Квантовая модель Гейзенберга

Квантовая модель Гейзенберга , разработанная Вернером Гейзенбергом , представляет собой статистическую механическую модель, используемую при изучении критических точек и фазовых переходов магнитных систем, в которой спины магнитных систем рассматриваются квантовомеханически . Это связано с прототипом модели Изинга , где в каждом узле решетки спин $\sigma _{i}\in \{\pm 1\}$ представляет собой микроскопический магнитный диполь, магнитный момент которого направлен либо вверх, либо вниз. Помимо связи между магнитными дипольными моментами, существует также мультиполярная версия модели Гейзенберга, называемая мультиполярным обменным взаимодействием .

Обзор

По квантово-механическим причинам (см. Обменное взаимодействие или Магнетизм § Квантово-механическое происхождение магнетизма ) доминирующая связь между двумя диполями может привести к тому, что ближайшие соседи будут иметь наименьшую энергию, когда они выровнены . В этом предположении (так что магнитные взаимодействия происходят только между соседними диполями) и на одномерной периодической решетке гамильтониан можно записать в виде

${\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}\sigma _{j+1}-h\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}$,

где $J$ — константа связи , а диполи представлены классическими векторами (или «спинами») σ _j , подчиняющимися периодическому граничному условию $\sigma _{N+1}=\sigma _{1}$. Модель Гейзенберга является более реалистичной моделью, поскольку она рассматривает спины квантовомеханически, заменяя спин квантовым оператором, действующим на тензорное произведение $(\mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}$, размерности $2^{N}$. Чтобы определить это, вспомним матрицы Паули со спином 1/2.

$\sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$,

$\sigma ^{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$,

$\sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$,

и для $1\leq j\leq N$ и $a\in \{x,y,z\}$ обозначать $\sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes N-j}$, где $I$ это $2\times 2$ идентификационная матрица.Учитывая выбор вещественных констант связи $J_{x},J_{y},$ и $J_{z}$, гамильтониан имеет вид

${\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N}(J_{x}\sigma _{j}^{x}\sigma _{j+1}^{x}+J_{y}\sigma _{j}^{y}\sigma _{j+1}^{y}+J_{z}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}+h\sigma _{j}^{z})$

где $h$ в правой части указано внешнее магнитное поле с периодическими граничными условиями . Цель состоит в том, чтобы определить спектр гамильтониана, из которого статистическую сумму можно рассчитать термодинамику и изучить системы.

Модель принято называть в зависимости от значений $J_{x}$, $J_{y}$ и $J_{z}$: если $J_{x}\neq J_{y}\neq J_{z}$, модель называется моделью Гейзенберга XYZ; в случае $J=J_{x}=J_{y}\neq J_{z}=\Delta$, это модель Heisenberg XXZ; если $J_{x}=J_{y}=J_{z}=J$, это модель Heisenberg XXX. Модель Гейзенберга со спином 1/2 в одном измерении может быть точно решена с использованием анзаца Бете . В алгебраической формулировке они связаны с конкретными квантовыми аффинными алгебрами и эллиптическими квантовыми группами в случаях XXZ и XYZ соответственно. Другие подходы делают это без анзаца Бете.

ХХХ модель

Физика модели Гейзенберга XXX сильно зависит от знака константы связи $J$ и размерность помещения. Для позитива $J$ Основное состояние всегда ферромагнитно . При отрицательном $J$ основное состояние антиферромагнитно в двух и трех измерениях. В одном измерении характер корреляций в антиферромагнитной модели Гейзенберга зависит от спина магнитных диполей. Если спин целочисленный, то только ближний порядок присутствует . Система полуцелых спинов обладает квазидальним порядком .

Упрощенной версией модели Гейзенберга является одномерная модель Изинга, где поперечное магнитное поле направлено в направлении x , а взаимодействие происходит только в направлении z :

${\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}-gJ\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{x}$.

