042102. arXiv : 1201.3006 . Бибкод : 2013PhRvE..88d2102W . дои : 10.1103/PhysRevE.88.042102 . ПМИД 24229111 . S2CID 43011467 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Фойгт, Калифорния; Зифф, РМ (1997). «Эпидемический анализ перехода второго рода в модели поверхностной реакции Зиффа-Гулари-Баршада». Физ. Преподобный Е. 56 (6): R6241–R6244. arXiv : cond-mat/9710211 . Бибкод : 1997PhRvE..56.6241V . дои : 10.1103/PhysRevE.56.R6241 . S2CID 118952705 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Дженсен, И. (1992). «Критическое поведение трехмерного контактного процесса». Физ. Преподобный А. 45 (2): R563–R566. Бибкод : 1992PhRvA..45..563J . дои : 10.1103/PhysRevA.45.R563 . ПМИД 9907104 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Перлсман, Э.; С. Хэвлин (2002). «Метод оценки критических показателей с использованием численных исследований» . ЭПЛ . 58 (2): 176–181. Бибкод : 2002EL.....58..176P . дои : 10.1209/epl/i2002-00621-7 . S2CID 67818664 .
^ Jump up to: ^а ^б Грассбергер, П. (1989). «Направленная перколяция в измерениях 2+1». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 22 (17): 3673–3679. Бибкод : 1989JPhA...22.3673G . дои : 10.1088/0305-4470/22/17/032 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Хенкель, М.; Х. Хинрихсен; С. Любек (2008). Неравновесные фазовые переходы. 1: Поглощающие фазовые переходы . Спрингер, Дордрехт.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Янссен, Гонконг (1981). «О неравновесном фазовом переходе в реакционно-диффузионных системах с поглощающим стационарным состоянием». Анналы физики . 42 (2): 151–154. Бибкод : 1981ZPhyB..42..151J . дои : 10.1007/BF01319549 . S2CID 120819248 .
^ Jump up to: ^а ^б Дженсен, Иван (1996). «Разложения в ряды низкой плотности для направленной перколяции на квадратных и треугольных решетках». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 29 (22): 7013–7040. Бибкод : 1996JPhA...29.7013J . дои : 10.1088/0305-4470/29/22/007 .
^ Jump up to: ^а ^б Амарал, ЛАН; А.-Л. Барабаши; С.В. Булдырев; С. Т. Харрингтон; С. Хэвлин; Р. Садр-Лахиджани; Его Превосходительство Стэнли (1995). «Лавины и модель депиннинга направленной перколяции: эксперименты, моделирование и теория». Физ. Преподобный Е. 51 (5): 4655–4673. arXiv : cond-mat/9412047 . Бибкод : 1995PhRvE..51.4655A . дои : 10.1103/PhysRevE.51.4655 . ПМИД 9963178 . S2CID 9953616 .
^ Эссам, Дж.В.; Эй Джей Гутманн; К. Де'Белл (1988). «О двумерной направленной перколяции». Дж. Физ. А. 21 (19): 3815–3832. Бибкод : 1988JPhA...21.3815E . дои : 10.1088/0305-4470/21/19/018 .
^ Дхар, Дипак; Мустансир Барма (1981). «Моделирование направленной перколяции методом Монте-Карло на квадратной решетке». Дж. Физ. C: Физика твердого тела . 14 (1): L1-L6. Бибкод : 1981JPhC...14L...1D . дои : 10.1088/0022-3719/14/1/001 .
^ Jump up to: ^а ^б Овчарек, Алабама; А. Рехницер; Р. Брак; Эй Джей Гутманн (1997). «Об оболочках направленных перколяционных кластеров». J. Физика A: Математика. Ген . 30 (19): 6679. Бибкод : 1997JPhA...30.6679O . дои : 10.1088/0305-4470/30/19/011 .
^ Jump up to: ^а ^б Дэн, Юджин; Роберт М. Зифф (2022). «Эластичный и направленный перколяционный остов». Дж. Физ. А: Математика. Теор . 55 (24): 244002. arXiv : 1805.08201 . Бибкод : 2022JPhA...55x4002D . дои : 10.1088/1751-8121/ac6843 . S2CID 73528075 .

Дальнейшее чтение

Стауффер, Д.; Ахарони, А. (1994), Введение в теорию перколяции (2-е изд.), CRC Press, ISBN 978-0-7484-0253-3

[21] Для членов более высокого порядка в $\varepsilon$ расширения см. ^[18]^[19]^[20]

[AdlerMoshePrivman83-1] Jump up to: ^а ^б Адлер, Джоан; Моше, Моше; Привман, Владимир (1983). «Глава 2: Исправления к масштабированию для перколяции». В Дойшере, Г.; Заллен, Р.; Адлер, Дж. (ред.). Перколяционные структуры и процессы, Ann. Израиль Физ. Соц. 5 . Адам Хильгер, Бристоль. стр. 397–423.

[HerrmannHongStanley84-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Херрманн, HJ; округ Колумбия Хонг; Его Превосходительство Стэнли (1984). «Опора и эластичный каркас перколяционных кластеров, полученных новым методом «сжигания» ». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 17 (5): Л261–Л266. Бибкод : 1984JPhA...17L.261H . дои : 10.1088/0305-4470/17/5/008 . S2CID 16510317 .

