Second order tensor in vector algebra
В математике , особенно в полилинейной алгебре , диадический или диадический тензор второго порядка — это тензор , записанный в обозначениях, соответствующих векторной алгебре. [ необходимо уточнение .
Существует множество способов умножить два евклидовых вектора . Скалярное произведение принимает два вектора и возвращает скаляр , а векторное произведение [а] псевдовектор . Оба они имеют различные важные геометрические интерпретации и широко используются в математике, физике и технике . Диадическое произведение принимает два вектора и возвращает тензор второго порядка, называемый диадическим в этом контексте . Диадическое число может использоваться для хранения физической или геометрической информации, хотя в целом не существует прямого способа его геометрической интерпретации.
Диадическое произведение является дистрибутивным по отношению к сложению векторов и ассоциативным по отношению к скалярному умножению . Следовательно, диадическое произведение линейно по обоим операндам. В общем, две диады можно добавить, чтобы получить еще одну диаду, и умножить на числа, чтобы масштабировать диаду. Однако произведение не коммутативно ; изменение порядка векторов приводит к получению другой диады.
Формализм диадической алгебры является расширением векторной алгебры, включающим диадическое произведение векторов. Диадическое произведение также ассоциативно со скалярным и перекрестным произведением с другими векторами, что позволяет объединять скалярное, перекрестное и диадическое произведение для получения других скаляров, векторов или диад.
Он также имеет некоторые аспекты матричной алгебры , поскольку числовые компоненты векторов могут быть организованы в векторы-строки и столбцы , а компоненты тензоров второго порядка - в квадратные матрицы . Кроме того, точечные, перекрестные и диадические произведения могут быть выражены в матричной форме. Диадические выражения могут очень напоминать матричные эквиваленты.
Скалярное произведение диадного числа на вектор дает другой вектор, а скалярное произведение этого результата дает скаляр, полученный из диадического числа. Эффект, который данная диада оказывает на другие векторы, может дать косвенную физическую или геометрическую интерпретацию.
Диадическая нотация была впервые установлена Джозайей Уиллардом Гиббсом в 1884 году. Сегодня эти обозначения и терминология относительно устарели. Его использование в физике включает механику сплошных сред и электромагнетизм .
В этой статье переменные, выделенные жирным шрифтом в верхнем регистре, обозначают диады (включая диады), тогда как переменные, выделенные жирным шрифтом в нижнем регистре, обозначают векторы. Альтернативное обозначение использует соответственно двойную и одинарную верхнюю или нижнюю черту.
Определения и терминология [ править ] и тензорные произведения Диадические , внешние Диада второго — это тензор и второго порядка первого ранга , а также диадное произведение двух векторов ( комплексных векторов в целом ), тогда как диада — это общий тензор порядка . (который может быть полного ранга или нет)
Для этого продукта существует несколько эквивалентных терминов и обозначений:
диадное произведение двух векторов
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
a
b
{\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} }
внешнее произведение векторов-столбцов
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
a
⊗
b
{\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} }
a
b
T
{\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}}
T
{\displaystyle {\mathsf {T}}}
транспонировать ,
тензорное произведение
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
a
⊗
b
{\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} }
В диадическом контексте все они имеют одно и то же определение и значение и используются как синонимы, хотя тензорное произведение является примером более общего и абстрактного использования этого термина.
