Проводимость вблизи порога перколяции

Проводимость вблизи порога перколяции в физике возникает в смеси диэлектрика и металлического компонента. Проводимость ​ $\sigma$ и диэлектрическая проницаемость $\epsilon$ этой смеси демонстрируют критическое поведение, если доля металлического компонента достигает порога перколяции .

Поведение проводимости вблизи этого порога перколяции будет демонстрировать плавный переход от проводимости диэлектрического компонента к проводимости металлического компонента. Такое поведение можно описать с помощью двух критических показателей степени «s» и «t», тогда как диэлектрическая проницаемость будет расходиться, если к порогу приближаться с любой стороны. Чтобы учесть частотно- зависимое поведение электронных компонентов , резистор - конденсатор используется модель (модель RC).

Геометрическая перколяция

Для описания такой смеси диэлектрика и металлического компонента воспользуемся моделью связи-перколяции.В регулярной решетке связь между двумя ближайшими соседями может быть занята либо с вероятностью $p$ или не занят вероятностью $1-p$. Существует критическое значение $p_{c}$. Для вероятностей оккупации $p>p_{c}$ образуется бесконечный кластер занятых связей. Это значение $p_{c}$ называется порогом перколяции . Область вблизи этого порога перколяции может быть описана двумя критическими показателями $\nu$ и $\beta$ (см. Критические показатели перколяции ).

С этими критическими показателями мы имеем длину корреляции , $\xi$

$\xi (p)\propto (p_{c}-p)^{-\nu }$

и вероятность перколяции , P:

$P(p)\propto (p-p_{c})^{\beta }$

Электрическое просачивание

Для описания электрической перколяции отождествляем занятые связи модели связи-перколяции с металлической составляющей, имеющей проводимость $\sigma _{m}$. А диэлектрическая составляющая с проводимостью $\sigma _{d}$ соответствует незанятым облигациям. Рассмотрим два следующих хорошо известных случая смеси проводник-изолятор и смеси сверхпроводник-проводник .

Смесь проводник-изолятор

В случае смеси проводник-изолятор имеем $\sigma _{d}=0$. Этот случай описывает поведение, если к порогу перколяции приближаются сверху:

$\sigma _{DC}(p)\propto \sigma _{m}(p-p_{c})^{t}$

для $p>p_{c}$

Ниже порога перколяции у нас нет проводимости из-за идеального изолятора и ограниченного количества металлических кластеров. Показатель t является одним из двух критических показателей электрической перколяции.

Смесь сверхпроводник–проводник

В другом хорошо известном случае смеси сверхпроводник -проводник имеем $\sigma _{m}=\infty$. Этот случай полезен для описания ниже порога перколяции:

$\sigma _{DC}(p)\propto \sigma _{d}(p_{c}-p)^{-s}$

для $p<p_{c}$

Теперь, выше порога перколяции, проводимость становится бесконечной из-за бесконечных сверхпроводящих кластеров. А также мы получаем второй критический показатель s для электрической перколяции.

Проводимость вблизи порога перколяции

В области порога перколяции проводимость принимает масштабный вид:

$\sigma (p)\propto \sigma _{m}|\Delta p|^{t}\Phi _{\pm }\left(h|\Delta p|^{-s-t}\right)$

с $\Delta p\equiv p-p_{c}$ и $h\equiv {\frac {\sigma _{d}}{\sigma _{m}}}$

На пороге перколяции проводимость достигает значения:

$\sigma _{DC}(p_{c})\propto \sigma _{m}\left({\frac {\sigma _{d}}{\sigma _{m}}}\right)^{u}$

с $u={\frac {t}{t+s}}$

Значения критических показателей

В разных источниках существуют разные значения критических показателей s, t и u в трех измерениях:

Значения критических показателей в трех измерениях

	Эфрос и др.	Клерк и др.	Бергман и др.
т	1,60	1,90	2,00
с	1,00	0,73	0,76
в	0,62	0,72	0,72

Диэлектрическая проницаемость

Диэлектрическая проницаемость также демонстрирует критическое поведение вблизи порога перколяции. Для действительной части диэлектрической проницаемости имеем:

$\epsilon _{1}(\omega =0,p)={\frac {\epsilon _{d}}{|p-p_{c}|^{s}}}$

Модель RC

В рамках модели RC связи в модели перколяции представлены чистыми резисторами с проводимостью $\sigma _{m}=1/R$ для занятых связей и совершенными конденсаторами с проводимостью $\sigma _{d}=iC\omega$ (где $\omega$ представляет угловую частоту ) для незанятых связей. Теперь закон масштабирования принимает вид:

$\sigma (p,\omega )\propto {\frac {1}{R}}|\Delta p|^{t}\Phi _{\pm }\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}|\Delta p|^{-(s+t)}\right)$

Этот закон масштабирования содержит чисто мнимую масштабирующую переменную и критическую шкалу времени.

$\tau ^{*}={\frac {1}{\omega _{0}}}|\Delta p|^{-(s+t)}$

которая расходится при приближении к порогу перколяции как сверху, так и снизу.

Проводимость для плотных сетей

Для плотной сети концепции перколяции не применимы напрямую, и эффективное сопротивление рассчитывается с точки зрения геометрических свойств сети. Предполагая, что длина края << расстояние между электродами и края равномерно распределены, можно считать, что потенциал падает равномерно от одного электрода к другому.Листовое сопротивление такой случайной сети ( $R_{sn}$) можно записать через плотность ребер (проволок) ( $N_{E}$), удельное сопротивление ( $\rho$), ширина ( $w$) и толщина ( $t$) ребер (проволок) как:

$R_{sn}={\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho }{wt{\sqrt {N_{E}}}}}$

См. также

• Теория перколяции