Критический показатель

Эта статья о физических системах. Чтобы узнать о свойстве бесконечного слова, см. Критический показатель слова .

Критические показатели степени описывают поведение физических величин вблизи непрерывных фазовых переходов . Считается, хотя и не доказано, что они универсальны, т. е. зависят не от деталей физической системы, а лишь от некоторых ее общих свойств. Например, для ферромагнитных систем, находящихся в тепловом равновесии, критические показатели степени зависят только от:

• размер системы
• диапазон взаимодействия
• спиновое ​ измерение

Эти свойства критических показателей подтверждаются экспериментальными данными. Аналитические результаты теоретически могут быть достигнуты в теории среднего поля в больших размерностях или когда известны точные решения, такие как двумерная модель Изинга . Теоретическое рассмотрение в общих измерениях требует подхода ренормгруппы или, для систем, находящихся в тепловом равновесии, методов конформного бутстрепа .Фазовые переходы и критические показатели степени появляются во многих физических системах, таких как вода в критической точке , в магнитных системах, в сверхпроводимости, при перколяции и в турбулентных жидкостях.Критический размер, выше которого действительны средние показатели поля, варьируется в зависимости от системы и может даже быть бесконечным.

Определение

Параметром управления, который управляет фазовыми переходами, часто является температура, но также могут быть и другие макроскопические переменные, такие как давление или внешнее магнитное поле. Для простоты следующее обсуждение работает с точки зрения температуры; перевод на другой параметр управления является простым. при которой происходит переход, называется критической температурой Тс _{Температура ,} . Мы хотим описать поведение физической величины f в терминах степенного закона вблизи критической температуры; вводим пониженную температуру

$\tau :={\frac {T-T_{\mathrm {c} }}{T_{\mathrm {c} }}}$

который равен нулю при фазовом переходе , и определим критический показатель степени $k$ как:

$k\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{\tau \to 0}{\frac {\log |f(\tau )|}{\log |\tau |}}$

В результате получается степенной закон, который мы искали:

$f(\tau )\propto \tau ^{k}\,,\quad \tau \to 0$

Важно помнить, что это представляет собой асимптотическое поведение функции f ( τ ) при τ → 0 .

В более общем плане можно было бы ожидать

$f(\tau )=A\tau ^{k}\left(1+b\tau ^{k_{1}}+\cdots \right)$

Наиболее важные критические показатели

Предположим, что система, находящаяся в тепловом равновесии, имеет две разные фазы, характеризующиеся параметром порядка Ψ и ​​выше , который обращается в нуль при T _c .

Рассмотрим отдельно фазы неупорядоченной фазы ( τ > 0 ), упорядоченной фазы ( τ < 0 ) и фазы критической температуры ( τ = 0 ). Следуя стандартному соглашению, критические показатели, относящиеся к упорядоченной фазе, отмечены штрихами. Еще одним стандартным соглашением является использование верхнего/нижнего индекса + (-) для обозначения неупорядоченного (упорядоченного) состояния. Обычно спонтанное нарушение симметрии происходит в упорядоченной фазе.

Определения

пс	параметр заказа (например, ⁠ ρ − ρ c / ρ c ⁠ для критической точки жидкость–газ, намагниченность для точки Кюри и т. д.)
т	пониженная температура минус 1, ⁠ Т - Т c / Т c ⁠
ж	удельная свободная энергия
С	удельная теплоемкость ; − Т ⁠ ∂ 2 ж / ∂ Т 2 ⁠
Дж	исходное поле (например, ⁠ P − P c / P c ⁠ где P — давление , а P c — критическое давление для критической точки жидкость-газ, приведенный химический потенциал , магнитное поле H для точки Кюри )
час	восприимчивость .; , сжимаемость и т. д ⁠ ∂ ψ / ∂ J ⁠
х	длина корреляции
д	количество пространственных измерений
⟨ ψ ( Икс → ) ψ ( y → )⟩	корреляционная функция
р	пространственное расстояние

Следующие записи оцениваются как J = 0 (за исключением записи δ ):

Критические показатели при τ > 0 (неупорядоченная фаза)

Греческая буква	связь
а	С ∝ т − а
с	χ ∝ τ − с
н	ξ ∝ τ - н

Критические показатели при τ < 0 (упорядоченная фаза)

Греческая буква	связь
а '	С ∝ (- τ ) − а ′
б	Ψ ∝ (− τ ) б
в '	χ ∝ (− τ ) − с ′
н '	ξ ∝ (− τ ) − п ′

Критические показатели при τ = 0

Греческая буква	связь
д	Дж ∝ Ψ д
или	⟨ ψ (0) ψ ( р )⟩ ∝ р - д + 2 - час

Критические показатели могут быть получены из удельной свободной энергии f ( J , T ) как функции источника и температуры. Длина корреляции может быть получена из функционала F [ J ; Т ] . Во многих случаях критические показатели, определенные в упорядоченной и неупорядоченной фазах, совпадают.