[Grassberger92-3] Jump up to: ^а ^б ^с Грассбергер, Питер (1992). «Распространение и основные размеры двумерной перколяции». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 25 (21): 5475–5484. Бибкод : 1992JPhA...25.5475G . дои : 10.1088/0305-4470/25/21/009 .

[Grassberger99-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Грассбергер, Питер (1999). «Показатель проводимости и размерность основной цепи в двумерной перколяции». Физика А. 262 (3–4): 251–263. arXiv : cond-mat/9808095 . Бибкод : 1999PhyA..262..251G . дои : 10.1016/S0378-4371(98)00435-X . S2CID 955125 .

[Ziff99-5] Jump up to: ^а ^б Зифф, РМ (1999). «Точный критический показатель для функции масштабирования кратчайшего пути при перколяции». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 32 (43): Л457–Л459. arXiv : cond-mat/9907305 . Бибкод : 1999JPhA...32L.457Z . дои : 10.1088/0305-4470/32/43/101 . S2CID 1605985 .

[NolinQianSunZhuang23-6] Jump up to: ^а ^б ^с Нолен, Пьер; Вэй Цянь; Синь Сунь; Цзыцзе Чжуан (2023). «Основная экспонента для двумерной перколяции». arXiv : 2309.05050 [ мат.PR ].

[StaufferAharony99-7] Стауффер, Д.; А. Ахарони (1999). «Профиль плотности зарождающегося бесконечного перколяционного кластера». Международный журнал современной физики C . 10 (5): 935–940. Бибкод : 1999IJMPC..10..935S . дои : 10.1142/S0129183199000735 .

[BinderHohenberg1972-8] Биндер, К.; ПК Хоэнберг (1972). «Фазовые переходы и статические спиновые корреляции в моделях Изинга со свободными поверхностями» . Физический обзор B . 6 (9): 3461–3487. Бибкод : 1972PhRvB...6.3461B . дои : 10.1103/PhysRevB.6.3461 .

[DeBellPhDThesis-9] Jump up to: ^а ^б Де'Белл, Кейт (1980). Поверхностные эффекты при перколяции (кандидатская диссертация). Лондонский университет.

[DeBellEssam80-10] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ДеБелл; Дж. Эссам (1980). «Рядные исследования расширения перколяции на поверхности». Дж. Физ. C: Физика твердого тела . 13 (25): 4811–4821. Бибкод : 1980JPhC...13.4811D . дои : 10.1088/0022-3719/13/25/023 .

[Binder83-11] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Биндер, К. (1981). «Критическое поведение на поверхностях». В Домбе, К.; Лебовиц, Дж.Л. (ред.). Фазовые переходы и критические явления, Том 8 . Академическая пресса. стр. 1–144. ISBN 978-0122203084 .

[LubenskyRubin1975-12] Лубенский, ТЦ; М. Х. Рубин (1975). «Критические явления в полубесконечных системах. И. $\epsilon$ расширение для положительной длины экстраполяции» . Physical Review B. 11 ( 11): 4533–4546. Bibcode : 1975PhRvB..11.4533L . doi : 10.1103/PhysRevB.11.4533 .

[Pleimling04-13] Плеймлинг, М. (2004). «Критические явления на идеальных и неидеальных поверхностях». Журнал физики A: Математический и общий . 37 (19): С79–Р115. arXiv : cond-mat/0402574 . дои : 10.1088/0305-4470/37/19/R01 . S2CID 15712212 .

[Reynolds77-14] Рейнольдс, П.Дж.; Его Превосходительство Стэнли; В. Кляйн (1977). «Поля-призраки, парная связность и масштабирование: точные результаты в одномерной перколяции» . Журнал физики A: Математический и общий . 10 (11): Л203–Л209. Бибкод : 1977JPhA...10L.203R . дои : 10.1088/0305-4470/10/11/007 .

[Essam80-15] Эссам, JW (1980). «Теория перколяции» . Реп. прог. Физ . 43 (7): 833–912. Бибкод : 1980RPPh...43..833E . дои : 10.1088/0034-4885/43/7/001 . S2CID 250755965 .

[HarrisLubenskyHolcombDasgupta75-16] Харрис, AB; ТЦ Лубенский; В. К. Холкомб; К. Дасгупта (1975). «Ренормгрупповой подход к проблемам перколяции» . Письма о физических отзывах . 35 (6): 327–330. Бибкод : 1975PhRvL..35..327H . дои : 10.1103/PhysRevLett.35.327 .

[PriestLubensky-17] Священник, Р.Г.; Т.Ц. Лубенский (1976). «Критические свойства двух тензорных моделей применительно к задаче перколяции» . Физический обзор B . 13 (9): 4159–4171. Бибкод : 1976PhRvB..13.4159P . дои : 10.1103/PhysRevB.13.4159 .

