картина Гейзенберга

В физике картина Гейзенберга или представление Гейзенберга. - это формулировка (в основном благодаря Вернеру Гейзенбергу в 1925 году) квантовой механики , в которой операторы ( наблюдаемые и другие) включают зависимость от времени, но векторы состояния не зависят от времени, а произвольный фиксированный базис жестко лежит в основе теории.

Это контрастирует с картиной Шрёдингера , в которой операторы постоянны, а состояния меняются во времени. Эти две картины отличаются только изменением основы относительно зависимости от времени, что соответствует разнице между активными и пассивными преобразованиями . Картина Гейзенберга представляет собой формулировку матричной механики в произвольном базисе, в которой гамильтониан не обязательно диагональен.

Далее он служит для определения третьей, гибридной картины, картины взаимодействия .

Математические детали

В картине квантовой механики Гейзенберга векторы состояния | ψ ⟩ не меняются со временем, а наблюдаемые A удовлетворяют

${\frac {d}{dt}}A_{\text{H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H_{\text{H}}(t),A_{\text{H}}(t)]+\left({\frac {\partial A_{\text{S}}}{\partial t}}\right)_{\text{H}},$

где «H» и «S» обозначают наблюдаемые в картинах Гейзенберга и Шредингера соответственно, H — гамильтониан , а [·, ·] обозначает коммутатор двух операторов (в данном случае H и A ). Взятие ожидаемых значений автоматически приводит к теореме Эренфеста , представленной в принципе соответствия .

По теореме Стоуна-фон Неймана картина Гейзенберга и картина Шредингера унитарно эквивалентны, это всего лишь замена базиса в гильбертовом пространстве . В некотором смысле картина Гейзенберга более естественна и удобна, чем эквивалентная картина Шредингера, особенно для релятивистских теорий. Лоренц-инвариантность проявляется в картине Гейзенберга, поскольку векторы состояния не выделяют время или пространство.

Этот подход также имеет более прямое сходство с классической физикой : простой заменой коммутатора, приведенного выше, на скобку Пуассона , уравнение Гейзенберга сводится к уравнению гамильтоновой механики .

уравнения Гейзенберга

В педагогических целях картина Гейзенберга введена здесь из последующей, но более знакомой картины Шрёдингера .

Согласно уравнению Шредингера , квантовое состояние в момент времени $t$ является $|\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle$, где $U(t)=Te^{-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}dsH_{\rm {S}}(s)}$— оператор временной эволюции, индуцированный гамильтонианом $H_{\rm {S}}(t)$ это может зависеть от времени, и $|\psi (0)\rangle$ является начальным состоянием. $T$ относится к упорядочению во времени, ħ — приведенная постоянная Планка , а i — мнимая единица измерения. Ожидаемое значение наблюдаемой $A_{\rm {S}}(t)$ в картине Шредингера , которая является эрмитовым линейным оператором , который также может зависеть от времени, в состоянии $|\psi (t)\rangle$ дается

$$\langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A_{\rm {S}}(t)|\psi (t)\rangle .$$

В картине Гейзенберга предполагается, что квантовое состояние остается постоянным при своем начальном значении. $|\psi (0)\rangle$, тогда как операторы развиваются со временем согласно определению

$$A_{\rm {H}}(t):=U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)\,.$$

Это легко подразумевает $\langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|A_{\rm {H}}(t)|\psi (0)\rangle$, поэтому одно и то же математическое ожидание можно получить, работая с любым изображением. Уравнение Шрёдингера для оператора временной эволюции имеет вид

$${\frac {d}{dt}}U(t)=-{\frac {i}{\hbar }}H_{\rm {S}}(t)U(t).$$

Отсюда следует, что

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A_{\rm {H}}(t)&=\left({\frac {d}{dt}}U^{\dagger }(t)\right)A_{\rm {S}}(t)U(t)+U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)\left({\frac {d}{dt}}U(t)\right)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)U(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)H_{\rm {S}}(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)-{\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)H_{\rm {S}}(t)U(t)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)U(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)H_{\rm {S}}(t)U(t)U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)-{\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)U^{\dagger }(t)H_{\rm {S}}(t)U(t)+\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)_{\rm {H}}\\&={\frac {i}{\hbar }}[H_{\rm {H}}(t),A_{\rm {H}}(t)]+\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)_{\rm {H}},\end{aligned}}$$

где дифференциация проводилась по правилу произведения . Это уравнение движения Гейзенберга. Обратите внимание, что гамильтониан , который появляется в последней строке выше, — это гамильтониан Гейзенберга. $H_{\rm {H}}(t)$, который может отличаться от гамильтониана Шрёдингера $H_{\rm {S}}(t)$.