Когда верхний критический размер равен четырем, эти соотношения точны вблизи критической точки в двумерных и трехмерных системах. Однако в четырех измерениях степенные законы изменяются логарифмическими коэффициентами. Они не появляются в размерах, сколь угодно близких к четырем, но не совсем точно, что можно использовать как способ обойти эту проблему .

Критические показатели среднего поля изинговских систем

классической теории Ландау (также известной как теория среднего поля Значения критических показателей скалярного поля в ) (прототипическим примером которых является модель Изинга ) определяются выражением

$\alpha =\alpha ^{\prime }=0\,,\quad \beta ={\tfrac {1}{2}}\,,\quad \gamma =\gamma ^{\prime }=1\,,\quad \delta =3$

Если мы добавим производные члены, превратив ее в теорию среднего поля Гинзбурга – Ландау , мы получим

$\eta =0\,,\quad \nu ={\tfrac {1}{2}}$

Одним из главных открытий в изучении критических явлений является то, что теория среднего поля критических точек верна только тогда, когда пространственная размерность системы превышает определенное измерение, называемое верхним критическим измерением , которое исключает физические измерения 1, 2 или 3. в большинстве случаев. Проблема теории среднего поля состоит в том, что критические показатели не зависят от размерности пространства. Это приводит к количественному расхождению ниже критических размеров, где истинные критические показатели отличаются от средних значений поля. Это может даже привести к качественному несоответствию при низкой размерности пространства, где критическая точка фактически больше не может существовать, хотя теория среднего поля все еще предсказывает, что она существует. Так обстоит дело с моделью Изинга в размерности 1, где фазовый переход отсутствует. Измерение пространства, в котором теория среднего поля становится качественно неверной, называется нижним критическим измерением.

Экспериментальные значения

Наиболее точно измеренное значение α составляет −0,0127(3) для фазового перехода сверхтекучего гелия (так называемый лямбда-переход ). Значение было измерено на космическом корабле, чтобы минимизировать разницу давления в образце. Эта величина находится в существенном противоречии с наиболее точными теоретическими определениями. исходя из методов высокотемпературного расширения, методов Монте-Карло и конформного бутстрапа .

Нерешенная задача по физике :

Объясните расхождение между экспериментальными и теоретическими определениями критического показателя теплоемкости α для сверхтекучего перехода в гелии-4 .

(еще нерешенные задачи по физике)

Теоретические предсказания

Критические показатели степени можно оценить с помощью Монте-Карло моделирования решеточных моделей методом . Точность этого метода первого принципа зависит от имеющихся вычислительных ресурсов, которые определяют возможность перехода к пределу бесконечного объема и уменьшения статистических ошибок. Другие методы основаны на теоретическом понимании критических колебаний. Наиболее широко применимым методом является ренормгруппа . Конформный бутстреп — это недавно разработанный метод, который достиг непревзойденной точности для критических показателей Изинга .

Функции масштабирования

В свете критического масштабирования мы можем перевыразить все термодинамические величины через безразмерные величины. Достаточно близко к критической точке все можно выразить через определенные отношения степеней приведенных величин. Это функции масштабирования.

Происхождение масштабирующих функций можно увидеть из ренормгруппы. Критической точкой является инфракрасная фиксированная точка . В достаточно малой окрестности критической точки можно линеаризовать действие ренормгруппы. По сути, это означает, что изменение масштаба системы в один раз будет эквивалентно изменению масштаба операторов и исходных полей в один раз . ^Д для некоторого ∆ . Таким образом, мы можем перепараметризовать все величины в терминах независимых от масштаба величин.

Масштабирование отношений

Долгое время считалось, что критические показатели степени одинаковы выше и ниже критической температуры, например α ≡ α ′ или γ ≡ γ ′ . Теперь было показано, что это не обязательно так: когда непрерывная симметрия явно разбивается на дискретную симметрию нерелевантными (в смысле ренормгруппы) анизотропиями, тогда показатели степени γ и γ ′ не идентичны.