[AlcantaraBonfimEtAl81-18] Алькантара Бонфим, 0. Ф.; Дж. Э. Киркхэм; Эй Джей Маккейн (1981). «Критические показатели задачи перколяции и особенности края Янга-Ли» . Дж. Физ. А: Математика. Ген . 14 (9): 2391–2413. Бибкод : 1981JPhA...14.2391D . дои : 10.1088/0305-4470/14/9/034 . {{cite journal}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[Gracey15-19] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа Грейси, Дж.А. (2015). «Четырехпетлевая перенормировка теории φ^3 в шести измерениях». Физ. Преподобный Д. 92 (2): 025012. arXiv : 1506.03357 . Бибкод : 2015PhRvD..92b5012G . doi : 10.1103/PhysRevD.92.025012 . S2CID 119205590 .

[BorinskyGraceyKompanietsSchnetz21-20] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С Боринский, М; Дж. А. Грейси; МВ Компанияец; О. Шнец (2021). «Пятипетлевая перенормировка теории фи ^ 3 с приложениями к особенности края Ли-Янга и теории перколяции». Физический обзор D . 103 : 116024. arXiv : 2103.16224 . дои : 10.1103/PhysRevD.103.116024 . S2CID 232417253 .

[SykesGlenGaunt74-22] Сайкс, МФ; М. Глен; Д.С. Гонт (1974). «Вероятность перколяции задачи узла на треугольной решетке». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 7 (9): Л105–Л108. Бибкод : 1974JPhA....7L.105S . дои : 10.1088/0305-4470/7/9/002 .

[Kirkpatrick76-23] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Киркпатрик, Скотт (1976). «Явления перколяции в более высоких измерениях: подход к пределу среднего поля». Физ. Преподобный Летт . 36 (2): 69–72. Бибкод : 1976PhRvL..36...69K . дои : 10.1103/PhysRevLett.36.69 .

[SurEtAl76-24] Jump up to: ^а ^б ^с Сур, А.; Джоэл Л. Лебовиц; Дж. Марро; М. Х. Калос; С. Киркпатрик (1976). «Исследование явлений перколяции методом Монте-Карло для простой кубической решетки». Дж. Стат. Физ . 15 (5): 345–353. Бибкод : 1976JSP....15..345S . дои : 10.1007/BF01020338 . S2CID 38734613 .

[AdlerMeirAharonyHarrisKlein90-25] Адлер, Джоан; Игаль Меир; Амнон Ахароний; АБ Харрис; Лиор Кляйн (1990). «Серия низких концентраций в общем измерении». Журнал статистической физики . 58 (3/4): 511–538. Бибкод : 1990JSP....58..511A . дои : 10.1007/BF01112760 . S2CID 122109020 .

[FayfarBretañaMontfrooij21-26] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Файфар, Шон; Бретанья, Алекс; Монтфрой, Воутер (15 января 2021 г.). «Защищенная перколяция: новый класс универсальности, относящийся к сильно легированным квантовым критическим системам» . Журнал физических коммуникаций . 5 (1): 015008. arXiv : 2008.08258 . Бибкод : 2021JPhCo...5a5008F . дои : 10.1088/2399-6528/abd8e9 . ISSN 2399-6528 .

[AdlerMeirAharonyHarris90-27] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д Адлер, Дж .; Ю. Меир; А. Ахарони; АБ Харрис (1990). «Серийное исследование моментов перколяции в общем измерении» . Физ. Преподобный Б. 41 (13): 9183–9206. Бибкод : 1990PhRvB..41.9183A . дои : 10.1103/PhysRevB.41.9183 . ПМИД 9993262 .

[GauntRuskin78-28] Jump up to: ^а ^б ^с Гонт, Д.С.; Х. Раскин (1978). «Процессы перколяции связей в d измерениях». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 11 (7): 1369–1380. Бибкод : 1978JPhA...11.1369G . дои : 10.1088/0305-4470/7.11.025 .

[NakanishiStanley80-29] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Наканиси, Х; Его Превосходительство Стэнли (1980). «Масштабирование явлений перколяции в системах размерности от двух до семи: числа кластеров». Физический обзор B . 22 (5): 2466–2488. Бибкод : 1980PhRvB..22.2466N . дои : 10.1103/PhysRevB.22.2466 .

[LorenzZiff98a-30] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Лоренц, CD; Р. М. Зифф (1998). «Точное определение порогов перколяции связей и поправок к масштабированию конечного размера для решеток sc, fcc и bcc». Физ. Преподобный Е. 57 (1): 230–236. arXiv : cond-mat/9710044 . Бибкод : 1998PhRvE..57..230L . дои : 10.1103/PhysRevE.57.230 . S2CID 119074750 .

[Ballesteros97-31] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Бальестерос, ХГ; Л.А. Фернандес; В. Мартин-Майор; А. Муньос Судепе; Г. Паризи; Джей Джей Руис-Лоренцо (1997). «Меры критических показателей в четырехмерном просачивании сайтов». Буквы по физике Б. 400 (3–4): 346–351. arXiv : hep-lat/9612024 . Бибкод : 1997PhLB..400..346B . дои : 10.1016/S0370-2693(97)00337-7 . S2CID 10242417 .

[JanStauffer98-32] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Ян, Н.; Д. Стауффер (1998). «Случайное просачивание сайтов в трех измерениях». Межд. Дж. Мод. Физ. С. 9 (2): 341–347. Бибкод : 1998IJMPC...9..341J . дои : 10.1142/S0129183198000261 .

