Оператор вращения (квантовая механика)

Эта статья посвящена вращения в оператору том виде, в котором он появляется в квантовой механике .

Квантово-механические вращения

При каждом физическом вращении $R$ , мы постулируем квантовомеханический оператор вращения $D(R)$ который вращает квантовомеханические состояния. $|\alpha \rangle _{R}=D(R)|\alpha \rangle$

Что касается генераторов вращения, $D(\mathbf {\hat {n}} ,\phi )=\exp \left(-i\phi {\frac {\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {J} }{\hbar }}\right),$ где $\mathbf {\hat {n}}$ – ось вращения, $\mathbf {J}$ - угловой момент , а $\hbar$ – приведенная постоянная Планка .

Оператор перевода

Оператор вращения $\operatorname {R} (z,\theta )$ , с первым аргументом $z$ вращения указывая ось и вторую $\theta$ угол поворота, может работать через оператор перевода $\operatorname {T} (a)$ для бесконечно малых вращений, как описано ниже. Поэтому сначала показано, как оператор перевода действует на частицу в позиции x (при этом частица находится в состоянии $|x\rangle$ согласно квантовой механике ).

Перевод частицы в положение $x$ позиционировать $x+a$ : $\operatorname {T} (a)|x\rangle =|x+a\rangle$

Поскольку перевод 0 не меняет положение частицы, мы имеем (где 1 означает тождественный оператор , который ничего не делает): $\operatorname {T} (0)=1$ $\operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)|x\rangle =\operatorname {T} (a)|x+da\rangle =|x+a+da\rangle =\operatorname {T} (a+da)|x\rangle \Rightarrow \operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a+da)$

Развитие Тейлора дает: $\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (0)+{\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}da+\cdots =1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da$ с $p_{x}=i\hbar {\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}$

Отсюда следует: $\operatorname {T} (a+da)=\operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a)\left(1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da\right)\Rightarrow {\frac {\operatorname {T} (a+da)-\operatorname {T} (a)}{da}}={\frac {d\operatorname {T} }{da}}=-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}\operatorname {T} (a)$

Это дифференциальное уравнение с решением

$\operatorname {T} (a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}a\right).$

Кроме того, предположим, что гамильтониан $H$ не зависит от $x$ позиция. Поскольку оператор перевода можно записать в терминах $p_{x}$ , и $[p_{x},H]=0$ , мы это знаем $[H,\operatorname {T} (a)]=0.$ Этот результат означает, что линейный импульс системы сохраняется.

По отношению к орбитальному угловому моменту

Классически мы имеем для углового момента $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .$ То же самое происходит и в квантовой механике, учитывая $\mathbf {r}$ и $\mathbf {p}$ в качестве операторов. Классически бесконечно малое вращение $dt$ вектора $\mathbf {r} =(x,y,z)$ о $z$ -ось к $\mathbf {r} '=(x',y',z)$ уход $z$ без изменений можно выразить следующими бесконечно малыми сдвигами (с использованием приближения Тейлора ):

${\begin{aligned}x'&=r\cos(t+dt)=x-y\,dt+\cdots \\y'&=r\sin(t+dt)=y+x\,dt+\cdots \end{aligned}}$

Отсюда следует для государств: $\operatorname {R} (z,dt)|r\rangle =\operatorname {R} (z,dt)|x,y,z\rangle =|x-y\,dt,y+x\,dt,z\rangle =\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)|x,y,z\rangle =\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)|r\rangle$

И следовательно: $\operatorname {R} (z,dt)=\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)$

С использованием $T_{k}(a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{k}a\right)$ сверху с $k=x,y$ и разложение Тейлора получим: $\operatorname {R} (z,dt)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(xp_{y}-yp_{x}\right)dt\right]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt\right)=1-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt+\cdots$ с $L_{z}=xp_{y}-yp_{x}$ тот $z$ -компонента момента импульса согласно классическому векторному произведению .

Чтобы получить поворот на угол $t$ , построим следующее дифференциальное уравнение, используя условие $\operatorname {R} (z,0)=1$ :

${\begin{aligned}&\operatorname {R} (z,t+dt)=\operatorname {R} (z,t)\operatorname {R} (z,dt)\\[1.1ex]\Rightarrow {}&{\frac {d\operatorname {R} }{dt}}={\frac {\operatorname {R} (z,t+dt)-\operatorname {R} (z,t)}{dt}}=\operatorname {R} (z,t){\frac {\operatorname {R} (z,dt)-1}{dt}}=-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}\operatorname {R} (z,t)\\[1.1ex]\Rightarrow {}&\operatorname {R} (z,t)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\,t\,L_{z}\right)\end{aligned}}$

Подобно оператору перевода, если нам дан гамильтониан $H$ который вращательно симметричен относительно $z$ -ось, $[L_{z},H]=0$ подразумевает $[\operatorname {R} (z,t),H]=0$ . Этот результат означает, что угловой момент сохраняется.

Для спинового углового момента, например, $y$ -ось мы просто заменяем $L_{z}$ с ${\textstyle S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}}$ (где $\sigma _{y}$ — матрица Паули Y ), и мы получаем спина оператор вращения $\operatorname {D} (y,t)=\exp \left(-i{\frac {t}{2}}\sigma _{y}\right).$

Влияние на оператор спина и квантовые состояния

Операторы могут быть представлены матрицами . Из линейной алгебры известно, что некоторая матрица $A$ можно представить в другом базисе посредством преобразования $A'=PAP^{-1}$ где $P$ – базовая матрица преобразования. Если векторы $b$ соответственно $c$ - это ось z в одном базисе соответственно другом, они перпендикулярны оси y под определенным углом $t$ между ними. Оператор спина $S_{b}$ в первом базисе затем может быть преобразовано в оператор спина $S_{c}$ другого базиса посредством следующего преобразования: $S_{c}=\operatorname {D} (y,t)S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)$

Из стандартной квантовой механики мы имеем известные результаты ${\textstyle S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ и ${\textstyle S_{c}|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle }$ где $|b+\rangle$ и $|c+\rangle$ являются верхними спинами в соответствующих базах. Итак, у нас есть: ${\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle =S_{c}|c+\rangle =\operatorname {D} (y,t)S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle \Rightarrow$ $S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle$

Сравнение с ${\textstyle S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ урожайность $|b+\rangle =D^{-1}(y,t)|c+\rangle$ .

Это означает, что если государство $|c+\rangle$ вращается вокруг $y$ -ось под углом $t$ , оно становится состоянием $|b+\rangle$ , результат, который можно обобщить на произвольные оси.

См. также

Ссылки

Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц: Квантовая механика: нерелятивистская теория , Pergamon Press, 1985.
ПАМ Дирак: Принципы квантовой механики , Oxford University Press, 1958 г.
Р. П. Фейнман, Р.Б. Лейтон и М. Сэндс: Фейнмановские лекции по физике , Аддисон-Уэсли, 1965 г.