Комплексное пространство-время
Комплексное пространство-время — это математическая основа, объединяющая концепции комплексных чисел и пространства-времени в физике. В этой структуре обычные действительные координаты пространства-времени заменяются комплексными координатами. Это позволяет включать воображаемые компоненты в описание пространства-времени, что может иметь интересные последствия в некоторых областях физики, таких как квантовая теория поля и теория струн .
Это понятие является полностью математическим и не подразумевает никакой физики, но его следует рассматривать как инструмент, например, примером которого является вращение Вика .
Реальные и сложные пространства
[ редактировать ]Математика
[ редактировать ]Комплексификация комплексного действительного векторного пространства приводит к созданию векторного пространства (над комплексных чисел полем ). «Укомплексовать» пространство означает расширить обычное скалярное умножение векторов на действительные числа до скалярного умножения на комплексные числа . Для комплексных пространств внутреннего продукта комплексный внутренний продукт векторов заменяет обычный внутренний продукт с действительным знаком , примером которого является скалярное произведение .
В математической физике, когда мы комплексуем реальное координатное пространство мы создаем сложное координатное пространство , называемое в дифференциальной геометрии « комплексным многообразием ». Пространство может быть связано с , поскольку каждое комплексное число представляет собой два действительных числа.
Сложная пространства-времени геометрия означает, что комплексным является метрический тензор , а не само пространство-время.
Физика
[ редактировать ]Пространство Минковского специальной теории относительности (СТО) и общей теории относительности (ОТО) представляет собой 4-мерное псевдоевклидово пространство . Пространство -время, лежащее в основе уравнений поля Альберта Эйнштейна , которые математически описывают гравитацию , представляет собой реальное 4-мерное псевдориманово многообразие .
В квантовой механике волновые функции , описывающие частицы, являются комплексными функциями реальных переменных пространства и времени. Набор всех волновых функций данной системы представляет собой бесконечномерное комплексное гильбертово пространство .
История
[ редактировать ]Представление о пространстве-времени, имеющем более четырех измерений, представляет интерес само по себе с математической точки зрения. Его появление в физике может быть связано с попытками объединить фундаментальные взаимодействия , первоначально гравитацию и электромагнетизм . Эти идеи преобладают в теории струн и за ее пределами. Идее комплексного пространства-времени уделялось значительно меньше внимания, но она рассматривалась вместе с уравнением Лоренца-Дирака и уравнениями Максвелла. [1] [2] Другие идеи включают отображение реального пространства-времени в комплексное пространство представления SU(2, 2) , см. теорию твисторов . [3]
В 1919 году Теодор Калуца свое пятимерное расширение общей теории относительности отправил Альберту Эйнштейну . [4] который был впечатлен тем, как уравнения электромагнетизма возникли из теории Калуцы. В 1926 году Оскар Кляйн предложил [5] что дополнительное измерение Калуцы может быть « свернуто » в чрезвычайно маленький круг, как будто круговая топология скрыта в каждой точке пространства. Вместо того, чтобы быть еще одним пространственным измерением, дополнительное измерение можно рассматривать как угол, который создает гиперизмерение , вращаясь на 360°. Эта 5d-теория называется теорией Калуцы-Клейна .
В 1932 году Синь П. Со из Массачусетского технологического института по рекомендации Артура Эддингтона опубликовал теорию, пытающуюся объединить гравитацию и электромагнетизм в рамках сложной 4-мерной римановой геометрии . Линейный элемент ds 2 является комплексным, так что действительная часть соответствует массе и гравитации, а мнимая часть - заряду и электромагнетизму. Обычные пространственные координаты x , y , z и время t сами по себе действительны, а пространство-время не является комплексным, но касательные пространства могут быть таковыми. [6]
В течение нескольких десятилетий после публикации своей общей теории относительности в 1915 году Альберт Эйнштейн пытался объединить гравитацию с электромагнетизмом , чтобы создать единую теорию поля, объясняющую оба взаимодействия. В последние годы Второй мировой войны Альберт Эйнштейн начал рассматривать сложные геометрии пространства-времени различных видов. [7]
В 1953 году Вольфганг Паули обобщил [8] теорию Калуцы -Клейна к шестимерному пространству и (используя размерную редукцию ) вывел основы SU(2) калибровочной теории (применённой в квантовой механике к электрослабому взаимодействию ), как если бы «скрученный» круг Клейна стал поверхность бесконечно малой гиперсферы .
