Квантовая коррекция ошибок

Квантовая коррекция ошибок ( QEC ) — это набор методов, используемых в квантовых вычислениях для защиты квантовой информации от ошибок, вызванных декогеренцией и другим квантовым шумом . Квантовая коррекция ошибок теоретически необходима для достижения отказоустойчивых квантовых вычислений , которые могут уменьшить влияние шума на хранимую квантовую информацию, неисправные квантовые вентили, ошибочную подготовку квантового состояния и ошибочные измерения. Эффективная квантовая коррекция ошибок позволит квантовым компьютерам с низкой точностью кубитов выполнять алгоритмы более высокой сложности или большей глубины схемы .

Классическая коррекция ошибок часто использует избыточность . Самый простой, хотя и неэффективный подход — это код повторения . Код повторения хранит желаемую (логическую) информацию в виде нескольких копий и, если позже обнаруживается, что эти копии не совпадают из-за ошибок, внесенных в систему, большинством голосов определяет наиболее вероятное значение исходных данных. Например, предположим, что мы копируем бит в состоянии «один» (включено) три раза. Предположим далее, что шум в системе вносит ошибку, которая искажает трехбитное состояние, так что один из скопированных битов становится нулевым (выключен), а два других остаются равными единице. Предполагая, что ошибки независимы и происходят с некоторой достаточно низкой вероятностью p , наиболее вероятно, что ошибка представляет собой однобитовую ошибку, а предполагаемое сообщение состоит из трех битов в одном состоянии. Возможно, что произойдет двухбитовая ошибка и переданное сообщение будет равно трем нулям, но такой исход менее вероятен, чем приведенный выше исход. В этом примере логическая информация представляет собой один бит в одном состоянии, а физическая информация — это три повторяющихся бита. Создание физического состояния, которое представляет собой логическое состояние, называется Кодирование и определение того, какое логическое состояние закодировано в физическом состоянии, называется декодированием . Подобно классической коррекции ошибок, коды QEC не всегда правильно декодируют логические кубиты, а вместо этого уменьшают влияние шума на логическое состояние.

Копирование квантовой информации невозможно из-за теоремы о запрете клонирования . Эта теорема, по-видимому, представляет собой препятствие для формулирования теории квантовой коррекции ошибок. Но возможно распространить (логическую) информацию одного логического кубита на сильно запутанное состояние нескольких (физических) кубитов. Питер Шор первым обнаружил этот метод формулирования квантового кода исправления ошибок путем сохранения информации одного кубита в сильно запутанном состоянии девяти кубитов.

При классической коррекции ошибок синдромное декодирование используется для диагностики того, какая ошибка была вероятным источником повреждения закодированного состояния. Затем ошибку можно исправить, применив корректирующую операцию, основанную на синдроме. Квантовая коррекция ошибок также использует синдромные измерения. Он выполняет многокубитное измерение, которое не нарушает квантовую информацию в закодированном состоянии, но извлекает информацию об ошибке. В зависимости от используемого кода QEC измерение синдрома может определить возникновение, местоположение и тип ошибок. В большинстве кодов QEC типом ошибки является либо переворот бита, либо переворот знака (фазы ) , либо и то, и другое (что соответствует матрицам Паули X, Z и Y). Измерение синдрома имеет проективный эффект квантового измерения , поэтому даже если ошибка из-за шума была произвольной, ее можно выразить как комбинацию базисных операций, называемую базисом ошибок (который задается матрицами Паули и личность ). Чтобы исправить ошибку, на поврежденном кубите используется оператор Паули, соответствующий типу ошибки, чтобы отменить эффект ошибки.

Измерение синдрома предоставляет информацию о произошедшей ошибке, а не об информации, которая хранится в логическом кубите — так как в противном случае измерение разрушило бы любую квантовую суперпозицию этого логического кубита с другими кубитами в квантовом компьютере , что помешало бы этому произойти. от использования для передачи квантовой информации.

Код переворота битов

Код повторения работает в классическом канале, поскольку классические биты легко измерить и повторить. Этот подход не работает для квантового канала, в котором из-за теоремы о запрете клонирования невозможно повторить один кубит три раза. Чтобы преодолеть эту проблему, необходимо использовать другой метод, например трехкубитный флип-код, впервые предложенный Ашером Пересом в 1985 году. Этот метод использует измерения запутанности и синдрома и сравним по производительности с кодом повторения.

