Обозначение абстрактного индекса

Не путать с обозначением тензорного индекса .

Обозначение абстрактного индекса (также называемое обозначением индекса именования слотов) — это математическая запись тензоров и спиноров , в которой для обозначения их типов используются индексы, а не их компоненты в конкретном базисе. Индексы представляют собой всего лишь заполнители, не связанные с какой-либо основой и, в частности, нечисловые. Поэтому его не следует путать с исчислением Риччи . Обозначение было введено Роджером Пенроузом как способ использовать формальные аспекты соглашения Эйнштейна о суммировании, чтобы компенсировать сложность описания сокращений и ковариантного дифференцирования в современных абстрактных тензорных обозначениях, сохраняя при этом явную ковариацию задействованных выражений.

Позволять $V$ быть векторным пространством и $V^{*}$его двойственное пространство . Рассмотрим, например, ковариантный тензор второго порядка $h\in V^{*}\otimes V^{*}$. Затем $h$ можно отождествить с билинейной формой на $V$. Другими словами, это функция двух аргументов в $V$ который можно представить в виде пары слотов :

$h=h(-,-).$

Обозначение абстрактного индекса представляет собой просто маркировку слотов латинскими буквами, которые не имеют никакого значения, кроме их обозначения в качестве меток слотов (т. е. они не являются цифровыми):

$h=h_{ab}.$

Тензорное сжатие (или след) между двумя тензорами представляется повторением индексной метки, где одна метка является контравариантной ( верхний индекс соответствует множителю $V$) и одна метка ковариантна ( нижний индекс соответствует фактору $V^{*}$). Так, например,

$t_{ab}{}^{b}$

это след тензора $t=t_{ab}{}^{c}$над двумя последними слотами. Этот способ представления тензорных сокращений повторяющимися индексами формально подобен соглашению Эйнштейна о суммировании . Однако, поскольку индексы нечисловые, это не подразумевает суммирование: скорее, это соответствует абстрактной, независимой от базиса операции отслеживания (или естественному спариванию ) между тензорными факторами типа $V$ и те, что типа $V^{*}$.

Абстрактные индексы

Общий однородный тензор — это элемент тензорного произведения копий $V$ и $V^{*}$, такой как

$V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.$

Пометьте каждый фактор в этом тензорном произведении латинской буквой в верхнем положении для каждого контрварианта. $V$ фактора и в пониженном положении для каждого коварианта $V^{*}$позиция. Таким образом, запишите продукт как

$V^{a}V_{b}V_{c}V^{d}V_{e}$

или просто

$V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}.$

Последние два выражения обозначают тот же объект, что и первое. Тензоры этого типа обозначаются аналогичными обозначениями, например:

$h^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}\in V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}=V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.$

Сокращение

См. Также: Тензорное сокращение.

В общем, всякий раз, когда в тензорном произведении пространств встречаются один контравариантный и один ковариантный фактор, существует связанное с ним отображение сжатия (или следа ). Например,

$\mathrm {Tr} _{12}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V\otimes V^{*}$

— след в первых двух пространствах тензорного произведения.

$$\mathrm {Tr} _{15}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V^{*}\otimes V$$

это след на первом и последнем пробеле.

Эти операции трассировки обозначаются на тензорах повторением индекса. Таким образом, первая карта трасс имеет вид

$\mathrm {Tr} _{12}:h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{e}\mapsto h{}^{a}{}_{a}{}_{c}{}^{d}{}_{e}$

и второй по

$\mathrm {Tr} _{15}:h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{e}\mapsto h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{a}.$

Плетение

Любому тензорному произведению в одном векторном пространстве соответствуют карты переплетения . Например, карта переплетения

$\tau _{(12)}:V\otimes V\rightarrow V\otimes V$

меняет местами два тензорных множителя (так что его действие на простые тензоры определяется выражением $\tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v$). В общем, карты переплетения находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами симметрической группы , действующими путем перестановки тензорных факторов. Здесь мы используем $\tau _{\sigma }$ для обозначения карты переплетения, связанной с перестановкой $\sigma$ (представленный в виде произведения непересекающихся циклических перестановок ).

Карты переплетения важны в дифференциальной геометрии , например, для выражения тождества Бьянки . Вот пусть $R$ обозначаем тензор Римана , рассматриваемый как тензор в $V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V$. Тогда первое тождество Бьянки утверждает, что

$R+\tau _{(123)}R+\tau _{(132)}R=0.$

Абстрактная индексная нотация обрабатывает плетение следующим образом. На конкретном тензорном произведении фиксирован порядок абстрактных индексов (обычно это лексикографический порядок ). Затем коса представляется в обозначениях путем перестановки меток индексов. Так, например, с тензором Римана

$R=R_{abc}{}^{d}\in V_{abc}{}^{d}=V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V,$

личность Бьянки становится

$R_{abc}{}^{d}+R_{cab}{}^{d}+R_{bca}{}^{d}=0.$

Антисимметризация и симметризация

Общий тензор может быть антисимметризованным или симметризованным, и существуют соответствующие обозначения.

Продемонстрируем обозначения на примере. Антисимметризуем тензор типа (0,3) $\omega _{abc}$, где $\mathrm {S} _{3}$ — симметрическая группа из трех элементов.

$\omega _{[abc]}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}(-1)^{{\text{sgn}}(\sigma )}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}$

Аналогично мы можем симметризировать:

$\omega _{(abc)}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}$

См. также

• Графические обозначения Пенроуза
• Обозначение Эйнштейна
• Обозначение индекса
• Тензор
• Антисимметричный тензор
• Повышение и понижение индексов
• Ковариантность и контравариантность векторов