Тензорный оператор

«Оператор сферического тензора» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о близкой концепции, см. сферический базис .

В чистой и прикладной математике , квантовой механике и компьютерной графике тензорный оператор обобщает понятие операторов , которые являются скалярами и векторами . Особый класс из них — сферические тензорные операторы , применяющие понятия сферического базиса и сферических гармоник . Сферический базис тесно связан с описанием углового момента в квантовой механике и сферических гармонических функций. Бескоординатное обобщение тензорного оператора известно как оператор представления .

Общее понятие скалярных, векторных и тензорных операторов

В квантовой механике физические наблюдаемые, являющиеся скалярами, векторами и тензорами, должны быть представлены скалярными, векторными и тензорными операторами соответственно. Является ли что-либо скаляром, вектором или тензором, зависит от того, как оно рассматривается двумя наблюдателями, чьи системы координат связаны друг с другом вращением. В качестве альтернативы можно задаться вопросом, как для одного наблюдателя преобразуется физическая величина, если состояние системы меняется. Рассмотрим, например, систему, состоящую из молекулы массы $M$, путешествуя с определенным импульсом центра масс, $p{\mathbf {\hat {z}} }$, в $z$направление. Если мы повернём систему на $90^{\circ }$ о $y$ оси, импульс изменится на $p{\mathbf {\hat {x}} }$, который находится в $x$направление. Однако кинетическая энергия центра масс молекулы не изменится при $p^{2}/2M$. Кинетическая энергия является скаляром, а импульс — вектором, и эти две величины должны быть представлены скалярным и векторным операторами соответственно. Под последним, в частности, мы подразумеваем оператор, ожидаемые значения которого в начальном и повернутом состояниях равны $p{\mathbf {\hat {z}} }$ и $p{\mathbf {\hat {x}} }$. С другой стороны, кинетическая энергия должна быть представлена ​​скалярным оператором, ожидаемое значение которого должно быть одинаковым в начальном и повернутом состояниях.

Точно так же тензорные величины должны быть представлены тензорными операторами. Примером тензорной величины (второго ранга) является электрический квадрупольный момент указанной выше молекулы. Аналогично, октупольный и гексадекапольный моменты будут тензорами третьего и четвертого ранга соответственно.

Другими примерами скалярных операторов являются оператор полной энергии (чаще называемый гамильтонианом ), потенциальная энергия и энергия диполь-дипольного взаимодействия двух атомов. Примерами векторных операторов являются импульс, положение, орбитальный угловой момент, ${\mathbf {L} }$, а спиновый угловой момент ${\mathbf {S} }$. (Мелкий шрифт: угловой момент является вектором с точки зрения вращения, но в отличие от положения или импульса он не меняет знак при инверсии пространства, и когда кто-то хочет предоставить эту информацию, его называют псевдовектором.)

Скалярные, векторные и тензорные операторы также могут быть образованы произведениями операторов. Например, скалярное произведение ${\mathbf {L} }\cdot {\mathbf {S} }$ из двух векторных операторов, ${\mathbf {L} }$ и ${\mathbf {S} }$, является скалярным оператором, который занимает видное место в обсуждениях спин-орбитального взаимодействия . Аналогично, тензор квадрупольного момента молекулы в нашем примере имеет девять компонентов

$$Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }\left(3r_{\alpha ,i}r_{\alpha ,j}-r_{\alpha }^{2}\delta _{ij}\right).$$

Здесь индексы $i$ и $j$ может независимо принимать значения 1, 2 и 3 (или $x$, $y$, и $z$), соответствующие трем декартовым осям, индекс $\alpha$ пробегает все частицы (электроны и ядра) в молекуле, $q_{\alpha }$ это заряд частицы $\alpha$, и $r_{\alpha ,i}$ это $i$-я компонента положения этой частицы. Каждое слагаемое суммы является тензорным оператором. В частности, девять продуктов $r_{\alpha ,i}r_{\alpha ,j}$ вместе образуют тензор второго ранга, образованный путем взятия внешнего произведения векторного оператора ${\mathbf {r} }_{\alpha }$ с самим собой.

Вращения

Оператор квантового вращения

Оператор вращения вокруг единичного вектора n (определяющего ось вращения) на угол θ равен

$$U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right)$$

где J = ( J _x , J _y , J _z ) — генераторы вращения (также матрицы углового момента):

$$J_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&i&0\\-i&0&i\\0&-i&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$$

и разреши ${\widehat {R}}={\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})$быть матрицей вращения . Согласно формуле вращения Родригеса , оператор вращения тогда равен

$$U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=1\!\!1-{\frac {i\sin \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} -{\frac {1-\cos \theta }{\hbar ^{2}}}({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )^{2}.$$

Оператор ${\widehat {\Omega }}$ инвариантен относительно унитарного преобразования U , если

$${\widehat {\Omega }}={U}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U;$$

в данном случае для вращения ${\widehat {U}}(R)$,

$${\widehat {\Omega }}={U(R)}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U(R)=\exp \left({\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right){\widehat {\Omega }}\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right).$$

Свойства углового момента

Ортонормированный базисный набор для полного углового момента: $|j,m\rangle$, где j — квантовое число полного углового момента, а m — квантовое число магнитного углового момента, которое принимает значения — j , — j + 1, ..., j — 1, j . Общее состояние в j подпространстве

$$|\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}|j,m\rangle$$

переходит в новое состояние:

$$|{\bar {\psi }}\rangle =U(R)|\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}U(R)|j,m\rangle$$

Используя условие полноты :

$$I=\sum _{m'}|j,m'\rangle \langle j,m'|$$

у нас есть

$$|{\bar {\psi }}\rangle =IU(R)|\psi \rangle =\sum _{mm'}c_{jm}|j,m'\rangle \langle j,m'|U(R)|j,m\rangle$$