Квантовая схема битового флип-кода

Рассмотрим ситуацию, в которой мы хотим передать состояние одного кубита. $\vert \psi \rangle$ через шумный канал ${\mathcal {E}}$. Предположим, кроме того, что этот канал либо переворачивает состояние кубита с вероятностью $p$, или оставляет его без изменений. Действие ${\mathcal {E}}$ на общем входе $\rho$ поэтому можно записать как ${\mathcal {E}}(\rho )=(1-p)\rho +p\ X\rho X$.

Позволять $|\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle$ быть квантовым состоянием, которое будет передано. Без протокола исправления ошибок передаваемое состояние будет передано правильно с вероятностью $1-p$. Однако мы можем улучшить это число, закодировав состояние в большее количество кубитов, чтобы можно было обнаружить и исправить ошибки в соответствующих логических кубитах. В случае простого трехкубитного кода повторения кодирование состоит в отображениях $\vert 0\rangle \rightarrow \vert 0_{\rm {L}}\rangle \equiv \vert 000\rangle$ и $\vert 1\rangle \rightarrow \vert 1_{\rm {L}}\rangle \equiv \vert 111\rangle$. Состояние ввода $\vert \psi \rangle$ закодировано в состояние $\vert \psi '\rangle =\alpha _{0}\vert 000\rangle +\alpha _{1}\vert 111\rangle$. Это отображение может быть реализовано, например, с использованием двух вентилей CNOT, запутывающих систему двумя вспомогательными кубитами, инициализированными в состоянии $\vert 0\rangle$. Закодированное состояние $\vert \psi '\rangle$ это то, что сейчас проходит через шумный канал.

Канал действует по $\vert \psi '\rangle$ перевернув некоторое подмножество (возможно, пустое) его кубитов. Ни один кубит не переворачивается с вероятностью $(1-p)^{3}$, одиночный кубит переворачивается с вероятностью $3p(1-p)^{2}$, два кубита переворачиваются с вероятностью $3p^{2}(1-p)$, и все три кубита переворачиваются с вероятностью $p^{3}$. Заметим, что здесь делается еще одно предположение о канале: мы предполагаем, что ${\mathcal {E}}$ действует одинаково и независимо на каждый из трех кубитов, в которых теперь закодировано состояние. Проблема теперь в том, как обнаружить и исправить такие ошибки, не испортив при этом передаваемое состояние .

Сравнение минимальной точности вывода с коррекцией ошибок (красный) и без (синий) с помощью трехкубитного флип-кода. Обратите внимание, как для $p\leq 1/2$, схема исправления ошибок повышает точность воспроизведения.

Предположим для простоты, что $p$ настолько мал, что вероятность переворота более чем одного кубита незначительна. Затем можно определить, был ли кубит перевернут, не запрашивая при этом передаваемые значения, задав вопрос, отличается ли один из кубитов от других. Это равнозначно выполнению измерения с четырьмя различными результатами, соответствующими следующим четырем проективным измерениям:

$${\begin{aligned}P_{0}&=|000\rangle \langle 000|+|111\rangle \langle 111|,\\P_{1}&=|100\rangle \langle 100|+|011\rangle \langle 011|,\\P_{2}&=|010\rangle \langle 010|+|101\rangle \langle 101|,\\P_{3}&=|001\rangle \langle 001|+|110\rangle \langle 110|.\end{aligned}}$$

Это показывает, какие кубиты отличаются от других, но в то же время не дает информации о состоянии самих кубитов. Если результат, соответствующий $P_{0}$ получена, коррекция не применяется, а если результат, соответствующий $P_{i}$ наблюдается, то вентиль Паули X применяется к $i$-й кубит. Формально данная процедура коррекции соответствует применению к выходу канала следующей карты:

$${\mathcal {E}}_{\operatorname {corr} }(\rho )=P_{0}\rho P_{0}+\sum _{i=1}^{3}X_{i}P_{i}\rho \,P_{i}X_{i}.$$

