Преобразование Пенроуза

В теоретической физике , преобразование Пенроуза введенное Роджером Пенроузом ( 1967 , 1968 , 1969 ), является комплексным аналогом преобразования Радона , связывающим безмассовые поля в пространстве-времени, или, точнее, пространстве решений безмассовых уравнений поля , с пучковыми когомологиями. группы на комплексном проективном пространстве . Рассматриваемое проективное пространство — это твисторное пространство , геометрическое пространство, естественно связанное с исходным пространством-временем, а твисторное преобразование также является геометрически естественным в смысле интегральной геометрии . Преобразование Пенроуза является основным компонентом классической твисторной теории .

Обзор

Абстрактно, преобразование Пенроуза действует на двойном расслоении пространства Y над двумя пространствами X и Z.

$Z{\xleftarrow {\eta }}Y{\xrightarrow {\tau }}X.$

В классическом преобразовании Пенроуза Y — спиновое расслоение , X — компактифицированная и комплексифицированная форма пространства Минковского (которое как комплексное многообразие представляет собой $\mathbf {Gr} (2,4)$) и Z — твисторное пространство (которое $\mathbb {P} ^{3}$). В более общем смысле примеры происходят из двойных расслоений вида

$G/H_{1}{\xleftarrow {\eta }}G/(H_{1}\cap H_{2}){\xrightarrow {\tau }}G/H_{2}$

где G — комплексная полупростая группа Ли , а H ₁ и H ₂ — параболические подгруппы .

Преобразование Пенроуза работает в два этапа. Сначала удаляются пучковые группы когомологий H ^р ( Z , F ) к пучковым когомологиям H ^р ( Й , н ⁻¹ F ) на Y ; во многих случаях, когда представляет интерес преобразование Пенроуза, этот обратный образ оказывается изоморфизмом. Затем полученные классы когомологий сводятся к X ; исследуется т. е. прямой образ класса когомологий с помощью спектральной последовательности Лере . Полученное прямое изображение затем интерпретируется с точки зрения дифференциальных уравнений. В случае классического В результате преобразования Пенроуза полученные дифференциальные уравнения представляют собой в точности уравнения безмассового поля для данного спина.

Пример

Классический пример приводится следующим образом.

• «Твисторное пространство» Z — это комплексное проективное 3-пространство CP. ³ , который также является грассманианом Gr ₁ ( C ⁴ ) линий в 4-мерном комплексном пространстве.
• Х = Гр ₂ ( С ⁴ ), Грассманиан 2-плоскостей в 4-мерном комплексном пространстве. Это компактификация комплексного пространства Минковского.
• Y — многообразие флагов , элементы которого соответствуют прямой в плоскости C ⁴ .
• G — группа SL ₄ ( C ), а H ₁ и H ₂ — параболические подгруппы, фиксирующие прямую или плоскость, содержащую эту прямую.

Отображения Y в X и Z являются естественными проекциями.

Используя обозначение индекса спинора, преобразование Пенроуза дает биекцию между решениями спина $\pm n/2$ уравнение безмассового поля $$\partial _{A}\,^{A_{1}'}\phi _{A_{1}'A_{2}'\cdots A_{n}'}=0$$и первая группа когомологий пучка $H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(\pm n-2))$, где $\mathbb {P} ^{1}$ - сфера Римана , ${\mathcal {O}}(k)$ — обычные голоморфные линейные расслоения над проективным пространством, а рассматриваемые пучки пучки сечений — ${\mathcal {O}}(k)$.

Преобразование Пенроуза – Уорда

Преобразование Пенроуза -Уорда представляет собой нелинейную модификацию преобразования Пенроуза, введенного Уордом (1977) , которое (среди прочего) связывает голоморфные векторные расслоения в трехмерном комплексном проективном пространстве CP. ³ к решениям самодуальных уравнений Янга–Миллса на S ⁴ . Атья и Уорд (1977) использовали это для описания инстантонов в терминах алгебраических векторных расслоений на комплексном проективном 3-мерном пространстве, а Атья (1979) объяснил, как это можно использовать для классификации инстантонов на 4-сфере.

См. также

• Твистер переписка

Ссылки

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Уорд, Р.С. (1977), «Инстантоны и алгебраическая геометрия» , Communications in Mathematical Physics , 55 (2), Springer Berlin/Heidelberg: 117–124, Bibcode : 1977CMaPh..55..117A , doi : 10.1007/BF01626514 , ISSN   0010-3616 , МР   0494098
• Атья, Майкл Фрэнсис (1979), Геометрия полей Янга-Миллса , Lezioni Fermiane, Scuola Normale Superiore Pisa, Пиза, ISBN  978-88-7642-303-1 , МР   0554924
• Бастон, Роберт Дж.; Иствуд, Майкл Г. (1989), Преобразование Пенроуза , Оксфордские математические монографии, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853565-2 , МР   1038279 .
• Иствуд, Майкл (1993), «Введение в преобразование Пенроуза» , Иствуд, Майкл; Вольф, Джозеф; Зирау, Роджер (ред.), Преобразование Пенроуза и аналитические когомологии в теории представлений (Саут-Хедли, Массачусетс, 1992) , Contemp. Матем., вып. 154, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 71–75, ISBN.  978-0-8218-5176-0 , МР   1246377
• Иствуд, М.Г. (2001) [1994], «Преобразование Пенроуза» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Дэвид, Лиана (2001), Преобразование Пенроуза и его приложения (PDF) , Эдинбургский университет ; Докторская диссертация.
• Пенроуз, Роджер (1967), «Твисторная алгебра» , Журнал математической физики , 8 (2): 345–366, Бибкод : 1967JMP.....8..345P , doi : 10.1063/1.1705200 , ISSN   0022-2488 , MR   0216828 , заархивировано из оригинала 12 января 2013 г.
• Пенроуз, Роджер (1968), «Твисторное квантование и искривленное пространство-время», Международный журнал теоретической физики , 1 (1), Springer Нидерланды: 61–99, Бибкод : 1968IJTP....1...61P , doi : 10.1007/BF00668831 , ISSN   0020-7748
• Пенроуз, Роджер (1969), «Решения уравнений нулевой массы покоя» , Журнал математической физики , 10 (1): 38–39, Бибкод : 1969JMP....10...38P , doi : 10.1063/ 1.1664756 , ISSN   0022-2488 , заархивировано из оригинала 12 января 2013 г.
• Пенроуз, Роджер ; Риндлер, Вольфганг (1986), Спиноры и пространство-время. Том. 2 , Кембриджские монографии по математической физике, издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-25267-6 , МР   0838301 .
• Уорд, Р.С. (1977), «О самодуальных калибровочных полях», Physics Letters A , 61 (2): 81–82, Бибкод : 1977PhLA...61...81W , doi : 10.1016/0375-9601(77) )90842-8 , ISSN   0375-9601 , MR   0443823