Антисимметричный оператор

В квантовой механике оператор повышения или понижения (вместе известный как лестничный оператор ) — это оператор , который увеличивает или уменьшает собственное значение другого оператора. В квантовой механике оператор повышения иногда называют оператором создания , а оператор понижения — оператором уничтожения . Хорошо известные приложения лестничных операторов в квантовой механике находятся в формализмах квантового гармонического осциллятора и углового момента .

Введение

Другой тип операторов в квантовой теории поля , открытый в начале 1970-х годов, известен как антисимметричный оператор. Этот оператор, похожий на спин в нерелятивистской квантовой механике, представляет собой лестничный оператор , который может создать два фермиона с противоположным спином из бозона или бозон из двух фермионов . Фермион , названный в честь Энрико Ферми, представляет собой частицу с полуцелым спином, такую ​​как электроны и протоны. Это частица материи. Бозон , представляет собой частицу с , названный в честь С. Н. Бозе полным целым спином, такую ​​как фотоны и W. Это частица, несущая силу.

Вращаться

Сначала мы рассмотрим спин для нерелятивистской квантовой механики. Спин, внутреннее свойство, подобное угловому моменту, определяется оператором спина S , который играет роль в системе, аналогичной оператору L для орбитального углового момента. Операторы $S^{2}$ и $S_{z}$ чьи собственные значения $S^{2}|s,m\rangle =s(s+1)\hbar ^{2}|s,m\rangle$ и $S_{z}|s,m\rangle =m\hbar |s,m\rangle$ соответственно. Эти формализмы также подчиняются обычным коммутационным соотношениям для углового момента $[S_{x},S_{y}]=i\hbar S_{z}$, $[S_{y},S_{z}]=i\hbar S_{x}$, и $[S_{z},S_{x}]=i\hbar S_{y}$. Операторы подъема и опускания, $S_{+}$ и $S_{-}$, определяются как $S_{+}=S_{x}+i\cdot S_{y}$ и $S_{-}=S_{x}-i\cdot S_{y}$ соответственно. Эти лестничные операторы действуют на состояние следующим образом: $S_{+}|s,m\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m(m+1)}}|s,m+1\rangle$ и $S_{-}|s,m\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m(m-1)}}|s,m-1\rangle$ соответственно.

Операторы S_x и S_y можно определить с помощью лестничного метода. В случае спина 1/2 (фермион) оператор $S_{+}$ воздействие на государство производит $S_{+}|+\rangle =0$ и $S_{+}|-\rangle =\hbar |+\rangle$. Аналогично, оператор $S_{-}$ воздействие на государство производит $S_{-}|-\rangle =0$ и $S_{-}|+\rangle =\hbar |-\rangle$. Матричные представления этих операторов строятся следующим образом:

$[S_{+}]={\begin{bmatrix}\langle +|S_{+}|+\rangle &\langle +|S_{+}|-\rangle \\\langle -|S_{+}|+\rangle &\langle -|S_{+}|-\rangle \end{bmatrix}}=\hbar \cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$

$[S_{-}]={\begin{bmatrix}\langle +|S_{-}|+\rangle &\langle +|S_{-}|-\rangle \\\langle -|S_{-}|+\rangle &\langle -|S_{-}|-\rangle \end{bmatrix}}=\hbar \cdot {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}$

Поэтому, $S_{x}$ и $S_{y}$ могут быть представлены матричными представлениями:

$[S_{x}]={\frac {\hbar }{2}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$

$[S_{y}]={\frac {\hbar }{2}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}$

Вспоминая обобщенное соотношение неопределенностей для двух операторов A и B, $\Delta _{\psi }A\,\Delta _{\psi }B\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle _{\psi }\right|$, мы сразу видим, что соотношение неопределенностей операторов $S_{x}$ и $S_{y}$ следующие:

$\Delta _{\psi }S_{x}\,\Delta _{\psi }S_{y}\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{S_{x}},{S_{y}}\right]\right\rangle _{\psi }\right|={\frac {1}{2}}(i\hbar S_{z})={\frac {\hbar }{2}}S_{z}$

Следовательно, как и в случае с орбитальным угловым моментом, мы можем указать только одну координату за раз. Указываем операторов $S^{2}$ и $S_{z}$.

Применение в квантовой теории поля

Создание частицы и античастицы из бозона определяется аналогично, но для бесконечных измерений. Поэтому символ Леви-Чивита вводится для бесконечных измерений.

$\varepsilon _{ijk\ell \dots }=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{if }}(i,j,k,\ell ,\dots ){\mbox{ is an even permutation of }}(1,2,3,4,\dots )\\-1&{\mbox{if }}(i,j,k,\ell ,\dots ){\mbox{ is an odd permutation of }}(1,2,3,4,\dots )\\0&{\mbox{if any two labels are the same}}\end{matrix}}\right.$

Коммутационные соотношения просто переносятся на бесконечные измерения. $[S_{i},S_{j}]=i\hbar S_{k}\varepsilon _{ijk}$. $S^{2}$ теперь равен $S^{2}=\sum _{m=1}^{n}S_{m}^{2}$ где n=∞. Его собственное значение $S^{2}|s,m>=s(s+1)\hbar ^{2}|s,m>$. Определение магнитного квантового числа, углового момента, проецируемого в направлении z, является более сложной задачей, чем простое состояние спина. Проблема становится аналогичной моменту инерции в классической механике и обобщается на n измерений. Именно это свойство позволяет создавать и уничтожать бозоны.