Трехмерное евклидово пространство [ править ] Чтобы проиллюстрировать эквивалентное использование, рассмотрим трехмерное евклидово пространство , полагая:
a
=
a
1
i
+
a
2
j
+
a
3
k
b
=
b
1
i
+
b
2
j
+
b
3
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}}
— два вектора, где , j , k ( обозначаемые e1 i , e2 (см . , e3 также ) — стандартные базисные векторы в этом векторном пространстве также декартовы координаты ). Тогда двоичное произведение a и b можно представить в виде суммы:
a
b
=
a
1
b
1
i
i
+
a
1
b
2
i
j
+
a
1
b
3
i
k
+
a
2
b
1
j
i
+
a
2
b
2
j
j
+
a
2
b
3
j
k
+
a
3
b
1
k
i
+
a
3
b
2
k
j
+
a
3
b
3
k
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ab} =\qquad &a_{1}b_{1}\mathbf {ii} +a_{1}b_{2}\mathbf {ij} +a_{1}b_{3}\mathbf {ik} \\{}+{}&a_{2}b_{1}\mathbf {ji} +a_{2}b_{2}\mathbf {jj} +a_{2}b_{3}\mathbf {jk} \\{}+{}&a_{3}b_{1}\mathbf {ki} +a_{3}b_{2}\mathbf {kj} +a_{3}b_{3}\mathbf {kk} \end{aligned}}}
или, как расширение векторов-строок и столбцов, матрица 3×3 (также результат внешнего произведения или тензорного произведения a и b ):
a
b
≡
a
⊗
b
≡
a
b
T
=
(
a
1
a
2
a
3
)
(
b
1
b
2
b
3
)
=
(
a
1
b
1
a
1
b
2
a
1
b
3
a
2
b
1
a
2
b
2
a
2
b
3
a
3
b
1
a
3
b
2
a
3
b
3
)
.
{\displaystyle \mathbf {ab} \equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}.}
Диада скалярных — это компонент диады ( моном суммы или, что то же самое, элемент матрицы) — диадное произведение пары базисных векторов , умноженных на число.
Точно так же, как стандартные базисные (и единичные) векторы i , j , k имеют представления:
i
=
(
1
0
0
)
,
j
=
(
0
1
0
)
,
k
=
(
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {j} &={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {k} &={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
(которые можно транспонировать), стандартные базисные (и единичные) диады имеют представление:
i
i
=
(
1
0
0
0
0
0
0
0
0
)
,
i
j
=
(
0
1
0
0
0
0
0
0
0
)
,
i
k
=
(
0
0
1
0
0
0
0
0
0
)
j
i
=
(
0
0
0
1
0
0
0
0
0
)
,
j
j
=
(
0
0
0
0
1
0
0
0
0
)
,
j
k
=
(
0
0
0
0
0
1
0
0
0
)
k
i
=
(
0
0
0
0
0
0
1
0
0
)
,
k
j
=
(
0
0
0
0
0
0
0
1
0
)
,
k
k
=
(
0
0
0
0
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ii} &={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ij} &={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ik} &={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ji} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ki} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
Для простого числового примера в стандартном базисе:
A
=
2
i
j
+
3
2
j
i
−
8
π
j
k
+
2
2
3
k
k
=
2
(
0
1
0
0
0
0
0
0
0
)
+
3
2
(
0
0
0
1
0
0
0
0
0
)
−
8
π
(
0
0
0
0
0
1
0
0
0
)
+
2
2
3
(
0
0
0
0
0
0
0
0
1
)
=
(
0
2
0
3
2
0
−
8
π
0
0
2
2
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\[2pt]&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt]&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
N -мерное евклидово пространство [ править ] Если евклидово пространство N - мерно и
a
=
∑
i
=
1
N
a
i
e
i
=
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
…
+
a
N
e
N
b
=
∑
j
=
1
N
b
j
e
j
=
b
1
e
1
+
b
2
e
2
+
…
+
b
N
e
N
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\mathbf {e} _{i}=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+{\ldots }+a_{N}\mathbf {e} _{N}\\\mathbf {b} &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}\mathbf {e} _{j}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +b_{N}\mathbf {e} _{N}\end{aligned}}}
где e i e j стандартные базисные векторы в N - измерениях (индекс i в ei a i ) , тогда в алгебраической форме их двоичное произведение равно:
a
b
=
∑
j
=
1
N
∑
i
=
1
N
a
i
b
j
e
i
e
j
.
{\displaystyle \mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}.}
Это известно как неионная форма диад. Их внешнее/тензорное произведение в матричной форме равно:
a
b
=
a
b
T
=
(
a
1
a
2
⋮
a
N
)
(
b
1
b
2
⋯
b
N
)
=
(
a
1
b
1
a
1
b
2
⋯
a
1
b
N
a
2
b
1
a
2
b
2
⋯
a
2
b
N
⋮
⋮
⋱
⋮
a
N
b
1
a
N
b
2
⋯
a
N
b
N
)
.