Обратите внимание: хотя эта процедура прекрасно корректирует выходной сигнал, когда канал вводит ноль или один инверт, если инвертируется более одного кубита, выходной сигнал не корректируется должным образом. Например, если первый и второй кубиты перевернуты, то измерение синдрома дает результат $P_{3}$, и переворачивается третий кубит вместо первых двух. Чтобы оценить производительность этой схемы исправления ошибок для общего ввода, мы можем изучить точность $F(\psi ')$ между входом $\vert \psi '\rangle$ и вывод $\rho _{\operatorname {out} }\equiv {\mathcal {E}}_{\operatorname {corr} }({\mathcal {E}}(\vert \psi '\rangle \langle \psi '\vert ))$. Будучи выходным состоянием $\rho _{\operatorname {out} }$ правильно, когда переворачивается не более одного кубита, что происходит с вероятностью $(1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}$, мы можем написать это как $[(1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}]\,\vert \psi '\rangle \langle \psi '\vert +(...)$, где точки обозначают компоненты $\rho _{\operatorname {out} }$ возникшие в результате ошибок, не исправленных протоколом должным образом. Отсюда следует, что

$$F(\psi ')=\langle \psi '\vert \rho _{\operatorname {out} }\vert \psi '\rangle \geq (1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}=1-3p^{2}+2p^{3}.$$

Эту точность следует сравнивать с соответствующей точностью, полученной без использования протокола исправления ошибок, которая, как было показано ранее, равна ${1-p}$. Немного алгебры показывает, что точность после исправления ошибок выше, чем без for. $p<1/2$. Обратите внимание, что это согласуется с рабочим предположением, которое было сделано при составлении протокола ( $p$ достаточно мал).

Подписать флип-код

Квантовая схема кода переворота фазы

Перевернутые биты — единственный вид ошибки в классическом компьютере, но в квантовых компьютерах существует и другая возможность ошибки — переворот знака. Благодаря передаче в канале относительный знак между $|0\rangle$ и $|1\rangle$ может стать перевернутым. Например, кубит в состоянии $|-\rangle =(|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}$ может иметь перевернутый знак на $|+\rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}.$

Исходное состояние кубита

$$|\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle$$

будет преобразован в состояние

$$|\psi '\rangle =\alpha _{0}|{+}{+}{+}\rangle +\alpha _{1}|{-}{-}{-}\rangle .$$

В базисе Адамара смена битов становится сменой знака, а смена знака становится сменой бита. Позволять $E_{\text{phase}}$ быть квантовым каналом, который может вызвать не более одного переворота фазы. Тогда приведенный выше код переворота битов может восстановиться. $|\psi \rangle$ путем преобразования в базис Адамара до и после передачи через $E_{\text{phase}}$.

Шоркод

Канал ошибок может вызывать либо смену бита, либо смену знака (т. е. смену фазы), либо и то, и другое. Оба типа ошибок в логическом кубите можно исправить с помощью хорошо продуманного кода QEC. Одним из примеров кодекса, который делает это, является кодекс Шора, опубликованный в 1995 году. Поскольку эти два типа ошибок являются единственными типами ошибок, которые могут возникнуть после проективного измерения, код Шора исправляет произвольные однокубитные ошибки.

Квантовая схема для кодирования одного логического кубита с помощью кода Шора и последующего исправления ошибок переворота битов в каждом из трех блоков.

Позволять $E$ быть квантовым каналом , который может произвольно испортить один кубит. 1-й, 4-й и 7-й кубиты предназначены для кода переворота знака, а три группы кубитов (1,2,3), (4,5,6) и (7,8,9) предназначены для переворота битов. код. С помощью кода Шора состояние кубита $|\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle$ преобразуется в произведение 9 кубитов $|\psi '\rangle =\alpha _{0}|0_{S}\rangle +\alpha _{1}|1_{S}\rangle$, где

$$|0_{\rm {S}}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )$$

$$|1_{\rm {S}}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )$$

Если с кубитом происходит ошибка переворота битов, анализ синдрома будет выполняться для каждого блока кубитов (1,2,3), (4,5,6) и (7,8,9) для обнаружения и исправления. максимальная ошибка переворота в один бит в каждом блоке.