[Tiggemann01-33] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Тиггеманн, Д. (2001). «Моделирование перколяции на компьютерах с массовым параллелизмом». Межд. Дж. Мод. Физ. С. 12 (6): 871–878. arXiv : cond-mat/0106354 . Бибкод : 2001IJMPC..12..871T . дои : 10.1142/S012918310100205X . S2CID 118911971 .

[LevenshteinEtAl75-34] Jump up to: ^а ^б Левенштейн, М.Э.; Б.И. Шкловский; М.С. Шур; АЛ Эфрос (1975). «Связь между критическими показателями теории перколяции». Ж. Эксп. Теор. Физ . 69 : 386–392. Бибкод : 1975JETP...42..197L . ,

[Ballesteros99-35] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Баллестерос, Пенсильвания; Л.А. Фернандес; В. Мартин-Майор; А. Муньос Судепе; Г. Паризи; Джей Джей Руис-Лоренцо (1999). «Поправки к масштабированию: просачивание участков и модель Изинга в трех измерениях». Журнал физики А. 32 (1): 1–13. arXiv : cond-mat/9805125 . Бибкод : 1999JPhA...32....1B . дои : 10.1088/0305-4470/32/1/004 . S2CID 2787294 .

[WangEtAl13-36] Jump up to: ^а ^б Ван, Дж.; З. Чжоу; В. Чжан; ТМ Гарони; Ю. Дэн (2013). «Связь и просачивание сайтов в трех измерениях». Физический обзор E . 87 (5): 052107.arXiv : 1302.0421 . Бибкод : 2013PhRvE..87e2107W . дои : 10.1103/PhysRevE.87.052107 . ПМИД 23767487 . S2CID 14087496 . ,

[HuEtAl14-37] Хм.; Х.В. Блёте; Р. М. Зифф; Ю. Дэн (2014). «Краткодействующие корреляции в просачивании при критичности». Физический обзор E . 90 (4): 042106. arXiv : 1406.0130 . Бибкод : 2014PhRvE..90d2106H . дои : 10.1103/PhysRevE.90.042106 . ПМИД 25375437 . S2CID 21410490 .

[XuWangLvDeng14-38] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Сюй, Сяо; Ван, Цзюньфэн; Лев, Цзянь-Пин; Дэн, Юджин (2014). «Одновременный анализ трехмерных моделей перколяции». Границы физики . 9 (1): 113–119. arXiv : 1310.5399 . Бибкод : 2014FrPhy...9..113X . дои : 10.1007/s11467-013-0403-z . S2CID 119250232 .

[KozaPola16-39] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Коза, Збигнев; Якуб Пола (2016). «От дискретной к непрерывной перколяции в измерениях от 3 до 7». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2016 (10): 103206. arXiv : 1606.08050 . Бибкод : 2016JSMTE..10.3206K . дои : 10.1088/1742-5468/2016/10/103206 . S2CID 118580056 .

[LeClairSquires18-40] Jump up to: ^а ^б Леклер, Андре; Джошуа Сквайрс (2018). «Конформный бутстрап для перколяции и полимеров». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2018 (12): 123105. arXiv : 1802.08911 . Бибкод : 2018arXiv180208911L . дои : 10.1088/1742-5468/aaf10a . S2CID 73674896 .

[ZhangHouFangHuDeng20-41] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Чжан, Чжунцзин; Пэнчэн Хоу; Шэн Фан; Хао Ху; Юджин Дэн (2021). «Критические показатели и универсальное избыточное кластерное число перколяции в четырех и пяти измерениях». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 580 : 126124. arXiv : 2004.11289 . Бибкод : 2021PhyA..58026124Z . дои : 10.1016/j.physa.2021.126124 . S2CID 216080833 .

[TanDengJacobsen20-42] Jump up to: ^а ^б Тан, Сяо-Цзюнь; Дэн, Ю-Джин; Якобсен, Йеспер Люкке (2020). «N-кластерные корреляции в четырех- и пятимерной перколяции» . Границы физики . 15 (4): 41501. arXiv : 2006.10981 . Бибкод : 2020FrPhy..1541501T . дои : 10.1007/s11467-020-0972-6 . ISSN 2095-0462 . S2CID 219956814 .

[JanHongStanley85-43] Jump up to: ^а ^б ^с Ян, Н; Хонг, округ Колумбия; Стэнли, HE (21 октября 1985 г.). «Фрактальное измерение и другие показатели перколяции в четырех и пяти измерениях» . Журнал физики A: Математический и общий . 18 (15): L935–L939. Бибкод : 1985JPhA...18L.935J . дои : 10.1088/0305-4470/18/15/006 . ISSN 0305-4470 .

[SykesGauntEssam76-44] Сайкс, МФ; Д.С. Гонт; Дж. В. Эссам (1976). «Вероятность перколяции задачи узлов на гранецентрированной кубической решетке». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 9 (5): Л43–Л46. Бибкод : 1976JPhA....9L..43S . дои : 10.1088/0305-4470/9/5/002 .

