Решётчатая модель (физика)

Трехмерная решетка, заполненная двумя молекулами A и B, показанными здесь в виде черно-белых сфер. Такие решетки используются, например, в теории решений Флори – Хаггинса.

В математической физике решетчатая модель — это математическая модель физической системы, которая определяется на решетке , в отличие от континуума , такого как континуум пространства или пространства-времени . изначально возникли в контексте физики конденсированного состояния , где атомы кристалла Решеточные модели автоматически образуют решетку. В настоящее время решеточные модели довольно популярны в теоретической физике по многим причинам. Некоторые модели точно разрешимы и, таким образом, предлагают понимание физики за пределами того, что можно узнать из теории возмущений . Решетчатые модели также идеально подходят для изучения методами вычислительной физики , поскольку дискретизация любой модели континуума автоматически превращает ее в решетчатую модель. Точное решение многих из этих моделей (если они разрешимы) включает наличие солитонов . Методы их решения включают преобразование обратного рассеяния и метод пар Лакса , уравнение Янга-Бакстера и квантовые группы . Решение этих моделей позволило лучше понять природу фазовые переходы , намагниченность и масштабирование , а также понимание природы квантовой теории поля . Модели физической решетки часто используются как приближение к теории континуума либо для того, чтобы ограничить ультрафиолетовым излучением теорию для предотвращения расхождений, либо для выполнения численных расчетов . Примером теории континуума, которая широко изучается с помощью решеточных моделей, является решетчатая модель КХД , дискретизация квантовой хромодинамики . Однако цифровая физика считает природу фундаментально дискретной в масштабе Планка, что накладывает верхний предел плотности информации , также известный как голографический принцип . В более общем смысле, теория калибровки решетки и теория поля решетки областями исследования являются . Решеточные модели также используются для моделирования структуры и динамики полимеров.

Математическое описание

Ряд решетчатых моделей можно описать следующими данными:

Решетка $\Lambda$ , часто принимаемый за решетку в $d$ -мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{d}$ или $d$ -мерный тор, если решетка периодическая. Конкретно, $\Lambda$ часто представляет собой кубическую решетку . Если две точки решетки считаются «ближайшими соседями», то их можно соединить ребром, превращая решетку в решетчатый граф . Вершины $\Lambda$ иногда называют сайтами.
Пространство со спиновой переменной $S$ . Конфигурационное пространство ${\mathcal {C}}$ возможных состояний системы тогда является пространством функций $\sigma :\Lambda \rightarrow S$ . Для некоторых моделей мы могли бы вместо этого рассмотреть пространство функций $\sigma :E\rightarrow S$ где $E$ — множество ребер графа, определенного выше.
Энергетический функционал $E:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R}$ , который может зависеть от набора дополнительных параметров или «констант связи» $\{g_{i}\}$ .

Примеры

Модель Изинга представляет собой обычный граф кубической решетки. $G=(\Lambda ,E)$ где $\Lambda$ представляет собой бесконечную кубическую решетку в $\mathbb {R} ^{d}$ или период $n$ кубическая решетка в $T^{d}$ , и $E$ - это набор ребер ближайших соседей (одна и та же буква используется для функционала энергии, но разные значения различаются в зависимости от контекста). Пространство спиновой переменной $S=\{+1,-1\}=\mathbb {Z} _{2}$ . Энергетический функционал

E(\sigma )=-H\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)-J\sum _{\{v_{1},v_{2}\}\in E}\sigma (v_{1})\sigma (v_{2}).

Пространство спиновой переменной часто можно описать как смежный класс . Например, для модели Поттса имеем $S=\mathbb {Z} _{n}$ . В пределе $n\rightarrow \infty$ , мы получаем модель XY, которая имеет $S=SO(2)$ . Обобщение модели XY на более высокие измерения дает $n$ -векторная модель, имеющая $S=S^{n}=SO(n+1)/SO(n)$ .

Решаемые модели

Мы специализируемся на решетке с конечным числом точек и конечным пространством с переменным спином. Этого можно добиться, сделав решетку периодической с периодом $n$ в $d$ размеры. Тогда конфигурационное пространство ${\mathcal {C}}$ также конечно. Мы можем определить статистическую сумму

Z=\sum _{\sigma \in {\mathcal {C}}}\exp(-\beta E(\sigma ))

и нет никаких проблем сходимости (подобных тем, которые возникают в теории поля), поскольку сумма конечна. Теоретически эту сумму можно вычислить и получить выражение, зависящее только от параметров $\{g_{i}\}$ и $\beta$ . На практике это часто бывает сложно из-за нелинейного взаимодействия между сайтами. Модели с выражением статистической суммы в замкнутой форме известны как точно решаемые .

Примерами точно решаемых моделей являются периодическая одномерная модель Изинга и периодическая двумерная модель Изинга с исчезающим внешним магнитным полем. $H=0,$ но для измерения $d>2$ , модель Изинга остается нерешенной.

Теория среднего поля

Из-за сложности получения точных решений для получения аналитических результатов часто приходится прибегать к теории среднего поля . Это среднее поле может быть пространственно изменяющимся или глобальным.

Глобальное среднее поле

Конфигурационное пространство ${\mathcal {C}}$ функций $\sigma$ заменяется выпуклой оболочкой спинового пространства $S$ , когда $S$ имеет реализацию в терминах подмножества $\mathbb {R} ^{m}$ . Мы обозначим это через $\langle {\mathcal {C}}\rangle$ . Это возникает потому, что при переходе к среднему значению поля мы имеем $\sigma \mapsto \langle \sigma \rangle :={\frac {1}{|\Lambda |}}\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)$ .

По количеству узлов решетки $N=|\Lambda |\rightarrow \infty$ , возможные значения $\langle \sigma \rangle$ заполнить выпуклую оболочку $S$ . Сделав подходящее приближение, функционал энергии становится функцией среднего поля, то есть $E(\sigma )\mapsto E(\langle \sigma \rangle ).$ Тогда функция распределения становится

Z=\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-\beta E(\langle \sigma \rangle )}\Omega (\langle \sigma \rangle )=:\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle )}.

Как $N\rightarrow \infty$ , то есть в термодинамическом пределе говорит приближение седловой точки нам, что в интеграле асимптотически доминирует значение, при котором $f(\langle \sigma \rangle )$ сведен к минимуму:

Z\sim e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle _{0})}

где $\langle \sigma \rangle _{0}$ аргумент, минимизирующий $f$ .

Более простой, но менее математически строгий подход, который, тем не менее, иногда дает правильные результаты, основан на линеаризации теории среднего поля. $\langle \sigma \rangle$ . Запись конфигураций как $\sigma (v)=\langle \sigma \rangle +\Delta \sigma (v)$ , усечение условий ${\mathcal {O}}(\Delta \sigma ^{2})$ затем суммирование по конфигурациям позволяет вычислить статистическую сумму.

Такой подход к периодической модели Изинга в $d$ Размеры дают представление о фазовых переходах .

Пространственно меняющееся среднее поле

Предположим, что непрерывный предел решетки $\Lambda$ является $\mathbb {R} ^{d}$ . Вместо усреднения по всем $\Lambda$ , мы усредняем по окрестностям $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}$ . Это дает пространственно меняющееся среднее поле $\langle \sigma \rangle :\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \langle {\mathcal {C}}\rangle$ . Мы переименовываем $\langle \sigma \rangle$ с $\phi$ приблизить обозначения к теории поля. Это позволяет записать статистическую сумму в виде интеграла по пути.