Неравенство Виртингера (2-формы)

Чтобы узнать о других неравенствах, названных в честь Виртингера, см. Неравенство Виртингера .

В математике неравенство Виртингера , названное в честь Вильгельма Виртингера , является фундаментальным результатом в комплексной линейной алгебре , который связывает симплектическую и объемную формы эрмитова скалярного произведения . Это имеет важные последствия в сложной геометрии , например, показывает, что нормированные внешние степени кэлеровой формы кэлерова многообразия являются калибровками .

Заявление

Рассмотрим вещественное векторное пространство с положительно определенным скалярным произведением g , симплектической формой ω и почти комплексной структурой J , связанными соотношением ω ( u , v ) = g ( J ( u ), v ) для любых векторов u и v . Тогда для любых ортонормированных векторов v ₁ , ..., v _{2 k} существует

$(\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(v_{1},\ldots ,v_{2k})\leq k!.$

Равенство существует тогда и только тогда, когда промежуток v ₁ , ..., v _{2 k} замкнут по отношению к действию J .

На языке запятой формы теорему Виртингера (хотя и без уточнения того, когда достигается равенство) можно также сформулировать так, что запятая формы ω ∧ ⋅⋅⋅ ∧ ω равна k ! .

Доказательство

к = 1

В частном случае k = 1 неравенство Виртингера является частным случаем неравенства Коши – Шварца :

$\omega (v_{1},v_{2})=g(J(v_{1}),v_{2})\leq \|J(v_{1})\|_{g}\|v_{2}\|_{g}=1.$

Согласно случаю равенства неравенства Коши-Шварца, равенство возникает тогда и только тогда, когда J ( v ₁ ) и v ₂ лежат на одной прямой, что эквивалентно тому, что промежутки v ₁ , v ₂ замкнуты относительно J .

к > 1

Пусть v ₁ , ..., v _{2 k} фиксированы, и пусть T обозначает их пролет. Тогда существует ортонормированный базис e ₁ , ..., e _{2 k} группы T с двойственным базисом w ₁ , ..., w _{2 k} такой, что

$\iota ^{\ast }\omega =\sum _{j=1}^{k}\omega (e_{2j-1},e_{2j})w_{2j-1}\wedge w_{2j},$

где ι обозначает отображение включения из T в V . Это подразумевает

$\underbrace {\iota ^{\ast }\omega \wedge \cdots \wedge \iota ^{\ast }\omega } _{k{\text{ times}}}=k!\prod _{i=1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{2k},$

что, в свою очередь, подразумевает

$(\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(e_{1},\ldots ,e_{2k})=k!\prod _{i=1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})\leq k!,$

где неравенство следует из ранее установленного случая k = 1 . Если равенство имеет место, то в соответствии со случаем равенства k = 1 должно быть так, что ω ( e _{2 i - 1} , e _{2 i} ) = ±1 для каждого i . Это эквивалентно либо ω ( e _{2 i − 1} , e _{2 i} ) = 1 , либо ω ( e _{2 i} , e _{2 i − 1} ) = 1 , что в любом случае (из случая k = 1 ) означает, что промежуток e _{2 i − 1} , e _{2 i} замкнут относительно J , и, следовательно, промежуток e ₁ , ..., e _{2 k} замкнут относительно J .

Наконец, зависимость величины

$(\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(v_{1},\ldots ,v_{2k})$

на v ₁ , ..., v _{2 k} находится только на величине v ₁ ∧ ⋅⋅⋅ ∧ v _{2 k} , и из условия ортонормированности на v ₁ , ..., v _{2 k} это клиновое произведение хорошо определяется с точностью до знака. Это связывает приведенную выше работу с e ₁ , ..., e _{2 k} с желаемым утверждением в терминах v ₁ , ..., v _{2 k} .

Последствия

Для комплексного многообразия с эрмитовой метрикой из теоремы Виртингера сразу следует, что для любого 2k - мерного вложенного подмногообразия M существует

$\operatorname {vol} (M)\geq {\frac {1}{k!}}\int _{M}\omega ^{k},$

где ω — кэлерова форма метрики. Более того, равенство достигается тогда и только тогда, когда M — комплексное подмногообразие . В частном случае, когда эрмитова метрика удовлетворяет условию Кэлера , это говорит о том, что ⁠ 1 / к ! ⁠ ω ^к является калибровкой базовой римановой метрики и что соответствующие калиброванные подмногообразия являются комплексными подмногообразиями комплексной размерности k . Это, в частности, говорит о том, что каждое комплексное подмногообразие кэлерова многообразия является минимальным подмногообразием и даже минимизирует объем среди всех подмногообразий в своем классе гомологии .

Используя неравенство Виртингера, эти факты распространяются даже на более сложный контекст токов в кэлеровых многообразиях.

См. также

• Неравенство Громова для комплексного проективного пространства
• Систолическая геометрия

Ссылки

• Федерер, Герберт (1969). Геометрическая теория измерений . Основные положения математических наук. Том 153. Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-62010-2 . ISBN  978-3-540-60656-7 . МР   0257325 . Збл   0176.00801 .
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1978). Основы алгебраической геометрии . Чистая и прикладная математика. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . ISBN  0-471-32792-1 . МР   0507725 . Збл   0408.14001 .
• Харви, Риз ; Лоусон, Х. Блейн младший (1982). «Калиброванная геометрия» . Акта Математика . 148 : 47–157. дои : 10.1007/BF02392726 . МР   0666108 . Збл   0584.53021 .
• Макдафф, Дуса ; Саламон, Дитмар (2017). Введение в симплектическую топологию . Оксфордские тексты для выпускников по математике (Третье издание оригинальной редакции 1995 г.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . дои : 10.1093/oso/9780198794899.001.0001 . ISBN  978-0-19-879490-5 . МР   3674984 . Збл   1380.53003 .
• Виртингер, В. (1936). «Определяющая идентичность и ее применение к аналитическим объектам в евклидовом и эрмитовом измерении». Ежемесячные журналы по математике и физике . 44 : 343–365. дои : 10.1007/BF01699328 . МР1550581   . Например,   0015.07602 .