Оператор смещения

В квантовомеханическом исследовании оптического фазового пространства оператор смещения для одной моды является оператором сдвига в квантовой оптике .

{\hat {D}}(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {a}}\right)

,

где $\alpha$ — величина смещения в оптическом фазовом пространстве , $\alpha ^{*}$ является комплексно-сопряженным этим смещением, и ${\hat {a}}$ и ${\hat {a}}^{\dagger }$ — понижающий и повышающий операторы соответственно.

Название этого оператора происходит от его способности смещать локализованное состояние в фазовом пространстве на величину $\alpha$ . Он также может воздействовать на состояние вакуума, перемещая его в когерентное состояние . Конкретно, ${\hat {D}}(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle$ где $|\alpha \rangle$ — когерентное состояние , которое является собственным состоянием оператора уничтожения (понижения).

Характеристики

Оператор смещения является унитарным оператором и поэтому подчиняется ${\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {D}}(\alpha )={\hat {1}}$ ,где ${\hat {1}}$ является идентификационным оператором. С ${\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}(-\alpha )$ эрмитово сопряжение оператора смещения также можно интерпретировать как смещение противоположной величины ( $-\alpha$ ). Эффект применения этого оператора при преобразовании подобия лестничных операторов приводит к их смещению.

{\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}(\alpha )={\hat {a}}+\alpha

{\hat {D}}(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {a}}-\alpha

Продуктом двух операторов смещения является еще один оператор смещения, полное смещение которого с точностью до фазового коэффициента представляет собой сумму двух отдельных смещений. В этом можно убедиться, воспользовавшись формулой Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа .

e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{\beta {\hat {a}}^{\dagger }-\beta ^{*}{\hat {a}}}=e^{(\alpha +\beta ){\hat {a}}^{\dagger }-(\beta ^{*}+\alpha ^{*}){\hat {a}}}e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}.

что показывает нам, что:

{\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}(\beta )=e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}{\hat {D}}(\alpha +\beta )

При воздействии на собственную сеть фазовый коэффициент $e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}$ появляется в каждом члене результирующего состояния, что делает его физически нерелевантным. ^[1]

Это далее приводит к соотношению сплетения

{\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}(\beta )=e^{\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta }{\hat {D}}(\beta ){\hat {D}}(\alpha )

Альтернативные выражения

Тождество Кермака-МакКрея дает два альтернативных способа выражения оператора смещения:

{\hat {D}}(\alpha )=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}

{\hat {D}}(\alpha )=e^{+{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}

Многомодовое смещение

Оператор смещения также можно обобщить на многомодовое смещение. Оператор многомодового создания можно определить как

{\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }=\int d\mathbf {k} \psi (\mathbf {k} ){\hat {a}}^{\dagger }(\mathbf {k} )

,

где $\mathbf {k}$ - волновой вектор, и его величина связана с частотой $\omega _{\mathbf {k} }$ в соответствии с $|\mathbf {k} |=\omega _{\mathbf {k} }/c$ . Используя это определение, мы можем записать оператор многомодового смещения как