Представляем элементы матрицы Вигнера D :

$${D(R)}_{m'm}^{(j)}=\langle j,m'|U(R)|j,m\rangle$$

дает умножение матрицы:

$$|{\bar {\psi }}\rangle =\sum _{mm'}c_{jm}D_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle \quad \Rightarrow \quad |{\bar {\psi }}\rangle =D^{(j)}|\psi \rangle$$

Для одного базисного набора:

$$|{\overline {j,m}}\rangle =\sum _{m'}{D(R)}_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle$$

В случае орбитального углового момента собственные состояния $|\ell ,m\rangle$ оператора орбитального углового момента L и решения уравнения Лапласа на трехмерной сфере являются сферическими гармониками :

$$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=\langle \theta ,\phi |\ell ,m\rangle ={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }$$

где Р _ℓ ^м – ассоциированный полином Лежандра , ℓ – квантовое число орбитального углового момента, а m – орбитальное магнитное квантовое число , которое принимает значения −ℓ, −ℓ + 1, ... ℓ − 1, ℓ. Формализм сферических гармоник имеет широкий приложения в прикладной математике и тесно связаны с формализмом сферических тензоров, как показано ниже.

Сферические гармоники являются функциями полярного и азимутального углов φ и θ соответственно, которые можно удобно собрать в единичный вектор n ( θ , φ ), указывающий в направлении этих углов, в декартовом базисе это:

$${\hat {\mathbf {n} }}(\theta ,\phi )=\cos \phi \sin \theta \mathbf {e} _{x}+\sin \phi \sin \theta \mathbf {e} _{y}+\cos \theta \mathbf {e} _{z}$$

Поэтому сферическую гармонику также можно записать $Y_{\ell }^{m}=\langle \mathbf {n} |\ell m\rangle$. Сферические гармонические состояния $|m,\ell \rangle$ вращаться в соответствии с обратной матрицей вращения $U(R^{-1})$, пока $|\ell ,m\rangle$ вращается на исходную матрицу вращения ${\widehat {U}}(R)$.

$$|{\overline {\ell ,m}}\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(\ell )}[U(R^{-1})]|\ell ,m'\rangle \,,\quad |{\overline {\hat {\mathbf {n} }}}\rangle =U(R)|{\hat {\mathbf {n} }}\rangle$$

Вращение тензорных операторов

Мы определяем вращение оператора, требуя, чтобы математическое ожидание исходного оператора ${\widehat {\mathbf {A} }}$ относительно начального состояния быть равным математическому ожиданию повернутого оператора относительно повернутого состояния,

$$\langle \psi '|{\widehat {A'}}|\psi '\rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle$$

Теперь, как

$$|\psi \rangle ~\rightarrow ~|\psi '\rangle =U(R)|\psi \rangle \,,\quad \langle \psi |~\rightarrow ~\langle \psi '|=\langle \psi |U^{\dagger }(R)$$

у нас есть,

$$\langle \psi |U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)|\psi \rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle$$

с, $|\psi \rangle$ является произвольным,

$$U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)={\widehat {A}}$$

Скалярные операторы

Скалярный оператор инвариантен относительно вращений:

$$U(R)^{\dagger }{\widehat {S}}U(R)={\widehat {S}}$$

Это эквивалентно тому, что скалярный оператор коммутирует с генераторами вращения:

$$\left[{\widehat {S}},{\widehat {\mathbf {J} }}\right]=0$$

Примеры скалярных операторов включают в себя

• энергетический оператор :
  $${\widehat {E}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi$$
• потенциальная энергия V (только в случае центрального потенциала)
  $${\widehat {V}}(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=V(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)$$
• кинетическая энергия Т :
  $${\widehat {T}}\psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\nabla ^{2}\psi )(\mathbf {r} ,t)$$
• спин -орбитальная связь :
  $${\widehat {\mathbf {L} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}={\widehat {L}}_{x}{\widehat {S}}_{x}+{\widehat {L}}_{y}{\widehat {S}}_{y}+{\widehat {L}}_{z}{\widehat {S}}_{z}\,.$$

Векторные операторы

Векторные операторы (а также псевдовекторные операторы) представляют собой набор из трех операторов, которые можно вращать согласно:

$${U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{i}U(R)=\sum _{j}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}$$

Любая наблюдаемая векторная величина квантовомеханической системы должна быть инвариантной относительно выбора системы отсчета. Преобразование вектора среднего значения, применимое к любой волновой функции, обеспечивает указанное выше равенство. В обозначениях Дирака:

$$\langle {\bar {\psi }}|{\widehat {V}}_{a}|{\bar {\psi }}\rangle =\langle \psi |{U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)|\psi \rangle =\sum _{b}R_{ab}\langle \psi |{\widehat {V}}_{b}|\psi \rangle$$

где правая шкала обусловлена ​​преобразованием вращения, действующим на вектор, образованный средними значениями. Поскольку | Ψ ⟩ — любое квантовое состояние, отсюда следует тот же результат:

$${U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)=\sum _{b}R_{ab}{\widehat {V}}_{b}$$

Обратите внимание, что здесь термин «вектор» используется в двух разных значениях: кеты, такие как | ψ ⟩ являются элементами абстрактных гильбертовых пространств, а векторный оператор определяется как величина, компоненты которой определенным образом преобразуются при вращениях.

