Неравенство Громова для комплексного проективного пространства

В римановой геометрии оптимальным неравенством Громова устойчивым 2- систолическим является неравенство

$\mathrm {stsys} _{2}{}^{n}\leq n!\;\mathrm {vol} _{2n}(\mathbb {CP} ^{n})$,

справедливо для произвольной римановой метрики в комплексном проективном пространстве , где достигается оптимальная оценка симметричной метрикой Фубини–Студи , обеспечивающей естественную геометризацию квантовой механики . Здесь $\operatorname {stsys_{2}}$ – стабильная 2-систола, которую в данном случае можно определить как нижнюю границу площадей рациональных 2-циклов, представляющих класс комплексной проективной прямой $\mathbb {CP} ^{1}\subset \mathbb {CP} ^{n}$ в двумерной гомологии.

Неравенство впервые появилось у Громова (1981) как теорема 4.36.

Доказательство неравенства Громова опирается на неравенство Виртингера для внешних 2-форм .

Проективные плоскости над алгебрами с делением $\mathbb {R,C,H}$

В частном случае n=2 неравенство Громова принимает вид $\mathrm {stsys} _{2}{}^{2}\leq 2\mathrm {vol} _{4}(\mathbb {CP} ^{2})$. Это неравенство можно рассматривать как аналог неравенства Пу для вещественной проективной плоскости. $\mathbb {RP} ^{2}$. В обоих случаях граничный случай равенства достигается симметричной метрикой проективной плоскости. В то же время в кватернионном случае симметричная метрика на $\mathbb {HP} ^{2}$ не является его систолически оптимальным показателем. Другими словами, многообразие $\mathbb {HP} ^{2}$ допускает римановы метрики с более высоким систолическим отношением $\mathrm {stsys} _{4}{}^{2}/\mathrm {vol} _{8}$ чем для его симметричной метрики ( Bangert et al. 2009 ).

См. также

• Неравенство тора Лёвнера
• Неравенство Пу
• Gromov's inequality (disambiguation)
• Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий.
• Систолическая геометрия

Ссылки

• Бангерт, Виктор; Кац, Михаил Георгиевич; Шнайдер, Стив; Вайнбергер, Шмуэль (2009). « Е ₇ , неравенства Виртингера, 4-форма Кэли и гомотопия». Математический журнал Дьюка . 146 (1): 35–70. arXiv : math.DG/0608006 . дои : 10.1215/00127094-2008-061 . МР   2475399 . S2CID   2575584 .
• Громов, Михаил (1981). Ж. Лафонтен; П. Пансу. (ред.). многообразий римановых Метрические структуры . Математические тексты (на французском языке). Полет. 1. Париж: СЕДИК. ISBN  2-7124-0714-8 . МР   0682063 .
• Кац, Михаил Георгиевич (2007). Систолическая геометрия и топология . Математические обзоры и монографии. Том. 137. С приложением Джейка П. Соломона. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 19. дои : 10.1090/surv/137 . ISBN  978-0-8218-4177-8 . МР   2292367 .