Критические показатели обозначены греческими буквами. Они попадают в классы универсальности и подчиняются соотношениям масштабирования и гипермасштабирования.

${\begin{aligned}\nu d&=2-\alpha =2\beta +\gamma =\beta (\delta +1)=\gamma {\frac {\delta +1}{\delta -1}}\\2-\eta &={\frac {\gamma }{\nu }}=d{\frac {\delta -1}{\delta +1}}\end{aligned}}$

Из этих уравнений следует, что существует только два независимых показателя степени, например ν и η . Все это следует из теории ренормгруппы .

Теория перколяции

Фазовые переходы и критические показатели степени возникают также в перколяционных процессах, где концентрация «занятых» узлов или звеньев решетки является управляющим параметром фазового перехода (по сравнению с температурой при классических фазовых переходах в физике). Одним из простейших примеров является перколяция Бернулли в двумерной квадратной решетке. Сайты заняты случайно с вероятностью $p$. Кластер определяется как совокупность ближайших соседних занятых сайтов. Для небольших значений $p$ занятые участки образуют лишь небольшие локальные кластеры. На пороге перколяции $p_{c}\approx 0.5927$ (также называемая критической вероятностью) формируется охватывающий кластер, который простирается через противоположные узлы системы, и мы имеем фазовый переход второго рода, который характеризуется универсальными критическими показателями. Для перколяции класс универсальности отличается от класса универсальности Изинга. Например, критический показатель длины корреляции равен $\nu =4/3$ для двумерной перколяции Бернулли по сравнению с $\nu =1$ для 2D-модели Изинга. Более подробный обзор см. в разделе Критические показатели перколяции .

Анизотропия

Существуют некоторые анизотропные системы, в которых длина корреляции зависит от направления.

Направленную перколяцию можно также рассматривать как анизотропную перколяцию. В этом случае критические показатели разные, а верхняя критическая размерность равна 5.

Мультикритические точки

Более сложное поведение может возникнуть в мультикритических точках , на границе или пересечении критических многообразий. Их можно достичь путем настройки значения двух или более параметров, таких как температура и давление.

Статические и динамические свойства

Приведенные выше примеры относятся исключительно к статическим свойствам критической системы. Однако критическими могут стать и динамические свойства системы. В частности, характерное время τ _char системы расходится как τ _char ∝ ξ ^С , с динамическим показателем z . Более того, большие статические классы универсальности эквивалентных моделей с одинаковыми статическими критическими показателями распадаются на меньшие классы динамической универсальности , если потребовать, чтобы и динамические показатели были идентичны.

Равновесные критические показатели могут быть вычислены с помощью конформной теории поля .

См. также аномальное масштабное измерение .

Самоорганизованная критичность

Критические показатели существуют также для самоорганизованной критичности диссипативных систем .

См. также

• Класс универсальности числовых значений критических показателей
• Сложные сети
• Случайные графики
• Неравенство Рашбрука
• Масштабирование Видома
• Конформный бутстрап
• Критические показатели Изинга
• Критические показатели перколяции
• Сетевая наука
• Теория перколяции
• Теория графов

Внешние ссылки и литература

• Хаген Кляйнерт и Верена Шульте-Фролинде, Критические свойства φ ⁴ -Теории , World Scientific (Сингапур, 2001 г.) ; Мягкая обложка ISBN   981-02-4658-7
• Тода М., Кубо Р., Н. Сайто, Статистическая физика I , Springer-Verlag (Берлин, 1983); Твердый переплет ISBN   3-540-11460-2
• Дж. М. Йоманс, Статистическая механика фазовых переходов , Oxford Clarendon Press
• Его Превосходительство Стэнли. Введение в фазовые переходы и критические явления , Oxford University Press, 1971.
• Классы универсальности от Sklogwiki
• Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления , Оксфорд, Clarendon Press (2002), ISBN   0-19-850923-5
• Зинн-Джастин, Дж. (2010). «Критические явления: теоретический подход поля» Статья в Scholarpedia Scholarpedia, 5 (5):8346.
• Д. Поланд, С. Рычков, А. Вичи, «Конформный бутстрап: теория, численные методы и приложения» , Rev.Mod.Phys. 91 (2019) 015002, http://arxiv.org/abs/1805.04405
• Ф. Леонард и Б. Деламотт. Критические показатели могут быть разными по обе стороны перехода: Общий механизм , Phys. Преподобный Летт. 115, 200601 (2015), https://arxiv.org/abs/1508.07852 ,