Из приведенного выше соотношения для бесконечно малых вращений и леммы Бейкера Хаусдорфа , приравнивая коэффициенты порядка $\delta \theta$, можно вывести коммутационное соотношение с генератором вращения:

$${\left[{\widehat {V}}_{a},{\widehat {J}}_{b}\right]=\sum _{c}i\hbar \varepsilon _{abc}{\widehat {V}}_{c}}$$

где εijk _, — символ Леви-Чивита которому по построению должны удовлетворять все векторные операторы. Приведенное выше правило коммутатора также можно использовать в качестве альтернативного определения векторных операторов, что можно показать с помощью леммы Бейкера Хаусдорфа . Поскольку символ ε _ijk является псевдотензором , псевдовекторные операторы инвариантны с точностью до знака: +1 для правильных вращений и −1 для неправильных вращений .

Поскольку можно показать, что операторы образуют векторный оператор посредством своего коммутационного соотношения с компонентами углового момента (которые являются генераторами вращения), его примеры включают:

• позиции оператор :
  $${\widehat {\mathbf {r} }}\psi =\mathbf {r} \psi$$
• импульса оператор :
  $${\widehat {\mathbf {p} }}\psi =-i\hbar \nabla \psi$$

и операторы пеусодовектора включают

• оператор орбитального углового момента :
  $${\widehat {\mathbf {L} }}\psi =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla \psi$$
• а также оператор спина S и, следовательно, полный угловой момент
  $${\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}\,.$$

Скалярные операторы из векторных операторов

Если ${\vec {V}}$ и ${\vec {W}}$ являются двумя векторными операторами, скалярное произведение между двумя векторными операторами можно определить как:

${\vec {V}}\cdot {\vec {W}}=\sum _{i=1}^{3}{\hat {V_{i}}}{\hat {W_{i}}}$

При вращении координат вновь определенный оператор преобразуется как:

$${U(R)}^{\dagger }({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})U(R)={U(R)}^{\dagger }\left(\sum _{i=1}^{3}{\hat {V_{i}}}{\hat {W_{i}}}\right)U(R)=\sum _{i=1}^{3}({U(R)}^{\dagger }{\hat {V}}_{i}U(R))({U(R)}^{\dagger }{\hat {W}}_{i}U(R))=\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{j=1}^{3}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}\cdot \sum _{k=1}^{3}R_{ik}{\widehat {W}}_{k}\right)$$

Перестановка терминов и использование транспонирования матрицы вращения в качестве ее обратного свойства:

$${U(R)}^{\dagger }({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})U(R)=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\left(\sum _{i=1}^{3}R_{ji}^{T}R_{ik}\right){\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{k}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\delta _{j,k}{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{k}=\sum _{i=1}^{3}{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{i}$$

Где RHS ${\vec {V}}\cdot {\vec {W}}$изначально определенный оператор. Поскольку определенное скалярное произведение инвариантно относительно преобразования вращения, его называют скалярным оператором.

Операторы сферических векторов

Векторным оператором в сферическом базисе является V = ( V ₊₁ , V ₀ , V ₋₁ ) , где компоненты:

$$V_{+1}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}+iV_{y})\,\quad V_{-1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}-iV_{y})\,,\quad V_{0}=V_{z}\,,$$

с использованием ${\textstyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}\,,}$ различные коммутаторы с генераторами вращения и лестничными операторами:

$${\begin{aligned}\left[J_{z},V_{+1}\right]&=+\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{z},V_{0}\right]&=0V_{0}\\[1ex]\left[J_{z},V_{-1}\right]&=-\hbar V_{-1}\\[2ex]\left[J_{+},V_{+1}\right]&=0\\[1ex]\left[J_{+},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{+},V_{-1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[2ex]\left[J_{-},V_{+1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[1ex]\left[J_{-},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{-1}\\[1ex]\left[J_{-},V_{-1}\right]&=0\\[1ex]\end{aligned}}$$

которые имеют сходную форму

$${\begin{aligned}J_{z}|1,+1\rangle &=+\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{z}|1,0\rangle &=0|1,0\rangle \\[1ex]J_{z}|1,-1\rangle &=-\hbar |1,-1\rangle \\[2ex]J_{+}|1,+1\rangle &=0\\[1ex]J_{+}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{+}|1,-1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[2ex]J_{-}|1,+1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[1ex]J_{-}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,-1\rangle \\[1ex]J_{-}|1,-1\rangle &=0\\[1ex]\end{aligned}}$$

В сферическом основании генераторами вращения являются:

$$J_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}J_{\pm }\,,\quad J_{0}=J_{z}$$

Из преобразования операторов и леммы Бейкера Хаусдорфа :

${U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)={\widehat {V}}_{q}+i{\frac {\theta }{\hbar }}\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},{\widehat {V}}_{q}\right]+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(i{\frac {\theta }{\hbar }}[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},.]\right)^{k}}{k!}}{\widehat {V}}_{q}=exp\left({i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot Ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {V}}_{q}$

по сравнению с

$U(R)|j,k\rangle =|j,k\rangle -i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}|j,k\rangle +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}\right)^{k}}{k!}}|j,k\rangle =exp\left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle$

можно утверждать, что коммутатор с оператором заменяет действие оператора на состояние при преобразованиях операторов по сравнению с действием состояний:

$U(R)|j,k\rangle =\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{j',k'}|j',k'\rangle \langle j',k'|\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{k'}D_{k'k}^{(j)}(R)|j,k'\rangle$

Тогда преобразование вращения в сферическом базисе (первоначально записанном в декартовом базисе) происходит из-за сходства коммутации и оператора, показанного выше:

$${U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)=\sum _{q'}{{D_{q'q}^{(1)}}(R^{-1})}{\widehat {V}}_{q'}$$

оператора можно Понятие векторного легко обобщить на тензорные операторы , показанные ниже.