Если трехбитовую группу переворота (1,2,3), (4,5,6) и (7,8,9) рассматривать как три входа, то схему кода Шора можно свести к коду переворота знака. Это означает, что код Шора также может исправить ошибку смены знака для одного кубита.

Код Шора также может исправлять любые произвольные ошибки (как переворот битов, так и переворот знаков) в одном кубите. Если ошибка моделируется унитарным преобразованием U, которое будет действовать на кубит $|\psi \rangle$, затем $U$ можно описать в виде

$$U=c_{0}I+c_{1}X+c_{2}Y+c_{3}Z$$

где $c_{0}$, $c_{1}$, $c_{2}$, и $c_{3}$ — комплексные константы, I — единица, а матрицы Паули имеют вид

$${\begin{aligned}X&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\\Y&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}};\\Z&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$$

Если U равно I , то ошибки не возникает. Если $U=X$, происходит небольшая ошибка переворота. Если $U=Z$, возникает ошибка переворота знака. Если $U=iY$ тогда возникают как ошибка переворота бита, так и ошибка переворота знака. Другими словами, код Шора может исправить любую комбинацию битовых или фазовых ошибок в одном кубите.

Бозонные коды

Было сделано несколько предложений по хранению исправляемой квантовой информации в бозонных модах. В отличие от двухуровневой системы, квантовый гармонический осциллятор имеет бесконечное количество энергетических уровней в одной физической системе. Коды для этих систем включают cat, Готтесман-Китаев-Прескилл (ГКП), и биномиальные коды. Одна из идей, предлагаемых этими кодами, заключается в том, чтобы воспользоваться избыточностью внутри одной системы, а не дублировать множество двухуровневых кубитов.

Биномиальный код

записанное в базисе Фока Простейшее биномиальное кодирование, , имеет вид

$$|0_{\rm {L}}\rangle ={\frac {|0\rangle +|4\rangle }{\sqrt {2}}},\quad |1_{\rm {L}}\rangle =|2\rangle ,$$

где индекс L указывает на «логически закодированное» состояние. Тогда, если доминирующим механизмом ошибок системы является стохастическое применение оператора опускания бозона ${\hat {a}},$ соответствующие состояния ошибок: $|3\rangle$ и $|1\rangle ,$ соответственно. Поскольку кодовые слова включают только четное количество фотонов, а состояния ошибки включают только нечетное количество фотонов, ошибки можно обнаружить путем измерения четности числа фотонов в системе. Измерение нечетной четности позволит внести исправления путем применения соответствующей унитарной операции без знания конкретного логического состояния кубита. Однако приведенный выше конкретный биномиальный код не устойчив к двухфотонной потере.

Кошачий код

Состояния кота Шредингера , суперпозиции когерентных состояний, также могут использоваться в качестве логических состояний для кодов исправления ошибок. Кошачий код, реализованный Ofek et al. в 2016 году определили два набора логических состояний: $\{|0_{L}^{+}\rangle ,|1_{L}^{+}\rangle \}$ и $\{|0_{L}^{-}\rangle ,|1_{L}^{-}\rangle \}$, где каждое из состояний является суперпозицией когерентного состояния следующим образом

$${\begin{aligned}|0_{L}^{+}\rangle &\equiv |\alpha \rangle +|-\alpha \rangle ,\\|1_{L}^{+}\rangle &\equiv |i\alpha \rangle +|-i\alpha \rangle ,\\|0_{L}^{-}\rangle &\equiv |\alpha \rangle -|-\alpha \rangle ,\\|1_{L}^{-}\rangle &\equiv |i\alpha \rangle -|-i\alpha \rangle .\end{aligned}}$$

Эти два набора состояний отличаются от четности числа фотонов, поскольку состояния обозначаются $^{+}$ занимают только состояния с четным числом фотонов и состояния с $^{-}$ указывают, что они имеют нечетную четность. Подобно биномиальному коду, если доминирующим механизмом ошибок системы является стохастическое применение оператора бозонного понижения ${\hat {a}}$, ошибка переносит логические состояния из подпространства четной четности в нечетное, и наоборот. Таким образом, ошибки однофотонной потери могут быть обнаружены путем измерения оператора четности числа фотонов. $\exp(i\pi {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})$ с использованием дисперсионно связанного вспомогательного кубита.