{\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}.}
Диадический многочлен A , также известный как диадический, формируется из нескольких векторов a i b j
A
=
∑
i
a
i
b
i
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
+
…
{\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} _{1}+\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} _{2}+\mathbf {a} _{3}\mathbf {b} _{3}+\ldots }
Диада, которую нельзя свести к сумме менее N диад, называется полной. В этом случае образующие векторы некомпланарны, [ сомнительно обсудить см. Чен (1983) .
Классификация [ править ] В следующей таблице классифицируются диадики:
Определитель
Адъюгат
Матрица и ее ранг
Нуль
= 0
= 0
= 0; ранг 0: все нули
Линейный
= 0
= 0
≠ 0; ранг 1: хотя бы один ненулевой элемент и все субопределители 2 × 2 ноль (одинарный двоичный)
Планарный
= 0
≠ 0 (одинарный диадический)
≠ 0; ранг 2: хотя бы один ненулевой субопределитель 2 × 2
Полный
≠ 0
≠ 0
≠ 0; ранг 3: ненулевой определитель
Следующие тождества являются прямым следствием определения тензорного произведения: [1]
Совместимо со скалярным умножением :
(
α
a
)
b
=
a
(
α
b
)
=
α
(
a
b
)
{\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\mathbf {b} =\mathbf {a} (\alpha \mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} \mathbf {b} )}
α
{\displaystyle \alpha }
Дистрибутивное сложение по векторам :
a
(
b
+
c
)
=
a
b
+
a
c
(
a
+
b
)
c
=
a
c
+
b
c
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {c} \\(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} &=\mathbf {a} \mathbf {c} +\mathbf {b} \mathbf {c} \end{aligned}}}
Диадическая алгебра [ править ] Произведение диадического и векторного [ править ] Существует четыре операции, определенные над вектором, и диадические операции, построенные из произведений, определенных над векторами.
Левый
Верно
Скалярное произведение
c
⋅
(
a
b
)
=
(
c
⋅
a
)
b
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)=\left(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \right)\mathbf {b} }
(
a
b
)
⋅
c
=
a
(
b
⋅
c
)
{\displaystyle \left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)}
Перекрестное произведение
c
×
(
a
b
)
=
(
c
×
a
)
b
{\displaystyle \mathbf {c} \times \left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {c} \times \mathbf {a} \right)\mathbf {b} }
(
a
b
)
×
c
=
a
(
b
×
c
)
{\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right)\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)}
Продукт диадного и диадического [ править ] Есть пять операций между диадами и другими диадами. Пусть a , b , c , d — вещественные векторы. Затем:
Точка
Крест
Точка
Скалярное произведение
(
a
b
)
⋅
(
c
d
)
=
a
(
b
⋅
c
)
d
=
(
b
⋅
c
)
a
d
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)\cdot \left(\mathbf {c} \mathbf {d} \right)&=\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {a} \mathbf {d} \end{aligned}}}
Двойное произведение
(
a
b
)
⋅
⋅
(
c
d
)
=
c
⋅
(
a
b
)
⋅
d
=
(
a
⋅
c
)
(
b
⋅
d
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {ab} \right){}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {cd} \right)&=\mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {ab} \right)\cdot \mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} \right)\end{aligned}}}
и
a
b
⋅
⋅
_
c
d
=
(
a
⋅
d
)
(
b
⋅
c
)
{\displaystyle \mathbf {ab} {\underline {{}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }}}\mathbf {cd} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)}
Скалярно-перекрестное произведение
(
a
b
)
⋅
×
(
c
d
)
=
(
a
⋅
c
)
(
b
×
d
)
{\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right){}_{\,\centerdot }^{\times }\left(\mathbf {c} \mathbf {d} \right)=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {d} \right)}
Крест
Перекрестное произведение
(
a
b
)
×
⋅
(
c
d
)
=
(
a
×
c
)
(
b
⋅
d
)
{\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {cd} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} \right)}
Двойное перекрестное произведение
(
a
b
)
×
×
(
c
d
)
=
(
a
×
c
)
(
b
×
d
)
{\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {cd} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {d} \right)}
Сдача в аренду
A
=
∑
i
a
i
b
i
,
B
=
∑
j
c
j
d
j
{\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i},\quad \mathbf {B} =\sum _{j}\mathbf {c} _{j}\mathbf {d} _{j}}