Бозоны

характеризующееся своим спином, Бозонное поле, может быть скалярным, векторным и даже тензорным. Для иллюстрации: квантованное электромагнитное поле представляет собой фотонное поле, которое можно квантовать с использованием обычных методов канонического квантования или квантования с интегралом по траектории. Это привело к созданию теории квантовой электродинамики, возможно, самой успешной теории в физике. Гравитонное поле — это квантованное гравитационное поле. Еще не существует теории, которая квантовает гравитационное поле, но такие теории, как теория струн, можно рассматривать как квантованное гравитационное поле. Примером нерелятивистского бозонного поля является поле, описывающее холодные бозонные атомы, такие как гелий-4. Свободные бозонные поля подчиняются коммутационным соотношениям:

$[a_{i},a_{j}]=[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=0$

$[a_{i},a_{i}^{\dagger }]=\langle f|g\rangle$,

Для иллюстрации предположим, что у нас есть система из N бозонов, которые занимают взаимно ортогональные одночастичные состояния. $|\phi _{1}\rangle ,|\phi _{2}\rangle ,|\phi _{3}\rangle$и т. д. Используя обычное представление, мы демонстрируем систему, присваивая состояние каждой частице и затем налагая обменную симметрию.

${\frac {1}{\sqrt {3}}}\left[|\phi _{1}\rangle |\phi _{2}\rangle |\phi _{3}\rangle +|\phi _{2}\rangle |\phi _{1}\rangle |\phi _{3}\rangle +|\phi _{3}\rangle |\phi _{2}\rangle |\phi _{1}\rangle \right].$

Это волновое уравнение можно представить, используя подход второго квантования, известный как второе квантование . Указано количество частиц в каждом одночастичном состоянии.

$|1,2,0,0,0,\cdots \rangle ,$

Операторы создания и уничтожения , которые добавляют и вычитают частицы из многочастичных состояний. Эти операторы рождения и уничтожения очень похожи на те, что определены для квантового гармонического осциллятора , который добавляет и вычитает кванты энергии. Однако эти операторы буквально создают и уничтожают частицы с заданным квантовым состоянием. Оператор бозонного уничтожения $a_{2}$ и оператор создания $a_{2}^{\dagger }$ имеют следующие эффекты:

$a_{2}|N_{1},N_{2},N_{3},\cdots \rangle ={\sqrt {N_{2}}}\mid N_{1},(N_{2}-1),N_{3},\cdots \rangle ,$

$a_{2}^{\dagger }|N_{1},N_{2},N_{3},\cdots \rangle ={\sqrt {N_{2}+1}}\mid N_{1},(N_{2}+1),N_{3},\cdots \rangle .$

Как операторы создания и уничтожения $a_{i}$ и $a_{i}^{\dagger }$ также встречаются в квантовой теории поля операторы рождения и уничтожения $S_{i}^{+}$ и $S_{i}^{-}$ действуют на бозоны в многочастичных состояниях. Пока $a_{i}$ и $a_{i}^{\dagger }$ позволяет определить, была ли частица создана или уничтожена в системе, операторы спина $S_{i}^{+}$ и $S_{i}^{-}$ позвольте нам определить, как это сделать. Фотон может стать как позитроном, так и электроном и наоборот. Из-за антисимметричной статистики частица со спином ${\frac {1}{2}}$ подчиняется правилу исключения Паули. Две частицы могут существовать в одном и том же состоянии тогда и только тогда, когда спин частицы противоположный.

Возвращаясь к нашему примеру, состояние спина частицы — спин-1. Симметричные частицы, или бозоны, не обязательно подчиняются принципу Паули, поэтому мы можем представить спиновое состояние частицы следующим образом:

$|1,ix,0,0,0,\cdots \rangle ,$ и $|1,-ix,0,0,0,\cdots \rangle ,$

Оператор спина аннигиляции, как следует из его названия, аннигилирует фотон как в электрон, так и в позитрон. Аналогично, оператор спина создания создает фотон. В этом примере фотон может находиться либо в первом, либо во втором состоянии. Если мы применим оператор линейного импульса

Фермионы

Поэтому определим оператор $S_{i}+$ и $S_{i}-$. В случае нерелятивистской частицы, если $S_{+}$ применяется к фермиону дважды, результирующее собственное значение равно 0. Аналогично, собственное значение равно 0, когда $S_{-}$ применяется к фермиону дважды. Это соотношение удовлетворяет принципу исключения Паули . Однако бозоны — это симметричные частицы, которые не подчиняются принципу запрета Паули.

Ссылки

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Прентис Холл. ISBN  0-13-111892-7 .
• МакМахон, Дэвид (2006). Квантовая механика раскрыта: Руководство для самообучения . Компании МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-145546-9 .