Тем не менее, кошачьи кубиты не защищены от двухфотонной потери. ${\hat {a}}^{2}$, дефазирующий шум ${\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$, ошибка усиления фотонов ${\hat {a}}^{\dagger }$, и т. д.

Общие коды

В общем, квантовый код для квантового канала ${\mathcal {E}}$ это подпространство ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {H}}$, где ${\mathcal {H}}$ - это гильбертово пространство состояний, такое, что существует еще один квантовый канал ${\mathcal {R}}$ с

$$({\mathcal {R}}\circ {\mathcal {E}})(\rho )=\rho \quad \forall \rho =P_{\mathcal {C}}\rho P_{\mathcal {C}},$$

где $P_{\mathcal {C}}$ ортогональная проекция на ${\mathcal {C}}$. Здесь ${\mathcal {R}}$ называется операцией коррекции .

Невырожденный код — это такой код, для которого различные элементы множества корректируемых ошибок дают линейно независимые результаты при применении к элементам кода. Если различные из множества исправимых ошибок дают ортогональные результаты, код считается чистым .

Модели

Со временем исследователи придумали несколько кодов:

• 9-кубитный код Питера Шора , также известный как код Шора, кодирует 1 логический кубит в 9 физических кубитов и может исправлять произвольные ошибки в одном кубите.
• Эндрю Стин нашел код, который делает то же самое с 7 кубитами вместо 9, см. Код Стина .
• Рэймонд Лафламм и его коллеги нашли класс 5-кубитных кодов, которые делают то же самое и которые также обладают свойством отказоустойчивости . Код из 5 кубитов — это наименьший возможный код, который защищает один логический кубит от ошибок одного кубита.
• Обобщение техники, использованной Стином для разработки 7-кубитного кода из классического [7, 4] кода Хэмминга , привело к построению важного класса кодов, названных CSS-кодами , названных в честь их изобретателей: Роберта Калдербанка , Питер Шор и Эндрю Стин . Согласно квантовой границе Хэмминга, для кодирования одного логического кубита и обеспечения произвольного исправления ошибок в одном кубите требуется минимум 5 физических кубитов.
• Более общий класс кодов (включающий первый) — это коды-стабилизаторы, открытые Дэниелом Готтесманом , Робертом Калдербанком , Эриком Рейнсом , Питером Шором и Н.Дж.А. Слоаном ; их также называют аддитивными кодами .
• Двумерные коды Бэкона-Шора представляют собой семейство кодов, параметризованных целыми числами m и n . Есть нм- кубиты, расположенные в квадратной решетке.
• Алексея Китаева , Топологические квантовые коды представленные в 1997 году как торический код , и более общая идея топологического квантового компьютера лежат в основе различных типов кодов.
• Тодд Брун , Игорь Деветак и Мин-Сю Се также построили формализм стабилизатора с использованием запутанности как расширение стандартного формализма стабилизатора , который включает квантовую запутанность, разделяемую между отправителем и получателем.
• Идеи кодов стабилизатора, CSS-кодов и топологических кодов можно расширить до двумерного кода плоской поверхности , различные типы которого существуют. По состоянию на июнь 2024 года двумерный код плоской поверхности обычно считается наиболее хорошо изученным типом квантовой коррекции ошибок и одним из ведущих претендентов на практическое использование в квантовых вычислениях.

То, что эти коды действительно допускают квантовые вычисления произвольной длины, является содержанием квантовой пороговой теоремы , найденной Майклом Бен-Ором и Дорит Аароновой , которая утверждает, что вы можете исправить все ошибки, если вы объедините квантовые коды, такие как коды CSS: т.е. повторно закодировать каждый логический кубит тем же кодом и так далее на логарифмическом числе уровней — при условии , что частота ошибок отдельных квантовых вентилей ниже определенного порога; в противном случае попытки измерить синдром и исправить ошибки приведут к появлению большего количества новых ошибок, чем их можно исправить.

По оценкам, на конец 2004 года этот порог может достигать 1–3%. при условии, что доступно достаточно много кубитов .

Экспериментальная реализация

Было несколько экспериментальных реализаций кодов на основе CSS. Первая демонстрация была с использованием кубитов ядерного магнитного резонанса . Впоследствии были проведены демонстрации с использованием линейной оптики. захваченные ионы, и сверхпроводящие ( трансмонные ) кубиты.