Тензорные операторы

В общем, тензорный оператор — это оператор, который преобразует согласно тензору:

$$U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }^{abc\cdots }U(R)=R_{p,\alpha }R_{q,\beta }R_{r,\gamma }\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }^{\alpha \beta \gamma \cdots }R_{i,a}^{-1}R_{j,b}^{-1}R_{k,c}^{-1}\cdots$$

где базис преобразуется $R^{-1}$ или компоненты вектора преобразуются посредством $R$.

В последующем обсуждении тензорных операторов индексные обозначения, касающиеся ковариантного/контравариантного поведения, полностью игнорируются. Вместо этого контравариантные компоненты подразумеваются контекстом. Следовательно, для n-кратного контравариантного тензора:

$$U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }U(R)=R_{pi}R_{qj}R_{rk}\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }$$

Примеры тензорных операторов

• Оператор квадрупольного момента ,
  $$Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }(3r_{\alpha i}r_{\alpha j}-r_{\alpha }^{2}\delta _{ij})$$
• Компоненты двух тензорных векторных операторов можно умножить, чтобы получить другой тензорный оператор.
  $$T_{ij}=V_{i}W_{j}$$
  В общем случае n тензорных операторов также даст еще один тензорный оператор
  $$T_{pqr\cdots k}=V_{p}^{(1)}V_{q}^{(2)}V_{r}^{3)}\cdots V_{k}^{(n)}$$
  или,
  $$T_{i_{1}i_{2}\cdots j_{1}j_{2}\cdots }=V_{i_{1}i_{2}\cdots }W_{j_{1}j_{2}\cdots }$$

Примечание. Как правило, тензорный оператор не может быть записан как тензорное произведение других тензорных операторов, как показано в приведенном выше примере.

Тензорный оператор из векторных операторов

Если ${\vec {V}}$ и ${\vec {W}}$ являются двумя трехмерными векторными операторами, то декартовы диадические тензоры ранга 2 могут быть сформированы из девяти операторов вида ${\hat {T}}_{ij}={\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}}$,

$${U(R)}^{\dagger }{\hat {T}}_{ij}U(R)={U(R)}^{\dagger }({\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}})U(R)=({U(R)}^{\dagger }{\hat {V}}_{i}U(R))({U(R)}^{\dagger }{\hat {W}}_{j}U(R))=\left(\sum _{l=1}^{3}R_{il}{\hat {V}}_{l}\cdot \sum _{k=1}^{3}R_{jk}{\hat {W}}_{k}\right)$$

Переставив слагаемые, получим:

$${U(R)}^{\dagger }{\hat {T}}_{ij}U(R)=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}\left(R_{il}R_{jk}{\hat {T}}_{lk}\right)$$

Правая часть уравнения представляет собой замену базисного уравнения для дважды контравариантных тензоров, где базис преобразуется формулой $R^{-1}$ или компоненты вектора преобразуются посредством $R$что соответствует преобразованию компонентов векторного оператора. Следовательно, описанный операторный тензор образует тензор ранга 2 в тензорном представлении:

$${\hat {\mathbf {T} }}={\vec {V}}\otimes {\vec {W}}=({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j})(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j})$$

Аналогично, n-кратный контравариантный тензорный оператор может быть сформирован аналогичным образом с помощью n векторных операторов.

Заметим, что подпространство, натянутое линейными комбинациями компонент тензора второго ранга, образует инвариантное подпространство, т.е. подпространство не меняется при вращении, поскольку преобразованные компоненты сами по себе представляют собой линейную комбинацию компонентов тензора. Однако это подпространство не является неприводимым, т.е. его можно дополнительно разделить на инвариантные подпространства при вращении. В противном случае подпространство называется приводимым. Другими словами, существуют определенные наборы различных линейных комбинаций компонентов, которые при вращении превращаются в линейную комбинацию того же набора. В приведенном выше примере мы покажем, что 9 независимых компонентов тензора можно разделить на набор из 1, 3 и 5 комбинаций операторов, каждый из которых образует неприводимые инвариантные подпространства.

Неприводимые тензорные операторы

Подпространство, охватываемое $\{{\hat {T}}_{ij}\}$можно разделить два подпространства; три независимых антисимметричных компонента $\{{\hat {A}}_{ij}\}$ и шесть независимых симметричных компонентов $\{{\hat {S}}_{ij}\}$, определяется как ${\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})$ и ${\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})$. Используя $\{{\hat {T}}_{ij}\}$ преобразование по формуле вращения, можно показать, что оба $\{{\hat {A}}_{ij}\}$ и $\{{\hat {S}}_{ij}\}$преобразуются в линейную комбинацию членов своих множеств. Хотя $\{{\hat {A}}_{ij}\}$ неприводимо, то же самое нельзя сказать о $\{{\hat {S}}_{ij}\}$.

Набор из шести независимых симметричных компонентов можно разделить на пять независимых бесследовых симметричных компонентов, а инвариантный след может быть отдельным подпространством.

