Тензор (внутреннее определение)

В математике современный бескомпонентный подход к теории тензора рассматривает тензор как абстрактный объект , выражающий некоторый тип полилинейного понятия. Их свойства могут быть получены из их определений, как линейные карты или в более общем смысле; а правила манипуляции тензорами возникают как расширение линейной алгебры до полилинейной алгебры .

В дифференциальной геометрии внутренняя ^{[ необходимо определение ]} геометрическое утверждение может быть описано тензорным полем на многообразии , и тогда вообще не требуется ссылка на координаты. То же самое верно и в общей теории относительности для тензорных полей, описывающих физические свойства . Бескомпонентный подход также широко используется в абстрактной алгебре и гомологической алгебре , где тензоры возникают естественным образом.

Примечание. В этой статье предполагается понимание тензорного произведения векторных пространств без выбранных базисов . Обзор темы можно найти в основной статье о тензоре .

Определение через тензорные произведения векторных пространств

Учитывая конечное множество { V ₁ , ..., V _n } векторных пространств над общим полем F , можно сформировать их тензорное произведение V ₁ ⊗ ... ⊗ V _n , элемент которого называется тензором .

Тензор в векторном пространстве V затем определяется как элемент (т. е. вектор в) векторного пространства формы:

V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}

где В ^∗ является пространством V . двойственным

Если имеется m копий V и n копий V ^∗ В нашем продукте говорят, что тензор имеет тип ( m , n ) и контравариант порядка m и ковариант порядка n и общего порядка m + n . Тензоры нулевого порядка — это просто скаляры (элементы поля F ), контравариантного порядка 1 — векторы из V , а ковариантного порядка 1 — одноформы из V. ^∗ (по этой причине элементы двух последних пространств часто называют контравариантными и ковариантными векторами). Пространство всех тензоров типа ( m , n ) обозначается

T_{n}^{m}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{m}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{n}.

Пример 1. Пространство тензоров типа (1, 1) , $T_{1}^{1}(V)=V\otimes V^{*},$ образом изоморфно V пространству линейных преобразований из V в естественным .

Пример 2. Билинейная форма на вещественном векторном пространстве V , $V\times V\to F,$ естественным образом соответствует тензору типа (0, 2) в $T_{2}^{0}(V)=V^{*}\otimes V^{*}.$ Примером такой билинейной формы можно определить: ^{[ нужны разъяснения ]} называется ассоциированным метрическим тензором и обычно обозначается g .

Тензорный ранг

Простой тензор (также называемый тензором первого ранга, элементарным тензором или разложимым тензором ( Hackbusch 2012 , стр. 4)) — это тензор, который можно записать как произведение тензоров вида

T=a\otimes b\otimes \cdots \otimes d

где a , b , ..., d ненулевые и в V или V ^∗ – то есть, если тензор ненулевой и полностью факторизуемый . Любой тензор можно представить как сумму простых тензоров. Ранг тензора T — это минимальное количество простых тензоров, сумма которых равна T ( Бурбаки 1989 , II, §7, № 8).

Нулевой тензор имеет нулевой ранг. Тензор ненулевого порядка 0 или 1 всегда имеет ранг 1. Ранг тензора ненулевого порядка 2 или выше меньше или равен произведению размерностей всех векторов, кроме наивысших размерностей в (сумме произведений ), которому может быть выражен тензор, то есть d ^{п -1} когда каждое произведение состоит из n векторов из конечномерного векторного пространства размерности d .

Термин «ранг тензора» расширяет понятие ранга матрицы в линейной алгебре, хотя этот термин также часто используется для обозначения порядка (или степени) тензора. Ранг матрицы — это минимальное количество векторов-столбцов, необходимое для охвата диапазона матрицы . Таким образом, матрица имеет ранг один, если ее можно записать как внешнее произведение двух ненулевых векторов:

A=vw^{\mathrm {T} }.

Ранг матрицы A — это наименьшее количество таких внешних произведений, которые можно суммировать для ее получения:

A=v_{1}w_{1}^{\mathrm {T} }+\cdots +v_{k}w_{k}^{\mathrm {T} }.

В индексах тензор ранга 1 — это тензор вида

T_{ij\dots }^{k\ell \dots }=a_{i}b_{j}\cdots c^{k}d^{\ell }\cdots .