Если быть двумя общими диадиками, мы имеем:
Точка
Крест
Точка
Скалярное произведение
A
⋅
B
=
∑
i
,
j
(
b
i
⋅
c
j
)
a
i
d
j
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\mathbf {a} _{i}\mathbf {d} _{j}}
Двойное точечное произведение
A
⋅
⋅
B
=
∑
i
,
j
(
a
i
⋅
c
j
)
(
b
i
⋅
d
j
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {B} &=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)\end{aligned}}}
и
A
⋅
⋅
_
B
=
∑
i
,
j
(
a
i
⋅
d
j
)
(
b
i
⋅
c
j
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} {\underline {{}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }}}\mathbf {B} &=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\end{aligned}}}
Скалярно-перекрестное произведение
A
⋅
×
B
=
∑
i
,
j
(
a
i
⋅
c
j
)
(
b
i
×
d
j
)
{\displaystyle \mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)}
Крест
Перекрестное произведение
A
×
⋅
B
=
∑
i
,
j
(
a
i
×
c
j
)
(
b
i
⋅
d
j
)
{\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\,\centerdot }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)}
Двойное перекрестное произведение
A
×
×
B
=
∑
i
,
j
(
a
i
×
c
j
)
(
b
i
×
d
j
)
{\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)}
Двойное произведение [ править ] Первое определение двойного точечного произведения — это внутренний продукт Фробениуса ,
tr
(
A
B
T
)
=
∑
i
,
j
tr
(
a
i
b
i
T
d
j
c
j
T
)
=
∑
i
,
j
tr
(
c
j
T
a
i
b
i
T
d
j
)
=
∑
i
,
j
(
a
i
⋅
c
j
)
(
b
i
⋅
d
j
)
=
A
⋅
⋅
B
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\right)\\&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\right)\\&=\sum _{i,j}(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j})(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j})\\&=\mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} \end{aligned}}}
Кроме того, поскольку,
A
T
=
∑
i
,
j
(
a
i
b
j
T
)
T
=
∑
i
,
j
b
i
a
j
T
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}&=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{j}^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\\&=\sum _{i,j}\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}
мы понимаем это,
A
⋅
⋅
B
=
A
⋅
⋅
_
B
T
{\displaystyle \mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} =\mathbf {A} {\underline {{}_{\centerdot }^{\centerdot }}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}}
таким образом, второе возможное определение двойного произведения — это просто первое с дополнительной транспозицией во второй диаде. По этим причинам первое определение двойного произведения предпочтительнее, хотя некоторые авторы до сих пор используют второе.
Двойное произведение [ править ] Мы видим, что для любой диады, образованной из двух векторов a и b , ее двойное векторное произведение равно нулю.
(
a
b
)
×
×
(
a
b
)
=
(
a
×
a
)
(
b
×
b
)
=
0
{\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {a} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {b} \right)=0}
Однако по определению диадическое произведение двойного скрещивания само по себе обычно будет ненулевым. Например, диадический А , состоящий из шести разных векторов
A
=
∑
i
=
1
3
a
i
b
i
{\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}}
имеет ненулевое двойное произведение
A
×
×
A
=
2
[
(
a
1
×
a
2
)
(
b
1
×
b
2
)
+
(
a
2
×
a
3
)
(
b
2
×
b
3
)
+
(
a
3
×
a
1
)
(
b
3
×
b
1
)
]
{\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1}\right)\right]}
Тензорное сокращение [ править ] возникает результате в Фактор шпоры или расширения формального расширения диадического числа в координатном базисе путем замены каждого двоичного произведения скалярным произведением векторов:
|
A
|
=
A
11
i
⋅
i
+
A
12
i
⋅
j
+
A
13
i
⋅
k
+
A
21
j
⋅
i
+
A
22
j
⋅
j
+
A
23
j
⋅
k
+
A
31
k
⋅
i
+
A
32
k
⋅
j
+
A
33
k
⋅
k
=
A
11
+
A
22
+
A
33
{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |=\qquad &A_{11}\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \cdot \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \cdot \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}\end{aligned}}}
в индексной записи это сокращение индексов на диадическом:
|
A
|
=
∑
i
A
i
i
{\displaystyle |\mathbf {A} |=\sum _{i}A_{i}{}^{i}}
Только в трех измерениях коэффициент вращения возникает путем замены каждого двоичного произведения перекрестным произведением.