В 2016 году время жизни квантового бита было впервые продлено с помощью кода QEC. Демонстрация исправления ошибок была выполнена на состояниях кота Шредингера, закодированных в сверхпроводящем резонаторе, и использовала квантовый контроллер, способный выполнять операции обратной связи в реальном времени, включая считывание квантовой информации, ее анализ и исправление обнаруженных ошибок. . Работа продемонстрировала, как система с исправлением квантовых ошибок достигает точки безубыточности, при которой время жизни логического кубита превышает время жизни основных компонентов системы (физических кубитов).

Также были реализованы другие коды исправления ошибок, например код, направленный на исправление потерь фотонов, основного источника ошибок в схемах фотонных кубитов.

В 2021 году запутанный шлюз между двумя логическими кубитами, закодированными в топологических квантовых кодах исправления ошибок, впервые был реализован с использованием 10 ионов в квантовом компьютере с захваченными ионами . В 2021 году также была проведена первая экспериментальная демонстрация отказоустойчивого кода Бэкона-Шора на одном логическом кубите системы с захваченными ионами, то есть демонстрация, для которой добавление исправления ошибок способно подавить больше ошибок, чем вносят необходимые накладные расходы. реализовать коррекцию ошибок, а также отказоустойчивый код Стина .

В 2022 году исследователи из Инсбрукского университета продемонстрировали отказоустойчивый универсальный набор вентилей на двух логических кубитах в квантовом компьютере с захваченными ионами. Они выполнили логический двухкубитный вентиль «управляемое НЕ» между двумя экземплярами семикубитного цветового кода и отказоустойчиво подготовили логическое магическое состояние .

В феврале 2023 года исследователи из Google заявили, что уменьшили квантовые ошибки за счет увеличения числа кубитов в экспериментах. Они использовали отказоустойчивый поверхностный код, измеряющий частоту ошибок 3,028% и 2,914% для массива кубитов с расстоянием 3 и кубита с расстоянием 5. массив соответственно.

четности

В 2022 году исследования в Инженерно-технологическом университете Лахора продемонстрировали устранение ошибок путем установки однокубитных вентилей вращения оси Z в стратегически выбранные места сверхпроводниковых квантовых цепей. Было показано, что эта схема эффективно исправляет ошибки, которые в противном случае быстро накапливались бы из-за конструктивного вмешательства когерентного шума. Это схема калибровки на уровне схемы, которая отслеживает отклонения (например, резкие провалы или провалы) на кривой декогеренции для обнаружения и локализации когерентной ошибки, но не требует измерения кодирования или четности. Однако необходимы дальнейшие исследования, чтобы установить эффективность этого метода для некогерентного шума.

См. также

• Обнаружение и исправление ошибок
• Программная ошибка

Дальнейшее чтение

• Дэниел Лидар и Тодд Брун, изд. (2013). Квантовая коррекция ошибок . Издательство Кембриджского университета.
• Ла Гуардиа, Джулиано Гадиоли, изд. (2020). Квантовая коррекция ошибок: симметричные, асимметричные, синхронизируемые и сверточные коды . Спрингер Природа.
• Фрэнк Гейтан (2008). Квантовая коррекция ошибок и отказоустойчивые квантовые вычисления . Тейлор и Фрэнсис.
• Фридман, Майкл Х.; Мейер, Дэвид А.; Ло, Фэн (2002). «Z ₂ - Систолическая свобода и квантовые коды». Математика квантовых вычислений . Вычислить. Математика. Сер. Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC. стр. 287–320.
• Фридман, Майкл Х.; Мейер, Дэвид А. (1998). «Проективная плоскость и плоские квантовые коды». Найденный. Вычислить. Математика . 2001 (3): 325–332. arXiv : Quant-ph/9810055 . Бибкод : 1998quant.ph.10055F .

Внешние ссылки

• «Прорыв в квантовой коррекции ошибок может привести к созданию крупномасштабных квантовых компьютеров» .
• «Топологическая квантовая коррекция ошибок» . Квантовый Свет . Университет Шеффилда. 28 сентября 2018 г. Архивировано из оригинала 22 декабря 2021 г. – на YouTube .