Следовательно, инвариантные подпространства $\{{\hat {T}}_{ij}\}$ образуются соответственно:

1. Один инвариантный след тензора, ${\hat {t}}=\sum _{k=1}^{3}{\hat {T}}_{kk}$
2. Три линейно независимых антисимметричных компонента из: ${\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})$
3. Пять линейно независимых бесследовых симметричных компонентов из ${\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})-{\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}$

Если ${\hat {T}}_{ij}={\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}}$, инвариантные подпространства $\{{\hat {T}}_{ij}\}$ сформированные представлены:

1. Один инвариантный скалярный оператор ${\vec {V}}\cdot {\vec {W}}$
2. Три линейно независимых компонента из ${\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})$
3. Пять линейно независимых компонентов из ${\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}$

Из приведенных выше примеров девять компонентов $\{{\hat {T}}_{ij}\}$разбиты на подпространства, образованные одним, тремя и пятью компонентами. Эти числа суммируются с количеством компонентов исходного тензора аналогично размерности векторных подпространств, добавляющей размерность пространства, которая является прямой суммой этих подпространств. Аналогично, каждый элемент $\{{\hat {T}}_{ij}\}$ может быть выражено через линейную комбинацию компонент из ее инвариантных подпространств:

${\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}+{\hat {A}}_{ij}+{\hat {S}}_{ij}$

или

${\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})\right)+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}\right)=\mathbf {T} ^{(0)}+\mathbf {T} ^{(1)}+\mathbf {T} ^{(2)}$

где:

$${\widehat {T}}_{ij}^{(0)}={\frac {{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}}{3}}\delta _{ij}$$

$${\widehat {T}}_{ij}^{(1)}={\frac {1}{2}}\left[{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}-{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right]={\widehat {V}}_{[i}{\widehat {W}}_{j]}$$

$${\widehat {T}}_{ij}^{(2)}={\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}+{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right)-{\tfrac {1}{3}}{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}\delta _{ij}={\widehat {V}}_{(i}{\widehat {W}}_{j)}-T_{ij}^{(0)}$$

В общем случае декартовы тензоры ранга больше 1 приводимы. В квантовой механике этот конкретный пример имеет сходство с добавлением двух частиц со спином один, где обе являются трехмерными, следовательно, общее пространство, являющееся девятимерным, может быть образовано системами со спином 0, спином 1 и спином 2, каждая из которых имеет одномерную, трехмерную системы. мерное и пятимерное пространство соответственно. Эти три члена неприводимы, что означает, что их нельзя разложить дальше, и они по-прежнему остаются тензорами, удовлетворяющими определяющим законам преобразования, согласно которым они должны быть инвариантными. Каждое из неприводимых представлений T ⁽⁰⁾ , Т ⁽¹⁾ , Т ⁽²⁾ ... преобразуются как собственные состояния углового момента в зависимости от количества независимых компонентов.

Возможно, что у данного тензора одна или несколько из этих компонент исчезают. Например, тензор квадрупольного момента уже симметричен и бесследен и, следовательно, изначально имеет только 5 независимых компонент.

Сферические

См. Также: теорема Вигнера – Эккарта.

Сферические тензорные операторы обычно определяются как операторы со следующим правилом преобразования при вращении системы координат:

${\widehat {T}}_{m}^{(j)}\rightarrow U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R^{-1}){\widehat {T}}_{m'}^{(j)}$

Коммутационные отношения можно найти, разложив левую и правую части как:

$U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right){\widehat {T}}_{m}^{(j)}\left(1-{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)=\sum _{m'}\langle j,m'|\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)|j,m\rangle {\widehat {T}}_{m'}^{(j)}$

Упрощая и применяя ограничения для выбора только членов первого порядка, мы получаем:

${[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}]=\sum _{m'}{\widehat {T}}_{m'}^{(j)}\langle j,m'|{\vec {J}}\cdot {\hat {n}}|j,m\rangle$

Для выбора ${\hat {n}}={\hat {x}}\pm i{\hat {y}}$ или ${\hat {n}}={\hat {z}}$, мы получаем:

$${\begin{aligned}\left[J_{\pm },{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}{\widehat {T}}_{m\pm 1}^{(j)}\\[1ex]\left[J_{z},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar m{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\end{aligned}}$$

Обратите внимание на сходство вышеизложенного с:

$${\begin{aligned}J_{\pm }|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}|j,m\pm 1\rangle \\[1ex]J_{z}|j,m\rangle &=\hbar m|j,m\rangle \end{aligned}}$$

С $J_{x}$ и $J_{y}$ представляют собой линейные комбинации $J_{\pm }$, они имеют одинаковое сходство из-за линейности.

Если справедливы только коммутационные соотношения, используя следующее соотношение: $|j,m\rangle \rightarrow U(R)|j,m\rangle =exp\left(-{i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,m\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R)|j,m'\rangle$

мы находим из-за сходства действий $J$ по волновой функции $|j,m\rangle$ и коммутационные соотношения на ${\widehat {T}}_{m}^{(j)}$, что:

${\widehat {T}}_{m}^{(j)}\rightarrow U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=exp\left({i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {T}}_{m}^{(j)}=\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R^{-1}){\widehat {T}}_{m'}^{(j)}$

где экспоненциальный вид задается леммой Бейкера–Хаусдорфа . Следовательно, приведенные выше коммутационные соотношения и свойство преобразования являются эквивалентными определениями сферических тензорных операторов. Также можно показать, что $\{ad_{{\hat {J}}_{i}}\}$ преобразуются как вектор из-за их коммутационного соотношения.

В следующем разделе будет обсуждаться построение сферических тензоров. Например, поскольку показан пример сферических векторных операторов, его можно использовать для построения сферических тензорных операторов более высокого порядка. В общем, сферические тензорные операторы могут быть построены с двух точек зрения. Один из способов — указать, как сферические тензоры преобразуются при физическом вращении — теоретико-групповое определение. Собственное состояние повернутого углового момента можно разложить на линейную комбинацию исходных собственных состояний: коэффициенты в линейной комбинации состоят из элементов матрицы вращения Вигнера. Или, продолжив предыдущий пример двоичного тензора второго порядка T = a ⊗ b , приведя каждый из a и b к сферическому базису и подставив в T , получим сферические тензорные операторы второго порядка.