⟨
A
⟩
=
A
11
i
×
i
+
A
12
i
×
j
+
A
13
i
×
k
+
A
21
j
×
i
+
A
22
j
×
j
+
A
23
j
×
k
+
A
31
k
×
i
+
A
32
k
×
j
+
A
33
k
×
k
=
A
12
k
−
A
13
j
−
A
21
k
+
A
23
i
+
A
31
j
−
A
32
i
=
(
A
23
−
A
32
)
i
+
(
A
31
−
A
13
)
j
+
(
A
12
−
A
21
)
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle =\qquad &A_{11}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{12}\mathbf {k} -A_{13}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\{}+{}&A_{23}\mathbf {i} +A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\[6pt]=\qquad &\left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf {i} +\left(A_{31}-A_{13}\right)\mathbf {j} +\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf {k} \\\end{aligned}}}
В индексных обозначениях это сокращение A с помощью тензора Леви-Чивита.
⟨
A
⟩
=
∑
j
k
ϵ
i
j
k
A
j
k
.
{\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{jk}{\epsilon _{i}}^{jk}A_{jk}.}
Диадическая единица [ править ] Существует единичная диада, обозначаемая I , такая, что для любого вектора a ,
I
⋅
a
=
a
⋅
I
=
a
{\displaystyle \mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} =\mathbf {a} }
Учитывая базис из трех векторов a , b и c , с обратным базисом
a
^
,
b
^
,
c
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }},{\hat {\mathbf {b} }},{\hat {\mathbf {c} }}}
I
=
a
a
^
+
b
b
^
+
c
c
^
{\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {a} {\hat {\mathbf {a} }}+\mathbf {b} {\hat {\mathbf {b} }}+\mathbf {c} {\hat {\mathbf {c} }}}
В стандартном базисе (определения i, j, k » выше см. в разделе «Трехмерное_евклидово_пространство ),
I
=
i
i
+
j
j
+
k
k
{\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {ii} +\mathbf {jj} +\mathbf {kk} }
Явно скалярное произведение справа от диадической единицы равно
I
⋅
a
=
(
i
i
+
j
j
+
k
k
)
⋅
a
=
i
(
i
⋅
a
)
+
j
(
j
⋅
a
)
+
k
(
k
⋅
a
)
=
i
a
x
+
j
a
y
+
k
a
z
=
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} &=(\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\cdot \mathbf {a} \\&=\mathbf {i} (\mathbf {i} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {j} (\mathbf {j} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {k} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} )\\&=\mathbf {i} a_{x}+\mathbf {j} a_{y}+\mathbf {k} a_{z}\\&=\mathbf {a} \end{aligned}}}
и влево
a
⋅
I
=
a
⋅
(
i
i
+
j
j
+
k
k
)
=
(
a
⋅
i
)
i
+
(
a
⋅
j
)
j
+
(
a
⋅
k
)
k
=
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
=
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} &=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {i} )\mathbf {i} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {j} )\mathbf {j} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k} \\&=a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} \\&=\mathbf {a} \end{aligned}}}
Соответствующая матрица
I
=
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
{\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}
Это можно обосновать более тщательно (объясняя, что может означать логическое содержание «сопоставляющих обозначений»), используя язык тензорных произведений. Если V — конечномерное векторное пространство , двоичный тензор на V — это элементарный тензор в тензорном произведении V с его двойственным пространством .
Тензорное произведение V и его двойственного пространства изоморфно пространству линейных отображений из V в V : двоичный тензор vf — это просто линейное отображение, переводящее любой w в V в f ( w ) v . Когда V является евклидовым n- пространством, мы можем использовать скалярное произведение для идентификации двойственного пространства с самим V , превращая диадический тензор в элементарное тензорное произведение двух векторов в евклидовом пространстве.