[Tiggemann06-45] Тиггеманн, Д. (2006). «Перколяция на растущих решетках». Межд. Дж. Мод. Физ. С. 17 (8): 1141–1150. arXiv : cond-mat/0604418 . Бибкод : 2006IJMPC..17.1141T . дои : 10.1142/S012918310600962X . S2CID 119398198 .

[MertensMoore18b-46] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Мертенс, Стефан; Кристофер Мур (2018). «Пороги перколяции и показатели Фишера в гиперкубических решетках». Физический обзор E . 98 (2): 022120.arXiv : 1806.08067 . Бибкод : 2018PhRvE..98b2120M . дои : 10.1103/PhysRevE.98.022120 . ПМИД 30253462 . S2CID 52821851 .

[PaulZiffStanley01-47] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Пол, Джеральд; Р. М. Зифф; Его Превосходительство Стэнли (2001). «Порог перколяции, показатель Фишера и показатель кратчайшего пути для четырех и пяти измерений». Физ. Преподобный Е. 64 (2): 026115. arXiv : cond-mat/0101136 . Бибкод : 2001PhRvE..64b6115P . дои : 10.1103/PhysRevE.64.026115 . ПМИД 11497659 . S2CID 18271196 .

[DengBlote05-48] Дэн, Юджин; Хенк В.Дж. Блёте (2005). «Исследование модели перколяции сайтов в двух и трех измерениях методом Монте-Карло» . Физ. Преподобный Е. 72 (1): 016126. Бибкод : 2005PhRvE..72a6126D . дои : 10.1103/PhysRevE.72.016126 . ПМИД 16090055 .

[Kammerer08-49] Каммерер, А.; Ф. Хёфлинг; Т. Франош (2008). «Теория динамического масштабирования с кластерным разрешением и универсальные поправки для переноса в перколяционных системах». Еврофиз. Летт . 84 (6): 66002. arXiv : 0811.1414 . Бибкод : 2008EL.....8466002K . дои : 10.1209/0295-5075/84/66002 . S2CID 16581770 .

[ZiffBabalievski99-50] Зифф, РМ; Ф. Бабалиевский (1999). «Просачивание узлов на ромбовидной решетке Пенроуза». Физика А. 269 (2–4): 201–210. Бибкод : 1999PhyA..269..201Z . дои : 10.1016/S0378-4371(99)00166-1 .

[Ziff11-51] Jump up to: ^а ^б Зифф, РМ (2011). «Показатель поправки к масштабированию для двумерной перколяции». Физ. Преподобный Е. 83 (2): 020107.arXiv : 1101.0807 . Бибкод : 2011PhRvE..83b0107Z . дои : 10.1103/PhysRevE.83.020107 . ПМИД 21405805 . S2CID 14750620 .

[AharonyAsikainen03-52] Ахарония, Амнон; Асикайнен, Йоонас (2003). «Фрактальная размерность и поправки к масштабированию критических кластеров Поттса». Фракталы, дополнительный выпуск . 11 (1): 3–7. arXiv : cond-mat/0206367 . дои : 10.1142/S0218348X03001665 .

[GimelNicolaiDurand00-53] Гимель, Жан-Кристоф; Тако Николаи; Доминик Дюран (2000). «Распределение перколяционных кластеров по размерам на кубических решетках». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 33 (43): 7687–7697. Бибкод : 2000JPhA...33.7687G . дои : 10.1088/0305-4470/33/43/302 . S2CID 121516245 .

[KozlovLagues10-54] Jump up to: ^а ^б Козлов Б.; М. Лагес (2010). «Универсальность трехмерных показателей перколяции и поправки первого порядка к масштабированию показателей проводимости». Физика А. 389 (23): 5339–5346. Бибкод : 2010PhyA..389.5339K . дои : 10.1016/j.physa.2010.08.002 .

[HoughtonReeveWallace78-55] Хоутон, А.; Дж. С. Рив; Диджей Уоллес (1978). «Поведение высокого порядка в теориях поля фи ^ 3 и проблема перколяции». Физ. Преподобный Б. 17 (7): 2956. Бибкод : 1978PhRvB..17.2956H . дои : 10.1103/PhysRevB.17.2956 .

[AlexanderOrbach-56] Jump up to: ^а ^б Александр, С.; Р. Орбах (1982). «Плотность состояний на фракталах:« фрактоны » » (PDF) . Журнал Physique Lettres . 43 (17): Л625–Л631. doi : 10.1051/jphyslet:019820043017062500 .

[Milovanov97-57] Jump up to: ^а ^б Милованов, А.В. (1997). «Топологическое доказательство гипотезы Александра-Орбаха». Физ. Преподобный Е. 56 (3): 2437–2446. Бибкод : 1997PhRvE..56.2437M . дои : 10.1103/PhysRevE.56.2437 .

[CenLiuMao12-58] Цен, Вэй; Дунбин Лю; Бинцюань Мао (2012). «Алгоритм молекулярной траектории для случайных блужданий по перколяционным системам при критичности в двух и трех измерениях». Физика А. 391 (4): 925–929. Бибкод : 2012PhyA..391..925C . дои : 10.1016/j.physa.2011.01.003 .