Клебша –

Комбинация двух сферических тензоров $A_{q_{1}}^{(k_{1})}$ и $B_{q_{2}}^{(k_{2})}$можно доказать , что следующим образом с использованием коэффициентов Клебша – Гордана получается другой сферический тензор вида:

$$T_{q}^{(k)}=\sum _{q_{1},q_{2}}\langle k_{1},k_{2};q_{1},q_{2}|k_{1},k_{2};k,q\rangle A_{q_{1}}^{(k_{1})}B_{q_{2}}^{(k_{2})}$$

Это уравнение можно использовать для построения сферических тензорных операторов более высокого порядка, например, сферических тензорных операторов второго порядка с использованием двух сферических тензорных операторов первого порядка, скажем A и B, обсуждавшихся ранее:

$${\begin{aligned}{\widehat {T}}_{\pm 2}^{(2)}&={\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{\pm 1}\\[1ex]{\widehat {T}}_{\pm 1}^{(2)}&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{0}+{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{\pm 1}\right)\\[1ex]{\widehat {T}}_{0}^{(2)}&={\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\left({\widehat {a}}_{+1}{\widehat {b}}_{-1}+{\widehat {a}}_{-1}{\widehat {b}}_{+1}+2{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{0}\right)\end{aligned}}$$

Используя бесконечно малый оператор вращения и его эрмитово сопряжение, можно вывести коммутационное соотношение в сферическом базисе:

$$\left[J_{a},{\widehat {T}}_{q}^{(2)}\right]=\sum _{q'}{D(J_{a})}_{qq'}^{(2)}{\widehat {T}}_{q'}^{(2)}=\sum _{q'}\langle j{=}2,m{=}q|J_{a}|j{=}2,m{=}q'\rangle {\widehat {T}}_{q'}^{(2)}$$

и преобразование конечного вращения в сферическом базисе можно проверить:

$${U(R)}^{\dagger }{\widehat {T}}_{q}^{(2)}U(R)=\sum _{q'}{{D(R)}_{qq'}^{(2)}}^{*}{\widehat {T}}_{q'}^{(2)}$$

сферических

Определите оператор по его спектру:

$$\Upsilon _{l}^{m}|r\rangle =r^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )|r\rangle =\Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})|r\rangle$$

Поскольку для сферических гармоник при вращении:

$$Y_{\ell =k}^{m=q}(\mathbf {n} )=\langle \mathbf {n} |k,q\rangle \rightarrow U(R)^{\dagger }Y_{\ell =k}^{m=q}(\mathbf {n} )U(R)=Y_{\ell =k}^{m=q}(R\mathbf {n} )=\langle \mathbf {n} |D(R)^{\dagger }|k,q\rangle =\sum _{q'}D_{q',q}^{(k)}(R^{-1})Y_{\ell =k}^{m=q'}(\mathbf {n} )$$

Также можно показать, что:

$$\Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})\rightarrow U(R)^{\dagger }\Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})U(R)=\sum _{m'}D_{m',m}^{(l)}(R^{-1})\Upsilon _{l}^{m'}({\vec {r}})$$

Затем $\Upsilon _{l}^{m}({\vec {V}})$, где ${\vec {V}}$является векторным оператором, также преобразует таким же образом, т. е. является сферическим тензорным оператором. Этот процесс предполагает выражение $\Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})=r^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=\Upsilon _{l}^{m}(x,y,z)$в терминах x, y и z и заменяя x, y и z операторами V _x V _y и V _z , которые из векторного оператора. Таким образом, результирующий оператор является сферическим тензорным оператором. ${\hat {T}}_{m}^{(l)}$. ^ Это может включать константу из-за нормализации сферических гармоник, что бессмысленно в контексте операторов.

Эрмитово сопряжение сферического тензора можно определить как

$$(T^{\dagger })_{q}^{(k)}=(-1)^{k-q}(T_{-q}^{(k)})^{\dagger }.$$

В выборе фазового множителя имеется некоторый произвол: любой множитель, содержащий (−1) ^{± q} будет удовлетворять коммутационным соотношениям. Вышеупомянутый выбор фазы имеет то преимущество, что он действителен и что тензорное произведение двух коммутирующих эрмитовых операторов по-прежнему остается эрмитовым. Некоторые авторы определяют его с другим знаком q , без k или используют только нижний предел k .

сферические

угловой момент и

Операторы орбитального углового момента имеют лестничные операторы :

$$L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}$$

которые повышают или понижают орбитальное магнитное квантовое число m _ℓ на одну единицу. Он имеет почти ту же форму, что и сферический базис, за исключением постоянных мультипликативных множителей.

Сферические тензорные операторы

См. Также: Спин-взвешенные сферические гармоники и спинорные сферические гармоники.

Сферические тензоры также могут быть сформированы из алгебраических комбинаций операторов спина S _x , S _y , S _z в качестве матриц для спиновой системы с полным квантовым числом j = ℓ + s (и ℓ = 0). Операторы спина имеют операторы лестницы:

$$S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}$$

которые увеличивают или уменьшают спиновое магнитное квантовое число m _s на одну единицу.

Приложения

Сферические основания имеют широкое применение в чистой и прикладной математике и физических науках, где встречается сферическая геометрия.

