Вращение фитиля

В физике , вращение Вика , названное в честь итальянского физика Джана Карло Вика — это метод поиска решения математической задачи в пространстве Минковского из решения связанной задачи в евклидовом пространстве посредством преобразования, заменяющего переменную мнимого числа. для переменной действительного числа.

Фитильные вращения полезны из-за аналогии между двумя важными, но, казалось бы, разными областями физики: статистической механикой и квантовой механикой . В этой аналогии обратная температура играет роль в статистической механике, формально сродни мнимому времени в квантовой механике: то есть ${\sqrt {-1}}t$ где $t$ это время.

Точнее, в статистической механике мера Гиббса $\exp(-H/k_{\text{B}}T)$ описывает относительную вероятность того, что система будет находиться в любом заданном состоянии при температуре $T$ , где $H$ - функция, описывающая энергию каждого состояния и $k_{\text{B}}$ – постоянная Больцмана . В квантовой механике преобразование $\exp(-itH/\hbar )$ описывает эволюцию во времени, где $H$ – оператор, описывающий энергию ( гамильтониан ), а $\hbar$ – приведенная постоянная Планка . Первое выражение похоже на второе, если мы заменим $it/\hbar$ с $1/k_{\text{B}}T$ , и эта замена называется вращением Вика. ^[1]

Вращение Фитиля называется вращением, потому что, когда мы представляем комплексные числа в виде плоскости , умножение комплексного числа на мнимую единицу $i = \sqrt -1$ эквивалентно вращению против часовой стрелки вектора, представляющего это число, на угол величины $π / 2$ о происхождении. ^[2]

Обзор

Вращение Вика мотивировано наблюдением, что метрика Минковского в натуральных единицах (с соглашением о метрике $(-1, +1, +1, +1)$ )

ds^{2}=-\left(dt^{2}\right)+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

и четырехмерная евклидова метрика

ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

эквивалентны, если разрешить координате $t$ принимать мнимые значения. Метрика Минковского становится евклидовой, когда $t$ ограничивается мнимой осью , и наоборот. Взяв задачу, выраженную в пространстве Минковского с координатами $x, y, z, t$ , и заменив $t = - iτ$ иногда возникает проблема в реальных евклидовых координатах $x, y, z, τ,$ которую легче решить. Это решение может затем, при обратной замене, дать решение исходной задачи.

Статистическая и квантовая механика

Вращение фитиля соединяет статистическую механику с квантовой механикой , заменяя обратную температуру или мнимым временем , точнее, заменяя $1/k_{\text{B}}T$ с $it/\hbar$ , где $t$ это температура, $k_{B}$ – постоянная Больцмана , $t$ это время, и $\hbar$ – приведенная постоянная Планка .

Например, рассмотрим квантовую систему, гамильтониан которой $H$ имеет собственные значения $E_{j}$ . Когда эта система находится в тепловом равновесии при температуре $Т$ , вероятность найти ее в $j$ собственное энергии состояние пропорционально $\exp(-E_{j}/k_{\text{B}}T)$ . Таким образом, ожидаемое значение любой наблюдаемой $Q$ , коммутирующей с гамильтонианом, с точностью до нормализующей константы равно

\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}}{k_{\text{B}}T}}},

где $j$ пробегает все собственные состояния энергии и $Q_{j}$ это ценность $Q$ в $j$ собственное состояние.

Альтернативно, рассмотрим эту систему в суперпозиции энергии собственных состояний , развивающуюся в течение времени $t$ гамильтониана $H.$ под действием Спустя время $t$ относительное изменение фазы $j$ -го собственного состояния равно $\exp(-E_{j}it/\hbar ).$ Таким образом, амплитуда вероятности того, что равномерная (равновзвешенная) суперпозиция состояний

|\psi \rangle =\sum _{j}|j\rangle

эволюционирует к произвольной суперпозиции

|Q\rangle =\sum _{j}Q_{j}|j\rangle

с точностью до нормировочной константы

\left\langle Q\left|e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}\right|\psi \right\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}\langle j|j\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}.

Заметим, что эту формулу можно получить из формулы теплового равновесия заменой $1/k_{\text{B}}T$ с $it/\hbar$ .

Статика и динамика

Вращение фитиля связывает проблемы статики в $n$ измерениях с проблемами динамики в $n - 1$ измерениях, меняя одно измерение пространства на одно измерение времени. Простой пример, когда $n = 2,$ — это висячая пружина с фиксированными концами в гравитационном поле. Форма пружины представляет собой кривую $y (x)$ . Пружина находится в равновесии, когда энергия, связанная с этой кривой, находится в критической точке (экстремуме); эта критическая точка обычно является минимумом, поэтому эту идею обычно называют «принципом наименьшей энергии». Чтобы вычислить энергию, мы интегрируем пространственную плотность энергии по пространству:

E=\int _{x}\left[k\left({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V{\big (}y(x){\big )}\right]dx,

где $k$ — жесткость пружины, а $V (y (x))$ — гравитационный потенциал.