[GingoldLobb90-59] Джингольд, Дэвид Б.; Си Джей Лобб (1990). «Перколяционная проводимость в трех измерениях». Физический обзор B . 42 (13): 8220–8224. Бибкод : 1990PhRvB..42.8220G . дои : 10.1103/PhysRevB.42.8220 . ПМИД 9994994 .

[NormandHerrmann95-60] Норманд, Жан-Мари; Ганс Дж. Херрманн (1995). «Точное определение показателя проводимости 3D перколяции с помощью «Перколы» ». Международный журнал современной физики C . 6 (6): 813. arXiv : cond-mat/9602081 . Бибкод : 1995IJMPC...6..813N . дои : 10.1142/S0129183195000678 . S2CID 2912863 .

[ClercPodolskiySarychev00-61] Клерк, Жан-Мари; В.А. Подольский; А.К. Сарычев (2000). «Точное определение показателя проводимости трехмерной перколяции с использованием точной числовой перенормировки». Европейский физический журнал Б. 15 (3): 507–516. Бибкод : 2000EPJB...15..507C . дои : 10.1007/s100510051153 . S2CID 121306901 .

[ArgyrakisKopelman84-62] Аргиракис, П.; Р. Копельман (1984). «Случайное блуждание по перколяционным кластерам». Физический обзор B . 29 (1): 511–514. Бибкод : 1984PhRvB..29..511A . дои : 10.1103/PhysRevB.29.511 .

[Cardy84-63] Jump up to: ^а ^б ^с Карди, Джон (1984). «Конформная инвариантность и поверхностное критическое поведение». Ядерная физика Б . 240 (4): 514–532. Бибкод : 1984НуФБ.240..514С . дои : 10.1016/0550-3213(84)90241-4 .

[Vanderzande88-64] Вандерзанде, К. (1988). «Поверхностное фрактальное измерение двумерной перколяции». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 21 (3): 833–837. Бибкод : 1988JPhA...21..833V . дои : 10.1088/0305-4470/21/3/039 .

[Grassberger92b-65] Jump up to: ^а ^б ^с Грассбергер, Питер (1992). «Численные исследования критической перколяции в трех измерениях». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 25 (22): 5867–5888. Бибкод : 1992JPhA...25.5867G . дои : 10.1088/0305-4470/25/22/015 .

[DengBlote05b-66] Jump up to: ^а ^б Дэн, Юджин; Хенк В.Дж. Блёте (2005). «Поверхностные критические явления в трехмерной перколяции» . Физ. Преподобный Е. 71 (1): 016117. Бибкод : 2005PhRvE..71a6117D . дои : 10.1103/PhysRevE.71.016117 . ПМИД 15697668 .

[DiehlLam89-67] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Диль, Х.В.; ПМлам (1989). «Полубесконечная модель Поттса и просачивание на поверхности». З. Физ. Б. 74 (3): 395–401. Бибкод : 1989ZPhyB..74..395D . дои : 10.1007/BF01307889 . S2CID 121559161 .

[HansenLamRoux89-68] Хансен, А; П.М. Лам; С. Ру (1981). «Параметр порядка поверхности в трехмерной перколяции». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 22 (13): 2635. doi : 10.1088/0305-4470/22/13/056 .

[DengBlote04-69] Дэн, Юджин; Х. Бл:от (2004). «Анизотропный предел модели перколяции связей и конформная инвариантность в искривленной геометрии». Физ. Преподобный Е. 69 (6): 066129. Бибкод : 2004PhRvE..69f6129D . дои : 10.1103/PhysRevE.69.066129 . ПМИД 15244689 .

[BaekMinnhagenKim10-70] Jump up to: ^а ^б ^с Пэк, Сын Ки; Петтер Миннхаген; Бом Джун Ким (2010). «Поверхностная и объемная критичность в средней точке перколяции». Физ. Преподобный Е. 81 (4): 041108.arXiv : 1004.2622 . Бибкод : 2010PhRvE..81d1108B . дои : 10.1103/PhysRevE.81.041108 . ПМИД 20481678 . S2CID 18938058 .

[RintoulNakanishi92-71] Ринтул, доктор медицины; Х. Наканиши (1992). «Точное определение основной фрактальной размерности двумерных перколяционных кластеров». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 25 (15): Л945. Бибкод : 1992JPhA...25L.945R . дои : 10.1088/0305-4470/25/15/008 .

[DengBloteNeinhuis04-72] Дэн, Юджин; Хенк В.Дж. Блёте; Бернар Найнхейс (2004). «Основные показатели двумерной модели Поттса с q-состоянием: исследование Монте-Карло» . Физ. Преподобный Е. 69 (2): 026114. Бибкод : 2004PhRvE..69b6114D . дои : 10.1103/PhysRevE.69.026114 . ПМИД 14995527 .

[XuWangZhouGaroniDeng14-73] Сюй, Сяо; Ван, Цзюньфэн; Чжоу, Цзунчжэн; Гарони, Тимоти М.; Дэн, Юджин (2014). «Геометрическая структура перколяционных кластеров». Физический обзор E . 89 (1): 012120.arXiv : 1309.7244 . Бибкод : 2014PhRvE..89a2120X . дои : 10.1103/PhysRevE.89.012120 . ПМИД 24580185 . S2CID 25468743 .