переходы в одноэлектронном атоме (

Амплитуда перехода пропорциональна матричным элементам дипольного оператора между начальным и конечным состояниями. Мы используем электростатическую бесспиновую модель атома и рассматриваем переход от начального уровня энергии E _nℓ к конечному уровню E _n′ℓ′ . Эти уровни вырождены, поскольку энергия не зависит от магнитного квантового числа m или m'. Волновые функции имеют вид

$$\psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R_{n\ell }(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$$

Оператор диполя пропорционален оператору положения электрона, поэтому мы должны оценить матричные элементы вида:

$$\langle n'\ell 'm'|\mathbf {r} |n\ell m\rangle$$

где начальное состояние находится справа, а конечное — слева. Оператор положения r имеет три компонента, а начальный и конечный уровни состоят из 2ℓ + 1 и 2ℓ′ + 1 вырожденных состояний соответственно. Поэтому, если мы хотим оценить интенсивность спектральной линии в том виде, в котором она будет наблюдаться, нам действительно нужно оценить 3(2ℓ'+ 1)(2ℓ+ 1) матричных элементов, например, 3×3×5 = 45 в Переход 3d → 2p. Как мы увидим, на самом деле это преувеличение, поскольку многие матричные элементы исчезают, но остается еще много ненулевых матричных элементов, которые необходимо вычислить.

Большого упрощения можно добиться, выражая компоненты r не относительно декартова базиса, а относительно сферического базиса. Сначала мы определяем,

$$r_{q}={\hat {\mathbf {e} }}_{q}\cdot \mathbf {r}$$

Далее, проверив таблицу Y _ℓm , мы обнаруживаем, что для ℓ = 1 имеем:

$${\begin{aligned}rY_{11}(\theta ,\phi )&=&&-r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{i\phi }&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left(-{\frac {x+iy}{\sqrt {2}}}\right)\\rY_{10}(\theta ,\phi )&=&&r{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos(\theta )&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}z\\rY_{1-1}(\theta ,\phi )&=&&r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{-i\phi }&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left({\frac {x-iy}{\sqrt {2}}}\right)\end{aligned}}$$

где мы умножили каждый Y _{1 м} на радиус r . С правой стороны мы видим сферические компоненты r _q вектора положения r . Результаты можно обобщить следующим образом:

$$rY_{1q}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}r_{q}$$

для q = 1, 0, −1, где q явно выступает как магнитное квантовое число. Это уравнение показывает связь между векторными операторами и значением углового момента ℓ = 1, о чем нам еще предстоит сказать. Теперь матричные элементы становятся произведением радиального интеграла на угловой интеграл:

$$\langle n'\ell 'm'|r_{q}|n\ell m\rangle =\left(\int _{0}^{\infty }r^{2}drR_{n'\ell '}^{*}(r)rR_{n\ell }(r)\right)\left({\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}\int \sin {(\theta )}d\Omega Y_{\ell 'm'}^{*}(\theta ,\phi )Y_{1q}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\right)$$

Мы видим, что вся зависимость от трёх магнитных квантовых чисел (m′,q,m) содержится в угловой части интеграла. Кроме того, угловой интеграл можно оценить по формуле трех Y _ℓm , после чего он становится пропорциональным коэффициенту Клебша-Гордана:

$$\langle \ell 'm'|\ell 1mq\rangle$$

Радиальный интеграл не зависит от трех магнитных квантовых чисел ( m ', q , m ), и трюк, который мы только что использовали, не помогает нам его оценить. Но это только один интеграл, и после того, как это будет сделано, все остальные интегралы можно будет вычислить, просто вычислив или найдя коэффициенты Клебша – Гордана.

Правило отбора m ′ = q + m в коэффициенте Клебша–Гордана означает, что многие интегралы обращаются в нуль, поэтому мы преувеличили общее количество интегралов, которые необходимо выполнить. Но если бы мы работали с декартовыми компонентами r _i of r , это правило выбора могло бы быть неочевидным. В любом случае, даже при использовании правила отбора, все равно может оказаться много ненулевых интегралов (девять в случае 3d → 2p). Только что приведенный нами пример упрощения расчета матричных элементов для дипольного перехода на самом деле является применением теоремы Вигнера–Экарта, которую мы рассмотрим позже в этих заметках.

Магнитный резонанс

Формализм сферических тензоров обеспечивает общую платформу для рассмотрения когерентности и релаксации в ядерном магнитном резонансе . В ЯМР и ЭПР операторы сферических тензоров используются для выражения квантовой динамики вращения частиц посредством уравнения движения для элементов матрицы плотности или для формулирования динамики в терминах уравнения движения в пространстве Лиувилля . Уравнение движения в пространстве Лиувилля управляет наблюдаемыми средними значениями спиновых переменных. Когда релаксация формулируется с использованием сферического тензорного базиса в пространстве Лиувилля, достигается понимание, поскольку матрица релаксации напрямую демонстрирует кросс-релаксацию спиновых наблюдаемых.

См. также

• Теорема Вигнера – Эккарта
• Тензор структуры
• Коэффициенты Клебша – Гордана для SU (3)

Ссылки

Источники

• П.Т. Каллаган (2011). Трансляционная динамика и магнитный резонанс: принципы ЯМР импульсного градиентного спинового эха . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-191-621-048 .
• В.В. Балашов; А. Н. Грум-Гржимайло; Н. М. Кабачник (2000). Поляризационные и корреляционные явления при атомных столкновениях: курс практической теории . Спрингер. ISBN  9780306462665 .
• Я. А. Тушинский (1990). Сферические тензорные операторы: таблицы матричных элементов и симметрий . Всемирная научная. ISBN  978-981-0202-835 .
• Л. Кастеллани; Дж. Весс (1996). Квантовые группы и их применение в физике: Варенна на озере Комо, Вилла Монастеро, 28 июня — 8 июля 1994 г. Итальянское физическое общество, IOS. ISBN  978-905-199-24-72 .
• Введение в графическую теорию углового момента . Спрингер. 2009. ISBN  978-364-203-11-99 .
• А. Р. Эдмондс (1996). Угловой момент в квантовой механике (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-025-896 .
• Ж. Дж. Мюллер (2011). «Тензоры и вращения в ЯМР». Концепции магнитного резонанса . Часть A. 38А (5): 221–235. дои : 10.1002/cmr.a.20224 . S2CID   8889942 .
• М. С. Анвар (2004). «Сферические тензорные операторы в ЯМР» (PDF) .
• П. Каллаган (1993). Принципы ядерно-магнитно-резонансной микроскопии . Издательство Оксфордского университета. стр. 56–57. ISBN  978-0-198-539-971 .