При малых g и больших квантовый вырождение основного состояния различно, а это означает, что между ними должен быть переход фазовый . Ее можно решить точно для критической точки, используя анализ двойственности. Двойственный переход матриц Паули имеет вид ${\textstyle \sigma _{i}^{z}=\prod _{j\leq i}S_{j}^{x}}$ и $\sigma _{i}^{x}=S_{i}^{z}S_{i+1}^{z}$, где $S^{x}$ и $S^{z}$ также являются матрицами Паули, подчиняющимися матричной алгебре Паули.Можно показать, что при периодических граничных условиях преобразованный гамильтониан имеет очень похожую форму:

${\hat {H}}=-gJ\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{z}S_{j+1}^{z}-J\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{x}$

но для $g$ присоединен к члену спинового взаимодействия. Предполагая, что существует только одна критическая точка, мы можем заключить, что фазовый переход происходит при $g=1$.

Решение методом Бете

Основная статья: Подход Бете

ХХХ _1/2 модель

Следуя подходу Людвига Фаддеева ( 1996 ), спектр гамильтониана для модели XXX $$H={\frac {1}{4}}\sum _{\alpha ,n}(\sigma _{n}^{\alpha }\sigma _{n+1}^{\alpha }-1)$$можно определить с помощью анзаца Бете. В этом контексте для соответствующим образом определенного семейства операторов $B(\lambda )$ зависит от спектрального параметра $\lambda \in \mathbb {C}$ действующий на полное гильбертово пространство ${\mathcal {H}}=\bigotimes _{n=1}^{N}h_{n}$ с каждым $h_{n}\cong \mathbb {C} ^{2}$, вектор Бете — это вектор вида $$\Phi (\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{m})=B(\lambda _{1})\cdots B(\lambda _{m})v_{0}$$где $v_{0}=\bigotimes _{n=1}^{N}|\uparrow \,\rangle$.Если $\lambda _{k}$ удовлетворяют уравнению Бете $$\left({\frac {\lambda _{k}+i/2}{\lambda _{k}-i/2}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{j}+i}{\lambda _{k}-\lambda _{j}-i}},$$тогда вектор Бете является собственным вектором $H$ с собственным значением $-\sum _{k}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\lambda _{k}^{2}+1/4}}$.

Семья $B(\lambda )$ а также три других семейства происходят из трансферной матрицы $T(\lambda )$ (в свою очередь определяется с помощью матрицы Лакса ), которая действует на ${\mathcal {H}}$ вместе со вспомогательным помещением $h_{a}\cong \mathbb {C} ^{2}$, и может быть записано как $2\times 2$ блочная матрица с записями в $\mathrm {End} ({\mathcal {H}})$, $$T(\lambda )={\begin{pmatrix}A(\lambda )&B(\lambda )\\C(\lambda )&D(\lambda )\end{pmatrix}},$$которое удовлетворяет фундаментальным коммутационным соотношениям (FCR), аналогичным по форме уравнению Янга – Бакстера, используемому для вывода уравнений Бете. FCR также показывают, что существует большая коммутирующая подалгебра, заданная производящей функцией. $F(\lambda )=\mathrm {tr} _{a}(T(\lambda ))=A(\lambda )+D(\lambda )$, как $[F(\lambda ),F(\mu )]=0$, поэтому, когда $F(\lambda )$ записывается в многочлена виде $\lambda$, все коэффициенты коммутируют, охватывая коммутативную подалгебру, которая $H$ является элементом. Векторы Бете фактически являются одновременными собственными векторами для всей подалгебры.

ХХХ _​ модель

Для более высоких вращений, скажем, вращение $s$, заменять $\sigma ^{\alpha }$ с $S^{\alpha }$ исходя из представления алгебры Ли алгебры Ли ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$, размерности $2s+1$. XXX _{Гамильтониан} ​ $$H=\sum _{\alpha ,n}(S_{n}^{\alpha }S_{n+1}^{\alpha }-(S_{n}^{\alpha }S_{n+1}^{\alpha })^{2})$$разрешимо анзацем Бете с уравнениями Бете $$\left({\frac {\lambda _{k}+is}{\lambda _{k}-is}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{j}+i}{\lambda _{k}-\lambda _{j}-i}}.$$