[RintoulNakanishi94-74] Ринтул, доктор медицины; Х. Наканиши (1994). «Точная характеристика трехмерных просачивающихся остовов». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 27 (16): 5445–5454. Бибкод : 1994JPhA...27.5445R . дои : 10.1088/0305-4470/27/16/011 .

[Moukarzel-75] Jump up to: ^а ^б Мукарзель, К. (1994). «Быстрый алгоритм для магистральных сетей». Межд. Дж. Мод. Физ. С. 9 (6): 887–895. arXiv : cond-mat/9801102 . дои : 10.1142/S0129183198000844 . S2CID 14077176 .

[Grassberger85-76] Грассбергер, П. (1985). «О распространении двумерной перколяции». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 18 (4): Л215–Л219. Бибкод : 1985JPhA...18L.215G . дои : 10.1088/0305-4470/18/4/005 .

[HerrmannStanley88-77] Jump up to: ^а ^б Херрманн, Ганс Дж.; Х. Юджин Стэнли (1988). «Фрактальная размерность минимального пути в двух- и трехмерной перколяции». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 21 (5): Л829–Л833. Бибкод : 1984JPhA...17L.261H . дои : 10.1088/0305-4470/17/5/008 . S2CID 16510317 .

[DengZhangGaroniSokalSportiello10-78] Дэн, Юджин; Вэй Чжан; Тимоти М. Гарони; Алан Д. Сокал; Андреа Спортиелло (2010). «Некоторые геометрические критические показатели перколяции и модели случайных кластеров». Физический обзор E . 81 (2): 020102(Р). arXiv : 0904.3448 . Бибкод : 2010PhRvE..81b0102D . дои : 10.1103/PhysRevE.81.020102 . ПМИД 20365513 . S2CID 1746746 .

[ZhouYangDengZiff12-79] Jump up to: ^а ^б Чжоу, Цзунчжэн; Цзи Ян; Юджин Дэн; Роберт М. Зифф (2012). «Фрактальное измерение кратчайшего пути для просачивания в двух и трех измерениях». Физический обзор E . 86 (6): 061101. arXiv : 1110.1955 . Бибкод : 2012PhRvE..86a1101G . дои : 10.1103/PhysRevE.86.061101 . ПМИД 23367887 . S2CID 37986944 .

[Grassberger99c-80] Грассбергер, Питер (1999). «Парная связность и масштабирование кратчайшего пути при критической просачивании». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 32 (35): 6233–6238. arXiv : cond-mat/9906309 . Бибкод : 1999JPhA...32.6233G . дои : 10.1088/0305-4470/32/35/301 . S2CID 17663911 .

[BreretonHirschSchmidtKroese114-81] Бреретон, Тим; Кристиан Хирш; Фолькер Шмидт; Дирк Крозе (2014). «Критический показатель масштабирования кратчайшего пути при просачивании континуума». Дж. Физ. А: Математика. Теор . 47 (50): 505003. Бибкод : 2014JPhA...47X5003B . дои : 10.1088/1751-8113/47/50/505003 . S2CID 14191555 .

[82] Бреретон, Тим; Хирш, Кристиан; Шмидт, Волкер; Крозе, Дирк (19 декабря 2014 г.). «Критический показатель для масштабирования по кратчайшему пути при просачивании континуума» . Физический журнал A: Математический и теоретический . 47 (50): 505003. doi : 10.1088/1751-8113/47/50/505003 . ISSN 1751-8113 .

[83] Хасан, МК; Рахман, ММ (2015). «Перколяция на мультифрактальной безмасштабной планарной стохастической решетке и ее класс универсальности». Физический обзор E . 92 (4): 040101. arXiv : 1504.06389 . Бибкод : 2015PhRvE..92d0101H . дои : 10.1103/PhysRevE.92.040101 . ПМИД 26565145 . S2CID 119112286 .

[84] Хасан, МК; Рахман, ММ (2016). «Класс универсальности узлов и перколяции связей на мультифрактальной безмасштабной плоской стохастической решетке». Физический обзор E . 94 (4): 042109. arXiv : 1604.08699 . Бибкод : 2016PhRvE..94d2109H . дои : 10.1103/PhysRevE.94.042109 . ПМИД 27841467 . S2CID 22593028 .

[GrassbergerZhang96-85] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Грассбергер, П.; Ю. Чжан (1996). « Самоорганизованная формулировка стандартных явлений перколяции». Физика А. 224 (1–2): 169. Бибкод : 1996PhyA..224..169G . дои : 10.1016/0378-4371(95)00321-5 .

[JanssenTauber05-86] Jump up to: ^а ^б Янссен, Гонконг; Тойбер, Калифорнийский университет (2005). «Теоретико-полевой подход к перколяционным процессам». Анналы физики . 315 (1): 147–192. arXiv : cond-mat/0409670 . Бибкод : 2005AnPhy.315..147J . дои : 10.1016/j.aop.2004.09.011 . S2CID 19033621 .

[Jensen99-87] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Дженсен, И. (1999). «Разложение в ряд низкой плотности для направленной перколяции: I. Новый эффективный алгоритм с приложениями к квадратной решетке». Дж. Физ. А. 32 (48): 5233–5249. arXiv : cond-mat/9906036 . Бибкод : 1999JPhA...32.5233J . дои : 10.1088/0305-4470/32/28/304 . S2CID 2681356 .

