Неравенство Рашбрука

В статистической механике связывает неравенство Рашбрука критические показатели магнитной системы , первого рода которая демонстрирует фазовый переход в термодинамическом пределе для ненулевой температуры T .

Поскольку свободная энергия Гельмгольца обширна как , нормализация свободной энергии на узел задается

$f=-kT\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\log Z_{N}$

Намагниченность в M на узел в термодинамическом пределе зависимости от внешнего магнитного поля H и температуры T определяется выражением

$M(T,H)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i}\sigma _{i}\right)$

где $\sigma _{i}$ – спин в i-м узле, а магнитная восприимчивость и теплоемкость при постоянных температуре и поле определяются выражениями соответственно

$\chi _{T}(T,H)=\left({\frac {\partial M}{\partial H}}\right)_{T}$

и

$c_{H}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{H}.$

Кроме того,

$c_{M}=+T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{M}.$

Определения

Критические показатели $\alpha ,\alpha ',\beta ,\gamma ,\gamma '$ и $\delta$ определяются через поведение параметров порядка и функций отклика вблизи критической точки следующим образом

$M(t,0)\simeq (-t)^{\beta }{\mbox{ for }}t\uparrow 0$

$M(0,H)\simeq |H|^{1/\delta }\operatorname {sign} (H){\mbox{ for }}H\rightarrow 0$

$\chi _{T}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\gamma },&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\gamma '},&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}$

$c_{H}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\alpha }&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\alpha '}&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}$

где

$t\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {T-T_{c}}{T_{c}}}$

измеряет температуру относительно критической точки .

Вывод

Используя магнитный аналог соотношений Максвелла для функций отклика , соотношение

$\chi _{T}(c_{H}-c_{M})=T\left({\frac {\partial M}{\partial T}}\right)_{H}^{2}$

следует, и с термодинамической стабильностью, требующей, чтобы $c_{H},c_{M}{\mbox{ and }}\chi _{T}\geq 0$, у одного есть

$c_{H}\geq {\frac {T}{\chi _{T}}}\left({\frac {\partial M}{\partial T}}\right)_{H}^{2}$

что в условиях $H=0,t>0$ и определение критических показателей дает

$(-t)^{-\alpha '}\geq \mathrm {constant} \cdot (-t)^{\gamma '}(-t)^{2(\beta -1)}$

что дает неравенство Рашбрука

$\alpha '+2\beta +\gamma '\geq 2.$

Примечательно, что в эксперименте и в точно решенных моделях неравенство фактически выполняется как равенство.