XXZ _​ Модель

Для вращения $s$ и параметр $\gamma$ для деформации модели XXX BAE (уравнение анзаца Бете) равно $$\left({\frac {\sinh(\lambda _{k}+is\gamma )}{\sinh(\lambda _{k}-is\gamma )}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\sinh(\lambda _{k}-\lambda _{j}+i\gamma )}{\sinh(\lambda _{k}-\lambda _{j}-i\gamma )}}.$$Примечательно, что для $s={\frac {1}{2}}$ это именно БАЭ для шестивершинной модели , после выявления $\gamma =2\eta$, где $\eta$ — параметр анизотропии шестивершинной модели. Первоначально это считалось случайным, пока Бакстер не показал, что гамильтониан XXZ содержится в алгебре, порожденной трансфер-матрицей. $T(\nu )$, данный именно $$H_{XXZ_{1/2}}=-i\sin 2\eta {\frac {d}{d\nu }}\log T(\nu ){\Big |}_{\nu =-i\eta }-{\frac {1}{2}}\cos 2\eta 1^{\otimes N}.$$

Приложения

• Другой важный объект — энтропия запутанности . Один из способов описать это — разделить уникальное основное состояние на блок (несколько последовательных вращений) и окружающую среду (остальную часть основного состояния). Энтропию блока можно рассматривать как энтропию запутанности. При нулевой температуре в критической области (термодинамический предел) он логарифмически масштабируется с размером блока. С повышением температуры логарифмическая зависимость переходит в линейную функцию. При больших температурах линейная зависимость следует из второго закона термодинамики .
• Модель Гейзенберга представляет собой важный и понятный теоретический пример применения перенормировки матрицы плотности .
• Шестивершинную модель можно решить, используя алгебраический анзац Бете для спиновой цепочки Гейзенберга (Бакстер, 1982 ).
• Полузаполненная модель Хаббарда в пределе сильных отталкивающих взаимодействий может быть отображена в модель Гейзенберга с $J<0$ представляющий силу сверхобменного взаимодействия.
• Пределы модели, когда шаг решетки равен нулю (и для переменных, появляющихся в теории, принимаются различные пределы), описывают интегрируемые теории поля, как нерелятивистские, такие как нелинейное уравнение Шредингера , так и релятивистские, такие как уравнение Шредингера. $S^{2}$ сигма-модель , $S^{3}$ сигма-модель (которая также является основной киральной моделью ) и модель синус-Гордона .
• Вычисление определенных корреляционных функций в плоском или большом $N$ предел N = 4 суперсимметричной теории Янга – Миллса

Расширенная симметрия

Интегрируемость подкрепляется существованием больших алгебр симметрии для различных моделей. Для случая XXX это Янгиан. $Y({\mathfrak {sl}}_{2})$, а в случае XXZ это квантовая группа ${\hat {{\mathfrak {sl}}_{q}(2)}}$, q-деформация аффинной алгебры Ли ${\hat {{\mathfrak {sl}}_{2}}}$, как поясняется в заметках Фаддеева ( 1996 ).

Они появляются через передаточную матрицу и условие, что векторы Бете генерируются из состояния $\Omega$ удовлетворяющий $C(\lambda )\cdot \Omega =0$ соответствует решениям, являющимся частью со старшим весом представления расширенных алгебр симметрии .

См. также

• Классическая модель Гейзенберга
• DMRG модели Гейзенберга
• Модель квантового ротора
• модель tJ
• Модель J1 J2
• Модель Маджумдара – Гоша
• Модель АКЛТ
• Многополярное обменное взаимодействие

Ссылки

• Р. Дж. Бакстер, Точно решенные модели в статистической механике , Лондон, Academic Press, 1982.
• Гейзенберг, В. (1 сентября 1928 г.). «К теории ферромагнетизма». Журнал физики (на немецком языке). 49 (9): 619–636. Бибкод : 1928ZPhy...49..619H . дои : 10.1007/BF01328601 . S2CID   122524239 .
• Бете, Х. (1 марта 1931 г.). «К теории металлов». Журнал физики (на немецком языке). 71 (3): 205–226. Бибкод : 1931ZPhy...71..205B . дои : 10.1007/BF01341708 . S2CID   124225487 .