[WangZhouLiuGaroniDeng13-88] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р Ван, Цзюньфэн; Цзунчжэн Чжоу; Цинцюань Лю; Тимоти М. Гарони; Юджин Дэн (2013). «Высокоточное исследование направленной перколяции методом Монте-Карло в измерениях (d + 1)». Физ. Преподобный Е. 88 (4): 042102. arXiv : 1201.3006 . Бибкод : 2013PhRvE..88d2102W . дои : 10.1103/PhysRevE.88.042102 . ПМИД 24229111 . S2CID 43011467 .

[VoigtZiff97-89] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Фойгт, Калифорния; Зифф, РМ (1997). «Эпидемический анализ перехода второго рода в модели поверхностной реакции Зиффа-Гулари-Баршада». Физ. Преподобный Е. 56 (6): R6241–R6244. arXiv : cond-mat/9710211 . Бибкод : 1997PhRvE..56.6241V . дои : 10.1103/PhysRevE.56.R6241 . S2CID 118952705 .

[Jensen92-90] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Дженсен, И. (1992). «Критическое поведение трехмерного контактного процесса». Физ. Преподобный А. 45 (2): R563–R566. Бибкод : 1992PhRvA..45..563J . дои : 10.1103/PhysRevA.45.R563 . ПМИД 9907104 .

[PerlsmanHavlin02-91] Jump up to: ^а ^б ^с Перлсман, Э.; С. Хэвлин (2002). «Метод оценки критических показателей с использованием численных исследований» . ЭПЛ . 58 (2): 176–181. Бибкод : 2002EL.....58..176P . дои : 10.1209/epl/i2002-00621-7 . S2CID 67818664 .

[Grassberger89-92] Jump up to: ^а ^б Грассбергер, П. (1989). «Направленная перколяция в измерениях 2+1». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 22 (17): 3673–3679. Бибкод : 1989JPhA...22.3673G . дои : 10.1088/0305-4470/22/17/032 .

[HenkelHinrichsenLubeck08-93] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Хенкель, М.; Х. Хинрихсен; С. Любек (2008). Неравновесные фазовые переходы. 1: Поглощающие фазовые переходы . Спрингер, Дордрехт.

[Janssen81-94] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Янссен, Гонконг (1981). «О неравновесном фазовом переходе в реакционно-диффузионных системах с поглощающим стационарным состоянием». Анналы физики . 42 (2): 151–154. Бибкод : 1981ZPhyB..42..151J . дои : 10.1007/BF01319549 . S2CID 120819248 .

[Jensen96-95] Jump up to: ^а ^б Дженсен, Иван (1996). «Разложения в ряды низкой плотности для направленной перколяции на квадратных и треугольных решетках». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 29 (22): 7013–7040. Бибкод : 1996JPhA...29.7013J . дои : 10.1088/0305-4470/29/22/007 .

[AmaralBarabasiBuldyrevHarringtonHavlinSadrLahijanyStanley95-96] Jump up to: ^а ^б Амарал, ЛАН; А.-Л. Барабаши; С.В. Булдырев; С. Т. Харрингтон; С. Хэвлин; Р. Садр-Лахиджани; Его Превосходительство Стэнли (1995). «Лавины и модель депиннинга направленной перколяции: эксперименты, моделирование и теория». Физ. Преподобный Е. 51 (5): 4655–4673. arXiv : cond-mat/9412047 . Бибкод : 1995PhRvE..51.4655A . дои : 10.1103/PhysRevE.51.4655 . ПМИД 9963178 . S2CID 9953616 .

[EssamGuttmannDeBell88-97] Эссам, Дж.В.; Эй Джей Гутманн; К. Де'Белл (1988). «О двумерной направленной перколяции». Дж. Физ. А. 21 (19): 3815–3832. Бибкод : 1988JPhA...21.3815E . дои : 10.1088/0305-4470/21/19/018 .

[DharBarma-98] Дхар, Дипак; Мустансир Барма (1981). «Моделирование направленной перколяции методом Монте-Карло на квадратной решетке». Дж. Физ. C: Физика твердого тела . 14 (1): L1-L6. Бибкод : 1981JPhC...14L...1D . дои : 10.1088/0022-3719/14/1/001 .

[OwczarekRechnitzerBrakGuttmann97-99] Jump up to: ^а ^б Овчарек, Алабама; А. Рехницер; Р. Брак; Эй Джей Гутманн (1997). «Об оболочках направленных перколяционных кластеров». J. Физика A: Математика. Ген . 30 (19): 6679. Бибкод : 1997JPhA...30.6679O . дои : 10.1088/0305-4470/30/19/011 .

[DengZiff22-100] Jump up to: ^а ^б Дэн, Юджин; Роберт М. Зифф (2022). «Эластичный и направленный перколяционный остов». Дж. Физ. А: Математика. Теор . 55 (24): 244002. arXiv : 1805.08201 . Бибкод : 2022JPhA...55x4002D . дои : 10.1088/1751-8121/ac6843 . S2CID 73528075 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[примечание 1]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[19]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]