Соответствующая динамическая задача — это задача о камне, брошенном вверх. Путь, по которому следует камень, доводит действие до экстремума ; как и раньше, этот экстремум обычно является минимумом, поэтому это называется « принципом наименьшего действия ». Действие — это интеграл по времени от лагранжиана :

S=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V{\big (}y(t){\big )}\right]dt.

Решение задачи динамики (с точностью до коэффициента $i$ ) мы получаем из задачи статики путем вращения Вика, заменяя $y (x)$ на $y (it),$ а жесткость пружины $k$ на массу камня $m$ :

iS=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(it)}{dt}}\right)^{2}+V{\big (}y(it){\big )}\right]dt=i\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(it)}{dit}}\right)^{2}-V{\big (}y(it){\big )}\right]d(it).

Как термические/квантовые, так и статические/динамические.

В совокупности два предыдущих примера показывают, как формулировка квантовой механики с интегралом по траекториям связана со статистической механикой. Согласно статистической механике, форма каждой пружины в сборе при температуре $T$ будет отклоняться от формы с наименьшей энергией из-за тепловых колебаний; вероятность найти пружину заданной формы экспоненциально уменьшается с увеличением разницы в энергии от формы с наименьшей энергией. Точно так же квантовая частица, движущаяся в потенциале, может быть описана суперпозицией путей, каждый из которых имеет фазу $exp(iS)$ : тепловые изменения формы в совокупности превратились в квантовую неопределенность на пути квантовой частицы.

Дополнительная информация

и Уравнение Шрёдингера уравнение теплопроводности также связаны вращением Вика.

Вращение фитиля также связывает квантовую теорию поля при конечной обратной температуре $β$ со статистико-механической моделью над «трубкой» $R. 3 \times С 1$ причем мнимая временная координата $τ$ является периодической с периодом $β$ . Однако есть небольшая разница. Статистически-механические $n$ -точечные функции удовлетворяют положительности, тогда как квантовые теории поля с вращением Вика удовлетворяют положительности отражения . ^{[ нужны дальнейшие объяснения ]}

Обратите внимание, однако, что вращение Вика нельзя рассматривать как вращение в комплексном векторном пространстве, которое оснащено обычной нормой и метрикой, индуцированной внутренним произведением , поскольку в этом случае вращение будет компенсироваться и не будет иметь никакого эффекта.

Строгое доказательство

Дирк Шлингеманн доказал, что более строгую связь между евклидовой и квантовой теорией поля можно построить с помощью теоремы Остервальдера–Шредера . ^[3]

См. также

Ссылки

^ Зи, Энтони (2010). Квантовая теория поля в двух словах (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. п. 289. ИСБН 978-1-4008-3532-4 .
^ Ланкастер, Том; Бланделл, Стивен Дж. (17 апреля 2014 г.), «Статистическая теория поля» , Квантовая теория поля для одаренных любителей , Oxford University Press, стр. 228–229 , получено 12 ноября 2023 г.
^ Шлингеманн, Дирк (1999). «От евклидовой теории поля к квантовой теории поля» . Обзоры по математической физике . 11 (9): 1151–78. arXiv : hep-th/9802035 . Бибкод : 1999RvMaP..11.1151S . дои : 10.1142/S0129055X99000362 . ISSN 0129-055X . S2CID 9851483 .

Вик, GC (1954). «Свойства волновых функций Бете-Солпитера». Физический обзор . 96 (4): 1124–1134. Бибкод : 1954PhRv...96.1124W . дои : 10.1103/PhysRev.96.1124 .

Внешние ссылки

Пружина в мнимом времени - рабочий лист по лагранжевой механике, иллюстрирующий, как замена длины мнимым временем превращает параболу висячей пружины в перевернутую параболу брошенной частицы.
Евклидова гравитация — короткая заметка Рэя Стритера о программе «Евклидова гравитация».

[1] Зи, Энтони (2010). Квантовая теория поля в двух словах (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. п. 289. ИСБН 978-1-4008-3532-4 .

[2] Ланкастер, Том; Бланделл, Стивен Дж. (17 апреля 2014 г.), «Статистическая теория поля» , Квантовая теория поля для одаренных любителей , Oxford University Press, стр. 228–229 , получено 12 ноября 2023 г.

[3] Шлингеманн, Дирк (1999). «От евклидовой теории поля к квантовой теории поля» . Обзоры по математической физике . 11 (9): 1151–78. arXiv : hep-th/9802035 . Бибкод : 1999RvMaP..11.1151S . дои : 10.1142/S0129055X99000362 . ISSN 0129-055X . S2CID 9851483 .

[1]

[2]

[3]