Дальнейшее чтение

Сферические гармоники

• ГВФ Дрейк (2006). Справочник Springer по атомной, молекулярной и оптической физике (2-е изд.). Спрингер. п. 57. ИСБН  978-0-3872-6308-3 .
• Ф.А. Дален; Дж. Тромп (1998). Теоретическая глобальная сейсмология (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. п. приложение C. ISBN  978-0-69100-1241 .
• Д.О. Томпсон; ДЕ Чименти (1997). Обзор прогресса в области количественного неразрушающего контроля . Том. 16. Спрингер. п. 1708. ISBN  978-0-3064-55971 .
• Х. Паец; Г. Шик (2011). Ядерная физика с поляризованными частицами . Конспект лекций по физике. Том. 842. Спрингер. п. 31. ISBN  978-364-224-225-0 .
• В. Деванатан (1999). Методы углового момента в квантовой механике . Фундаментальные теории физики. Том. 108. Спрингер. стр. 34, 61. ISBN.  978-0-7923-5866-4 .
• В.Д. Клейман; Р. Н. Заре (1998). "5 " Спутник углового момента . Джон Уайли и сыновья. п. 112. ИСБН  978-0-4711-9249-7 .

Угловой момент и вращение

• Деванатан, В. (2002). «Векторы и тензоры в сферическом базисе». Методы углового момента в квантовой механике . Фундаментальные теории физики. Том. 108. С. 24–33. дои : 10.1007/0-306-47123-X_3 . ISBN  978-0-306-47123-0 .
• КТ Хехт (2000). Квантовая механика . Дипломные тексты по современной физике. Спрингер. ISBN  978-0-387-989-198 .

Физика конденсированного состояния

• Дж. А. Меттес; Дж. Б. Кейт; РБ МакКлерг (2002). «Глобальные фазовые диаграммы молекулярных кристаллов: I метод построения» (PDF) .
• Б. Хендерсон, Р. Х. Бартрам (2005). Кристаллополевая инженерия твердотельных лазерных материалов . Кембриджские исследования по современной оптике. Том. 25. Издательство Кембриджского университета. п. 49. ИСБН  978-0-52101-8012 .
• Эдвард У. Кондон и Халис Одабаши (1980). Атомная структура . Архив Кубка. ISBN  978-0-5212-98933 .
• Мелинда Дж. Дуэр, изд. (2008). «3» . ЯМР-спектроскопия твердого тела: принципы и приложения . Джон Уайли и сыновья. п. 113. ИСБН  978-0-4709-9938-7 .
• К.Д. Бонин; В.В. Кресин (1997). «2» . Электро-дипольные поляризуемости атомов, молекул и кластеров . Всемирная научная. стр. 14–15. ISBN  978-981-022-493-6 .
• А.Е. МакДермотт, Т.Поленова (2012). Твердотельные ЯМР-исследования биополимеров . Справочники ЭМИ. Джон Уайли и сыновья. п. 42. ИСБН  978-111-858-889-5 .

Магнитный резонанс

• Ж. Дж. Мюллер (2011). «Тензоры и вращения в ЯМР». Концепции магнитного резонанса . Часть A. 38А (5): 221–235. дои : 10.1002/cmr.a.20224 . S2CID   8889942 .
• М. С. Анвар (2004). «Сферические тензорные операторы в ЯМР» (PDF) .
• П. Каллаган (1993). Принципы ядерно-магнитно-резонансной микроскопии . Издательство Оксфордского университета. стр. 56–57. ISBN  978-0-198-539-971 .

Обработка изображений

• М. Рейзерт; Х. Буркхардт (2009). С. Аджа-Фернандес (ред.). Тензоры в обработке изображений и компьютерном зрении . Спрингер. ISBN  978-184-8822-993 .
• Д. Х. Лейдлоу; Дж. Вайкерт (2009). Визуализация и обработка тензорных полей: достижения и перспективы . Математика и визуализация. Спрингер. ISBN  978-354-088-378-4 .
• М. Фельсберг; Э. Йонссон (2005). Тензоры энергии: квадратичные фазоинвариантные операторы изображения . Конспекты лекций по информатике. Том. 3663. Спрингер. стр. 493–500.
• Э. Кениг; С. Кремер (1979). «Тензорная операторная алгебра для точечных групп». Диаграммы магнетизма ионов переходных металлов . Конспекты лекций по информатике. Том. 3663. Спрингер. стр. 13–20. дои : 10.1007/978-1-4613-3003-5_3 . ISBN  978-1-4613-3005-9 .

Внешние ссылки

• (2012) Коэффициенты Клебша-Гордона (так в оригинале) и тензорные сферические гармоники
• Тензорные сферические гармоники
• (2010) Неприводимые тензорные операторы и теорема Вигнера-Экарта. Архивировано 20 июля 2014 г. в Wayback Machine.
• Тензорные операторы
• М. Фаулер (2008), Тензорные операторы
• Тензор_Операторы
• (2009) Тензорные операторы и теорема Вигнера-Экарта
• Теорема Вигнера-Экарта
• (2004) Вращательные преобразования и сферические тензорные операторы
• Тензорные операторы
• Оценка матричных элементов радиационных переходов
• Д.К. Гош, (2013) Угловой момент - III: Теорема Вигнера-Экарта
• Б. Бараджола (2002) Тензорные операторы
• Сферические тензоры