В этом смысле единичная диада ij — это функция из 3-пространства в себя, отправляющая a 1 i + a 2 j + a 3 k в a 2 i , а jj отправляет эту сумму в a 2 j . Теперь выясняется, в каком (точном) смысле ii + jj + kk является тождеством: оно отправляет 1 по i + a 2 j + a 3 k самому себе, поскольку его эффект заключается в суммировании каждого единичного вектора в стандартном базисе, масштабированном коэффициент вектора в этом базисе.
Свойства диадик единиц [ править ]
(
a
×
I
)
⋅
(
b
×
I
)
=
b
a
−
(
a
⋅
b
)
I
I
×
⋅
(
a
b
)
=
b
×
a
I
×
×
A
=
(
A
⋅
⋅
I
)
I
−
A
T
I
⋅
⋅
(
a
b
)
=
(
I
⋅
a
)
⋅
b
=
a
⋅
b
=
t
r
(
a
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {I} \right)\cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {I} \right)&=\mathbf {ba} -\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\mathbf {I} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\mathbf {b} \times \mathbf {a} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} &=(\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {I} )\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\\\mathbf {I} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\left(\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {ab} \right)\end{aligned}}}
где «tr» обозначает след .
проекция отклонение Векторная и Ненулевой вектор a всегда можно разбить на два перпендикулярных компонента: один параллелен (‖) направлению единичного вектора n , а другой перпендикулярен (⊥) ему;
a
=
a
∥
+
a
⊥
{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }}
Параллельный компонент находится с помощью векторной проекции , которая эквивалентна скалярному произведению a с диадическим nn ,
a
∥
=
n
(
n
⋅
a
)
=
(
n
n
)
⋅
a
{\displaystyle \mathbf {a} _{\parallel }=\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a} }
и перпендикулярный компонент находится из отклонения вектора , что эквивалентно скалярному произведению a с диадическим I - nn
a
⊥
=
a
−
n
(
n
⋅
a
)
=
(
I
−
n
n
)
⋅
a
{\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }=\mathbf {a} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {I} -\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a} }
Двоичное вращение [ править ] 2D вращения [ править ] Диадический
J
=
j
i
−
i
j
=
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {ji} -\mathbf {ij} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}
на 90° против часовой стрелки — оператор поворота в 2d. Слева можно поставить точку над вектором r = x i + y j, чтобы получить вектор:
(
j
i
−
i
j
)
⋅
(
x
i
+
y
j
)
=
x
j
i
⋅
i
−
x
i
j
⋅
i
+
y
j
i
⋅
j
−
y
i
j
⋅
j
=
−
y
i
+
x
j
,
{\displaystyle (\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,}
В итоге
J
⋅
r
=
r
r
o
t
{\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\mathrm {rot} }}
или в матричной записи
(
0
−
1
1
0
)
(
x
y
)
=
(
−
y
x
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.}
Для любого угла θ диада 2d вращения для вращения против часовой стрелки в плоскости равна
R
=
I
cos
θ
+
J
sin
θ
=
(
i
i
+
j
j
)
cos
θ
+
(
j
i
−
i
j
)
sin
θ
=
(
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
)
{\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta =(\mathbf {ii} +\mathbf {jj} )\cos \theta +(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}}
где I и J такие же, как указано выше, а вращение любого двумерного вектора a = a x i + a y j равно
a
r
o
t
=
R
⋅
a
{\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} }
3d rotations [ edit ] Общее трехмерное вращение вектора a вокруг оси в направлении единичного вектора ω и против часовой стрелки на угол θ можно выполнить с использованием формулы вращения Родригеса в двоичной форме.
a
r
o
t
=
R
⋅
a
,
{\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} \,,}
где диада вращения
R
=
I
cos
θ
+
Ω
sin
θ
+
ω
ω
(
1
−
cos
θ
)
,
{\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +{\boldsymbol {\Omega }}\sin \theta +{\boldsymbol {\omega \omega }}(1-\cos \theta )\,,}
и декартовы элементы ω также образуют элементы диадического
Ω
=
ω
x
(
k
j
−
j
k
)
+
ω
y
(
i
k
−
k
i
)
+
ω
z
(
j
i
−
i
j
)
,
{\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\omega _{x}(\mathbf {kj} -\mathbf {jk} )+\omega _{y}(\mathbf {ik} -\mathbf {ki} )+\omega _{z}(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\,,}
Влияние Ω на a является векторным произведением
Ω
⋅
a
=
ω
×
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} }
которая представляет собой двоичную форму матрицы векторного произведения с вектором-столбцом.