Ранг тензора второго порядка согласуется с рангом, когда тензор рассматривается как матрица ( Halmos 1974 , §51), и может быть определен, методом исключения Гаусса например, . Однако ранг тензора порядка 3 или выше часто очень трудно определить, и разложение тензоров низкого ранга иногда представляет большой практический интерес ( de Groote 1987 ). Фактически, задача нахождения ранга тензора порядка 3 над любым конечным полем является NP-полной , а над рациональными числами — NP-трудной . ^[1] Вычислительные задачи, такие как эффективное умножение матриц и эффективное вычисление полиномов, можно преобразовать в задачу одновременного вычисления набора билинейных форм.

z_{k}=\sum _{ij}T_{ijk}x_{i}y_{j}

для данных входов x _i и y _j . разложение тензора T Если известно эффективная стратегия оценки низкого ранга, то известна ( Knuth 1998 , стр. 506–508).

Универсальная собственность

Пространство $T_{n}^{m}(V)$ может быть охарактеризовано универсальным свойством в терминах полилинейных отображений . Среди преимуществ этого подхода то, что он позволяет показать, что многие линейные отображения являются «естественными» или «геометрическими» (другими словами, не зависят от выбора базиса). Явная вычислительная информация затем может быть записана с использованием базисов, и этот порядок приоритетов может быть более удобным, чем доказательство того, что формула порождает естественное отображение. Другой аспект заключается в том, что тензорные произведения используются не только для свободных модулей , и «универсальный» подход легче переносится на более общие ситуации.

Скалярнозначная функция на декартовом произведении (или прямой сумме ) векторных пространств.

f:V_{1}\times \cdots \times V_{N}\to F

является полилинейным, если оно линейно по каждому аргументу. Пространство всех полилинейных отображений из V ₁ × ... × V _N в W обозначается L ^Н( В ₁ , ..., В _Н ; Вт ). Когда N = 1, полилинейное отображение — это просто обычное линейное отображение, а пространство всех линейных отображений из V в W обозначается L ( V ; W ) .

Универсальная характеристика тензорного произведения означает, что для каждой полилинейной функции

f\in L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};W)

(где $W$ может представлять поле скаляров, векторное пространство или тензорное пространство) существует единственная линейная функция

T_{f}\in L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};W)

такой, что

f(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m},v_{1},\ldots ,v_{n})=T_{f}(\alpha _{1}\otimes \cdots \otimes \alpha _{m}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})

для всех $v_{i}\in V$ и $\alpha _{i}\in V^{*}.$

Используя универсальное свойство, отсюда следует, что, когда V конечномерно , пространство ( m , n )-тензоров допускает естественный изоморфизм

T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};F)\cong L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};F).

Каждому V в определении тензора соответствует V ^* внутри аргумента линейных отображений, и наоборот. (Обратите внимание, что в первом случае существует m копий V и n копий V. ^*, а во втором случае наоборот). В частности, имеется

{\begin{aligned}T_{0}^{1}(V)&\cong L(V^{*};F)\cong V,\\T_{1}^{0}(V)&\cong L(V;F)=V^{*},\\T_{1}^{1}(V)&\cong L(V;V).\end{aligned}}

Тензорные поля

Дифференциальная геометрия , физика и техника часто сталкиваются с тензорными полями на гладких многообразиях . Термин «тензор» иногда используется как сокращение от «тензорное поле» . Тензорное поле выражает концепцию тензора, который меняется от точки к точке многообразия.

Ссылки

^ Хостад, Йохан (15 ноября 1989 г.). «Тензорный ранг NP-полный» . Журнал алгоритмов . 11 : 644–654.

Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1985), Основы механики (2-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-40840-6 .
Бурбаки, Николя (1989), Элементы математики, Алгебра I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9 .
де Гроот, HF (1987), Лекции по сложности билинейных задач , Конспекты лекций по информатике, том. 245, Спрингер, ISBN 3-540-17205-Х .
Халмош, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Springer, ISBN 0-387-90093-4 .
Дживанджи, Надир (2011), «Введение в тензоры и теорию групп для физиков» , Physics Today , 65 (4): 64, Bibcode : 2012PhT....65d..64P , doi : 10.1063/PT.3.1523 , ISBN 978-0-8176-4714-8
Кнут, Дональд Э. (1998) [1969], Искусство компьютерного программирования, том. 2 (3-е изд.), стр. 145–146, ISBN. 978-0-201-89684-8 .
Хакбуш, Вольфганг (2012), Тензорные пространства и численное тензорное исчисление , Springer, стр. 4, ISBN 978-3-642-28027-6 .

[1] Хостад, Йохан (15 ноября 1989 г.). «Тензорный ранг NP-полный» . Журнал алгоритмов . 11 : 644–654.

[1]