Систолическая свобода

В дифференциальной геометрии систолическая свобода относится к тому факту, что замкнутые римановы многообразия могут иметь сколь угодно малый объем независимо от их систолических инвариантов.То есть систолические инварианты или произведения систолических инвариантов, как правило, не обеспечивают универсальных (т.е. не имеющих кривизны) нижних оценок общего объема замкнутого риманова многообразия.

Систолическая свобода была впервые обнаружена Михаилом Громовым в исследовании IHÉ.S. препринт 1992 года (который в итоге появился как «Громов 1996 ») и получил дальнейшее развитие Михаила Каца , Майкла Фридмана и других. Наблюдение Громова было развито Марселем Бергером ( 1993 ). Одна из первых публикаций, подробно изучающих систолическую свободу, принадлежит Кацу (1995) .

Систолическая свобода находит применение в квантовой коррекции ошибок . Croke & Katz (2003) рассматривают основные результаты по систолической свободе.

Пример

Комплексная проективная плоскость допускает римановы метрики сколь угодно малого объема, такие, что каждая существенная поверхность имеет площадь не менее 1. Здесь поверхность называется «существенной», если ее нельзя стянуть в точку объемлющего 4-многообразия.

Систолическое ограничение

Противоположностью систолической свободы является систолическое ограничение, характеризующееся наличием систолических неравенств, таких как систолическое неравенство Громова для существенных многообразий .

Ссылки

• Бергер, Марсель (1993), «Систолы и приложения по Громову», Семинар Бурбаки (на французском языке), 1992/93 . Звездочка 216, Эксп. № 771, 5, 279–310.
• Крок, Кристофер Б.; Кац, Михаил (2003), «Универсальные границы объема в римановых многообразиях», Обзоры по дифференциальной геометрии, VIII (Бостон, Массачусетс, 2002) , Сомервилл, Массачусетс: Int. Пресс, стр. 109–137 .
• Фридман, Майкл Х. (1999), « Z ₂ -систолическая свобода», Proceedings of the Kirbyfest (Беркли, Калифорния, 1998) , Geom. Тополь. Моногр., вып. 2, Ковентри: Геом. Тополь. Опубл., стр. 113–123 .
• Фридман, Майкл Х .; Мейер, Дэвид А.; Луо, Фэн (2002), « Z ₂ -систолическая свобода и квантовые коды», Математика квантовых вычислений , Comput. Математика. Ser., Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC, стр. 287–320 .
• Фридман, Майкл Х .; Мейер, Дэвид А. (2001), Проективная плоскость и плоские квантовые коды, журнал = Найдено. Вычислить. Математика. , том. 1, стр. 325–332 .
• Громов, Михаил (1996), «Систолы и межсистолические неравенства», Материалы круглого стола по дифференциальной геометрии (Luminy, 1992) , Семин. Конгресс, том. 1, Париж: Сок. Математика. Франция, с. 291–362 .
• Кац, Михаил (1995), «Контрпримеры к изосистолическим неравенствам», Геом. Dedicata , 57 (2): 195–206, doi : 10.1007/bf01264937 , S2CID   11211702 .