Преобразование Лоренца [ править ] В специальной теории относительности со усиление Лоренца скоростью v в направлении единичного вектора n можно выразить как
t
′
=
γ
(
t
−
v
n
⋅
r
c
2
)
{\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)}
r
′
=
[
I
+
(
γ
−
1
)
n
n
]
⋅
r
−
γ
v
n
t
{\displaystyle \mathbf {r} '=[\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {nn} ]\cdot \mathbf {r} -\gamma v\mathbf {n} t}
где
γ
=
1
1
−
v
2
c
2
{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
является фактором Лоренца .
Связанные термины [ править ] Некоторые авторы обобщают термин «диадический» на родственные термины «триадический» , «тетрадический» и «полиадический» . [2]
Примечания [ править ] Пояснительные примечания [ править ]
^ Взаимное произведение существует только в ориентированных трехмерных и семимерных пространствах внутреннего продукта и имеет хорошие свойства только в трехмерных пространствах внутреннего продукта. Соответствующее внешнее произведение существует для всех векторных пространств.
П. Митигай (2009). «Векторы и диадики» (PDF) . Стэнфорд , США. Шпигель, MR; Липшуц, С.; Спеллман, Д. (2009). Векторный анализ, очертания Шаума . МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7 AJM Спенсер (1992). Механика сплошной среды . Дуврские публикации. ISBN 0-486-43594-6 Морс, Филип М.; Фешбах, Герман (1953), «§1.6: Диадики и другие векторные операторы», Методы теоретической физики, Том 1 , Нью-Йорк: McGraw-Hill , стр. 54–92, ISBN 978-0-07-043316-8 МР 0059774 Исмо В. Линделл (1996). Методы анализа электромагнитного поля . Уайли-Блэквелл. ISBN 978-0-7803-6039-6 Холлис К. Чен (1983). Теория электромагнитных волн – бескоординатный подход . МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-010688-8 К. Кэхилл (2013). Физическая математика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107005211 Внешние ссылки [ править ]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk } +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\[2pt]&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} }+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\ \0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt] &={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\at \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}} \end{pmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004e10c7876a31cff93419b2d7711a762379f08f)
![{\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _ {2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf { a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e3124661942d3e4aeac239dd80a5fde39d766d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |=\qquad &A_{11}\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} +A_{12} \mathbf {i} \cdot \mathbf { j} +A_{13}\mathbf {i} \cdot \mathbf {k}&A_{21}\mathbf {j} \cdot \mathbf {i} +A_{22}\mathbf { j}\cdot\mathbf{ j} +A_{23}\mathbf{j}\cdot\mathbf{k}\{}+{}&A_{31}\mathbf{k}\cdot\mathbf{i}+ A_{32}\mathbf {k } \cdot \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\[6pt]=\quad &A_{11}+A_{22} +A_{33}\end{ выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f5453a39750ad2240a5ef1cb4259f2cf5f4907)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle =\qquad &A_{11}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12} \mathbf {i} \times \ mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\ mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i } +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{12}\mathbf { k} -A_{13}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\{}+{}&A_{23}\mathbf {i} +A_{31}\mathbf {j} -A_ {32}\mathbf {i} \\[6pt]=\qquad &\left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf {i} +\left(A_{31}-A_{13} \right)\mathbf {j} +\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf {k} \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd209c1d383ed8a3009424fdf877bcec006f9fad)
![{\displaystyle\mathbf{r}'=[\mathbf{I}+(\gamma-1)\mathbf{nn}]\cdot\mathbf{r}-\gamma v\mathbf{n}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7530f1fd9a93b9f35538c12c2086c93a15684b2d)