В 1975 году Ежи Плебанский опубликовал «Некоторые решения комплексных уравнений Альберта Эйнштейна». [9]
Были попытки сформулировать уравнение Дирака в комплексном пространстве-времени путем аналитического продолжения . [10]
См. также
[ редактировать ]- Построение сложной нулевой тетрады
- Четырехвекторный
- Гильбертово пространство
- Твисторное пространство
- Сферическая основа
- Вектор Римана – Зильберштейна
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Траутман, А. (1962). «Дискуссия о современном состоянии теории относительности - аналитические решения лоренц-инвариантных линейных уравнений». Учеб. Р. Сок. А. 270 (1342): 326–328. Бибкод : 1962RSPSA.270..326T . дои : 10.1098/rspa.1962.0222 . S2CID 120301116 .
- ^ Ньюман, ET (1973). «Уравнения Максвелла и комплексное пространство Минковского». Дж. Математика. Физ . 14 (1). Американский институт физики: 102–103. Бибкод : 1973JMP....14..102N . дои : 10.1063/1.1666160 .
- ^ Пенроуз, Роджер (1967), «Твисторная алгебра» , Журнал математической физики , 8 (2): 345–366, Бибкод : 1967JMP.....8..345P , doi : 10.1063/1.1705200 , MR 0216828 , заархивировано из оригинал 12 января 2013 г. , получено 14 июня 2015 г.
- ^ Паис, Авраам (1982). Тонок Господь...: Наука и жизнь Альберта Эйнштейна . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 329–330.
- ^ Оскар Кляйн (1926). «Квантовая теория и пятимерная теория относительности». Журнал физики А. 37 (12): 895–906. Бибкод : 1926ZPhy...37..895K . дои : 10.1007/BF01397481 .
- ^ Сох, HP (1932). «Теория гравитации и электричества». Дж. Математика. Физ. (МИТ) . 12 (1–4): 298–305. дои : 10.1002/sapm1933121298 .
- ^ Эйнштейн, А. (1945), «Обобщение релятивистской теории гравитации», Ann. математики. , 46 (4): 578–584, номер документа : 10.2307/1969197 , JSTOR 1969197.
- ^ Н. Штрауманн (2000). «Об изобретении Паули неабелевой теории Калуцы – Клейна в 1953 году». arXiv : gr-qc/0012054 . Бибкод : 2000gr.qc....12054S .
{{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется|journal=( помощь ) - ^ Плебански, Дж. (1975). «Некоторые решения сложных уравнений Эйнштейна» . Журнал математической физики . 16 (12): 2395–2402. Бибкод : 1975JMP....16.2395P . дои : 10.1063/1.522505 . S2CID 122814301 .
- ^ Марк Дэвидсон (2012). «Исследование уравнения Лоренца-Дирака в сложном пространстве-времени в поисках ключей к новой квантовой механике» . Физический журнал: серия конференций . 361 (1): 012005. Бибкод : 2012JPhCS.361a2005D . дои : 10.1088/1742-6596/361/1/012005 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Гённер, Хуберт FM (2014). «К истории единых теорий поля Часть II (ок. 1930 — ок. 1965)» . Живые обзоры в теории относительности . 17 (5): 5. Бибкод : 2014LRR....17....5G . дои : 10.12942/lrr-2014-5 . ПМК 5255905 . ПМИД 28179849 .
- Кайзер, Джеральд (2009). «Квантовая физика, теория относительности и сложное пространство-время: на пути к новому синтезу». arXiv : 0910.0352 [ math-ph ].