Важный частный случай приведенного выше уравнения получается, если гамильтониан $H_{\rm {S}}$ не меняется со временем. Тогда оператор временной эволюции можно записать как

$$U(t)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}tH_{\rm {S}}},$$

и, следовательно, $H_{\rm {H}}\equiv H_{\rm {S}}\equiv H$ с $U(t)$ сейчас ездит с $H$. Поэтому,

$$\langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{{\frac {i}{\hbar }}tH}A_{\rm {S}}(t)e^{-{\frac {i}{\hbar }}tH}|\psi (0)\rangle$$

и, следуя предыдущим анализам,

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A_{\rm {H}}(t)&={\frac {i}{\hbar }}[H,A_{\rm {H}}(t)]+e^{{\frac {i}{\hbar }}tH}\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}tH}.\end{aligned}}$$

Кроме того, если $A_{\rm {S}}\equiv A$ также не зависит от времени, то последний член исчезает и

${\frac {d}{dt}}A_{\rm {H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A_{\rm {H}}(t)],$

где $A_{\rm {H}}(t)\equiv A(t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}tH}Ae^{-{\frac {i}{\hbar }}tH}$ в данном конкретном случае. Уравнение решается с использованием стандартного операторного тождества ,

$${e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots \,,$$

что подразумевает

$$A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{2}[H,[H,A]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{3}[H,[H,[H,A]]]+\cdots$$

Аналогичное соотношение справедливо и для классической механики , классического предела вышеизложенного, определяемого соответствием между скобками Пуассона и коммутаторами :

$$[A,H]\quad \longleftrightarrow \quad i\hbar \{A,H\}.$$

В классической механике для A без явной зависимости от времени

$$\{A,H\}={\frac {dA}{dt}}~,$$

итак, снова выражение для A ( t ) представляет собой разложение Тейлора вокруг t = 0.

По сути, начальное состояние квантовой системы ушло из поля зрения и рассматривается только на последнем этапе принятия конкретных значений ожидания или матричных элементов наблюдаемых, которые развивались во времени в соответствии с уравнением движения Гейзенберга. Аналогичный анализ применим, если исходное состояние является смешанным .

Состояние, развитое во времени $|\psi (t)\rangle$ на картине Шрёдингера иногда пишется как $|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle$ чтобы отличить его от развитого состояния $|\psi _{\rm {I}}(t)\rangle$ это появляется на другой картинке взаимодействия .

Коммутационные отношения

Коммутационные отношения могут выглядеть иначе, чем в картине Шрёдингера, из-за зависимости операторов от времени. Например, x ( t1 _p , x ( t2 _и ) p ( t1 ₎ ) ( , ) t2 _{операторы} . рассмотрим Эволюция этих операторов во времени зависит от гамильтониана системы. Рассматривая одномерный гармонический осциллятор,

$$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}},$$

эволюция операторов положения и импульса определяется выражением:

$${\frac {d}{dt}}x(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,x(t)]={\frac {p}{m}},$$

$${\frac {d}{dt}}p(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x.$$

Обратите внимание, что гамильтониан не зависит от времени и, следовательно, $x(t),p(t)$ — операторы положения и импульса в картине Гейзенберга. Дифференцируя оба уравнения еще раз и решая их с соответствующими начальными условиями,

$${\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0},$$

$${\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}},$$

приводит к

$$x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t),$$

$$p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega x_{0}\sin(\omega t).$$

Непосредственное вычисление дает более общие коммутаторные соотношения:

$$[x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right),$$

$$[p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right),$$

$$[x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right).$$

Для $t_{1}=t_{2}$, можно просто восстановить стандартные канонические коммутационные соотношения, действительные для всех изображений.

Итоговое сравнение эволюции на всех изображениях

Для независимого от времени гамильтониана , _HS где H _0,S — свободный гамильтониан,

Эволюция:	Картина ( )
	Шрёдингер (S)	Гейзенберг (H)	Взаимодействие (Я)
Кетское государство	$|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle$	постоянный	$|\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle$
наблюдаемый	постоянный	$A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	$A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$
Матрица плотности	$\rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	постоянный	$\rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$

См. также

• Хорошие обозначения
• Картинка взаимодействия
• Картина Шрёдингера
• Уравнения Гейзенберга – Ланжевена.
• Формулировка фазового пространства

Ссылки

• Коэн-Таннуджи, Клод ; Бернар Диу; Фрэнк Лало (1977). Квантовая механика (Том первый) . Пэрис: Уайли. стр. 312–314. ISBN  0-471-16433-Х .
• Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (Том I), английский перевод с французского Г. М. Теммера. Северная Голландия, Джон Уайли и сыновья.
• Мерцбахер Э. , Квантовая механика (3-е изд., Джон Уайли, 1998), стр. 430–431. ISBN   0-471-88702-1
• Л.Д. Ландау , Е.М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Том. 3 (3-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN  978-0-08-020940-1 . Онлайн-копия
• Р. Шанкар (1994); Принципы квантовой механики , Пленум Пресс, ISBN   978-0306447907 .
• Джей Джей Сакураи (1993); Современная квантовая механика (пересмотренное издание), ISBN   978-0201539295 .

Внешние ссылки

• Педагогические пособия по квантовой теории поля. Щелкните ссылку, чтобы перейти к гл. 2, чтобы найти обширное и упрощенное введение в картину Гейзенберга.
• Некоторые расширенные выводы и пример гармонического осциллятора в картине Гейзенберга [1]
• Оригинальная переведенная статья Гейзенберга (хотя и трудная для чтения, она содержит пример ангармонического осциллятора): Источники квантовой механики Б.Л. Ван Дер Варден [2]
• Расчеты для атома водорода в представлении Гейзенберга взяты из статьи Паули [3]