Твисторное пространство

В математике и теоретической физике (особенно в твисторной теории ) твисторное пространство — это комплексное векторное пространство решений твисторного уравнения . $\nabla _{A'}^{(A}\Omega _{^{}}^{B)}=0$ . Его описали в 1960-х годах Роджер Пенроуз и Малкольм МакКаллум. ^[1] По словам Эндрю Ходжеса , твисторное пространство полезно для концептуализации того, как фотоны путешествуют в пространстве, используя четыре комплексных числа . Он также утверждает, что твисторное пространство может помочь в понимании асимметрии слабого ядерного взаимодействия . ^[2]

Неформальная мотивация

По (переведенным) словам Жака Адамара : «кратчайший путь между двумя истинами в реальной области проходит через комплексную область». Поэтому при изучении четырехмерного пространства $\mathbb {R} ^{4}$ было бы полезно идентифицировать его с $\mathbb {C} ^{2}.$ Однако, поскольку канонического способа сделать это не существует, вместо этого все изоморфизмы, рассматриваются касающиеся ориентации и метрики между ними. Оказывается, что комплексное проективное трехмерное пространство $\mathbb {CP} ^{3}$ параметризует такие изоморфизмы вместе с комплексными координатами. Таким образом, одна комплексная координата описывает идентификацию, а две другие описывают точку в $\mathbb {R} ^{4}$ . Оказывается, векторные расслоения с самодуальной связностью на $\mathbb {R} ^{4}$ ( инстантоны ) биективно соответствуют голоморфным векторным расслоениям на комплексном проективном 3-пространстве $\mathbb {CP} ^{3}$ .

Формальное определение

Для пространства Минковского обозначим $\mathbb {M}$ , решения твисторного уравнения имеют вид

\Omega ^{A}(x)=\omega ^{A}-ix^{AA'}\pi _{A'}

где $\omega ^{A}$ и $\pi _{A'}$ два постоянных спинора Вейля и $x^{AA'}=\sigma _{\mu }^{AA'}x^{\mu }$ — точка пространства Минковского. $\sigma _{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})$ являются матрицами Паули , причем $A,A^{\prime }=1,2$ индексы на матрицах. Это твисторное пространство представляет собой четырехмерное комплексное векторное пространство, точки которого обозначаются через $Z^{\alpha }=(\omega ^{A},\pi _{A'})$ , и с эрмитовой формой

\Sigma (Z)=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}

которая инвариантна относительно группы SU(2,2) , которая является четверным накрытием конформной группы C(1,3) компактифицированного пространства-времени Минковского.

Точки в пространстве Минковского связаны с подпространствами твисторного пространства соотношением инцидентности.

\omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.

Это отношение инцидентности сохраняется при общем изменении масштаба твистора, поэтому обычно мы работаем в проективном твисторном пространстве, обозначаемом $\mathbb {PT}$ , которое как комплексное многообразие изоморфно $\mathbb {CP} ^{3}$ .

Учитывая точку $x\in M$ оно связано с линией в проективном твисторном пространстве, где мы можем видеть, что отношение инцидентности дает линейное вложение $\mathbb {CP} ^{1}$ параметризованный $\pi _{A'}$ .

Геометрическое отношение между проективным твисторным пространством и комплексифицированным компактифицированным пространством Минковского такое же, как отношение между прямыми и двумя плоскостями в твисторном пространстве; точнее, твисторное пространство — это

\mathbb {T} :=\mathbb {C} ^{4}.

Ему было сопоставлено двойное расслоение многообразий флагов. $\mathbb {P} \xleftarrow {\mu } \mathbb {F} \xrightarrow {\nu } \mathbb {M}$ где $\mathbb {P}$ — проективное твисторное пространство

\mathbb {P} =F_{1}(\mathbb {T} )=\mathbb {CP} ^{3}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{4})

и $\mathbb {M}$ — компактифицированное комплексифицированное пространство Минковского

\mathbb {M} =F_{2}(\mathbb {T} )=\operatorname {Gr} _{2}(\mathbb {C} ^{4})=\operatorname {Gr} _{2,4}(\mathbb {C} )

и пространство корреспонденции между $\mathbb {P}$ и $\mathbb {M}$ является

\mathbb {F} =F_{1,2}(\mathbb {T} )

В приведенном выше $\mathbf {P}$ означает проективное пространство , $\operatorname {Gr}$ грассманиан и $F$ флагов многообразие . Двойное расслоение порождает два соответствия (см. также преобразование Пенроуза ), $c=\nu \circ \mu ^{-1}$ и $c^{-1}=\mu \circ \nu ^{-1}.$

Компактифицированное комплексифицированное пространство Минковского. $\mathbb {M}$ встроен в $\mathbf {P} _{5}\cong \mathbf {P} (\wedge ^{2}\mathbb {T} )$ по вложению Плюкера ; образ есть квадрика Клейна .

Ссылки

^ Пенроуз, Р.; МакКаллум, MAH (февраль 1973 г.). «Твисторная теория: подход к квантованию полей и пространства-времени» . Отчеты по физике . 6 (4): 241–315. дои : 10.1016/0370-1573(73)90008-2 .
^ Ходжес, Эндрю (2010). От одного до девяти: внутренняя жизнь чисел . Даблдей Канада. п. 142. ИСБН 978-0-385-67266-5 .

Уорд, РС; Уэллс, Р.О. (1991). Твисторная геометрия и теория поля . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42268-Х .
Хаггетт, ЮАР; Тод, КП (1994). Введение в твисторную теорию . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45689-0 .

[1] Пенроуз, Р.; МакКаллум, MAH (февраль 1973 г.). «Твисторная теория: подход к квантованию полей и пространства-времени» . Отчеты по физике . 6 (4): 241–315. дои : 10.1016/0370-1573(73)90008-2 .

[Hodges2010-2] Ходжес, Эндрю (2010). От одного до девяти: внутренняя жизнь чисел . Даблдей Канада. п. 142. ИСБН 978-0-385-67266-5 .

[1]

[2]