Псевдосенсор

В физике и математике псевдотензор , сохраняющем обычно представляет собой величину, которая преобразуется подобно тензору ориентацию при преобразовании координат (например , при правильном вращении ), но дополнительно меняет знак при преобразовании координат, изменяющем ориентацию (например, при неправильном вращении ), которое преобразование, которое можно выразить как правильное вращение с последующим отражением . Это обобщение псевдовектора . Чтобы оценить знак тензора или псевдотензора, его необходимо сжать с некоторыми векторами, равными его рангу , принадлежащими пространству, в котором производится вращение, сохраняя при этом координаты тензора незатронутыми (в отличие от того, что делается в случае изменение базы). При неправильном вращении псевдотензор и собственный тензор одного и того же ранга будут иметь разный знак, который зависит от того, четный или нечетный ранг . Иногда инверсия осей используется как пример неправильного вращения, чтобы увидеть поведение псевдотензора, но это работает только в том случае, если размеры векторного пространства нечетны, в противном случае инверсия представляет собой правильное вращение без дополнительного отражения.

Существует второе значение псевдотензора (а также псевдовектора ), ограниченное общей теорией относительности . Тензоры подчиняются строгим законам преобразования, но псевдотензоры в этом смысле не так ограничены. Следовательно, форма псевдотензора, вообще говоря, будет меняться при системы отсчета изменении . Уравнение, содержащее псевдотензоры, которое выполняется в одной системе отсчета, не обязательно будет выполняться в другой системе отсчета. Это делает псевдотензоры ограниченными, поскольку уравнения, в которых они появляются, не инвариантны по форме.

Определение

Два совершенно разных математических объекта в разных контекстах называются псевдотензорами.

Первый контекст по существу представляет собой тензор, умноженный на дополнительный знаковый коэффициент, так что псевдотензор меняет знак при отражениях, в то время как нормальный тензор этого не делает. Согласно одному определению, псевдотензор P типа $(p,q)$ — геометрический объект, компоненты которого в произвольном базисе нумеруются $(p+q)$индексы и подчиняются правилу преобразования

$${\hat {P}}_{\,j_{1}\ldots j_{p}}^{i_{1}\ldots i_{q}}=(-1)^{A}A^{i_{1}}{}_{k_{1}}\cdots A^{i_{q}}{}_{k_{q}}B^{l_{1}}{}_{j_{1}}\cdots B^{l_{p}}{}_{j_{p}}P_{l_{1}\ldots l_{p}}^{k_{1}\ldots k_{q}}$$

при смене основания.

Здесь ${\hat {P}}_{\,j_{1}\ldots j_{p}}^{i_{1}\ldots i_{q}},P_{l_{1}\ldots l_{p}}^{k_{1}\ldots k_{q}}$ – компоненты псевдотензора в новой и старой базисах соответственно $A^{i_{q}}{}_{k_{q}}$ – матрица перехода для контравариантных индексов, $B^{l_{p}}{}_{j_{p}}$ – матрица перехода для ковариантных индексов, а $(-1)^{A}=\mathrm {sign} \left(\det \left(A^{i_{q}}{}_{k_{q}}\right)\right)=\pm {1}.$ Это правило преобразования отличается от правила для обычного тензора только наличием множителя $(-1)^{A}.$

Второй контекст, в котором используется слово «псевдотензор», — это общая теория относительности . В этой теории нельзя описать энергию и импульс гравитационного поля тензором энергии-импульса. Вместо этого вводятся объекты, которые ведут себя как тензоры только в отношении ограниченных преобразований координат. Строго говоря, такие объекты вообще не являются тензорами. Известным примером такого псевдотензора является псевдотензор Ландау–Лифшица .

Примеры

На неориентируемых многообразиях нельзя определить форму объема глобально из-за неориентируемости, но можно определить элемент объема , который формально является плотностью и может также называться формой псевдообъема из-за дополнительного знака твист (тензоризация с помощью расслоения знаков). Элемент объема представляет собой псевдотензорную плотность согласно первому определению.

Замену переменных при многомерном интегрировании можно осуществить за счет введения множителя абсолютного значения определителя матрицы Якобиана . Использование абсолютного значения приводит к изменению знака для неправильных преобразований координат, чтобы компенсировать соглашение о сохранении положительного элемента интегрирования (объема); по существу, подынтегральная функция является примером псевдотензорной плотности согласно первому определению.

Символы Кристоффеля аффинной связности на многообразии можно рассматривать как корректирующие члены частных производных координатного выражения векторного поля по координатам, чтобы сделать его ковариантной производной векторного поля. Хотя сама аффинная связность не зависит от выбора координат, ее символы Кристоффеля зависят, что делает их псевдотензорной величиной согласно второму определению.

См. также

• Действие (физика) – Физическая величина измерения энергии × время.
• Закон сохранения - научный закон сохранения физической собственности. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Общая теория относительности - Теория гравитации как искривленного пространства-времени
• Тензор - алгебраический объект с геометрическими приложениями.
• Тензорная плотность - обобщение тензорных полей
• Тензорное поле - назначение тензора, постоянно меняющегося в математическом пространстве.
• Теорема Нётер - Утверждение, связывающее дифференцируемые симметрии с сохраняющимися величинами.
• Псевдовектор - физическая величина, меняющая знак при неправильном вращении.
• Вариационный принцип - научные принципы, позволяющие использовать вариационное исчисление.

Внешние ссылки

• Описание Mathworld для псевдотензора .