Минимальная поверхность

Не путать с минимальной рациональной поверхностью или минимальной алгебраической поверхностью .

Геликоидная . минимальная поверхность, образованная мыльной пленкой на винтовом каркасе

В математике минимальная поверхность — это поверхность, которая локально минимизирует свою площадь. Это эквивалентно нулевой средней кривизне (см. определения ниже).

Термин «минимальная поверхность» используется потому, что эти поверхности изначально возникли как поверхности, которые минимизировали общую площадь поверхности с учетом некоторых ограничений. Физические модели минимальных поверхностей, минимизирующих площадь, можно создать, погрузив проволочный каркас в мыльный раствор, образуя мыльную пленку , которая представляет собой минимальную поверхность, границей которой является проволочный каркас. Однако этот термин используется для более общих поверхностей, которые могут самопересекаться или не иметь ограничений. Для данного ограничения также может существовать несколько минимальных поверхностей с разными площадями (например, см. «Минимальную поверхность вращения »): стандартные определения относятся только к локальному оптимуму , а не к глобальному оптимуму .

Определения

Седельная башня минимальной поверхности. Хотя любое небольшое изменение поверхности увеличивает ее площадь, существуют другие поверхности с той же границей и меньшей общей площадью.

Минимальные поверхности могут быть определены несколькими эквивалентными способами в $\mathbb {R} ^{3}$. Тот факт, что они эквивалентны, служит демонстрацией того, как минимальная теория поверхности лежит на перекрестке нескольких математических дисциплин, особенно дифференциальной геометрии , вариационного исчисления , теории потенциала , комплексного анализа и математической физики .

Определение локальной наименьшей площади : поверхность $M\subset \mathbb {R} ^{3}$ минимальна тогда и только тогда, когда каждая точка p ∈ M имеет окрестность , ограниченную простой замкнутой кривой, имеющей наименьшую площадь среди всех поверхностей, имеющих одинаковую границу.

Это свойство является локальным: на минимальной поверхности могут существовать области вместе с другими поверхностями меньшей площади, имеющими ту же границу. Это свойство устанавливает связь с мыльными пленками; мыльная пленка, деформированная так, чтобы иметь проволочный каркас в качестве границы, минимизирует площадь.

Вариационное определение : поверхность. $M\subset \mathbb {R} ^{3}$ минимальна тогда и только тогда, когда она является критической точкой площади функционала для всех компактных вариаций .

Это определение делает минимальные поверхности двумерным аналогом геодезических , которые аналогично определяются как критические точки функционала длины.

Плоскости минимальной кривизны поверхности. На минимальной поверхности кривизна вдоль главных плоскостей кривизны равна и противоположна в каждой точке. Это делает среднюю кривизну нулевой.

Определение средней кривизны : Поверхность $M\subset \mathbb {R} ^{3}$ минимальна тогда и только тогда, когда ее средняя кривизна равна нулю во всех точках.

Прямым следствием этого определения является то, что каждая точка на поверхности является седловой точкой с равными и противоположными главными кривизнами . Кроме того, это превращает минимальные поверхности в статические решения потока средней кривизны . По уравнению Юнга-Лапласа средняя кривизна мыльной пленки пропорциональна разнице давлений между сторонами. Если мыльная пленка не охватывает область, то ее средняя кривизна будет равна нулю. Напротив, сферический мыльный пузырь заключает в себе область, давление которой отличается от давления внешней области, и поэтому не имеет нулевой средней кривизны.

Определение дифференциального уравнения : поверхность $M\subset \mathbb {R} ^{3}$ минимальна тогда и только тогда, когда ее можно локально выразить как график решения задачи

$(1+u_{x}^{2})u_{yy}-2u_{x}u_{y}u_{xy}+(1+u_{y}^{2})u_{xx}=0$

Уравнение в частных производных в этом определении было первоначально найдено в 1762 году Лагранжем : а Жан Батист Мёнье в 1776 году обнаружил, что это подразумевает исчезновение средней кривизны.

Определение энергии : конформное погружение. $X:M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ минимальна тогда и только тогда, когда она является критической точкой энергии Дирихле для всех вариаций с компактным носителем или, что то же самое, если какая-либо точка $p\in M$ имеет окрестность с наименьшей энергией относительно своей границы.

Это определение связывает минимальные поверхности с гармоническими функциями и теорией потенциала .

Гармоническое определение : если $X=(x_{1},x_{2},x_{3}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ является изометрическим погружением римановой поверхности в 3-пространство, то $X$ называется минимальным всякий раз, когда $x_{i}$ является гармонической функцией на $M$ для каждого $i$.

Прямым следствием этого определения и максимума для гармонических функций что является то , в принципа $\mathbb {R} ^{3}$.

Определение карты Гаусса : поверхность $M\subset \mathbb {R} ^{3}$ минимально тогда и только тогда, когда его стереографически спроецированное отображение Гаусса $g:M\rightarrow \mathbb {C} \cup {\infty }$ мероморфен относительно основной структуры римановой поверхности и $M$ не является частью сферы.

В этом определении используется то, что средняя кривизна составляет половину следа оператора , формы который связан с производными карты Гаусса. Если спроецированное отображение Гаусса подчиняется уравнениям Коши – Римана , то либо след исчезает, либо каждая точка M является омбилической , и в этом случае это часть сферы.

Локальные определения наименьшей площади и вариационные определения позволяют расширять минимальные поверхности на другие римановы многообразия, кроме $\mathbb {R} ^{3}$.

История

Теория минимальной поверхности берет свое начало от Лагранжа , который в 1762 году рассмотрел вариационную задачу нахождения поверхности. $z=z(x,y)$наименьшей площади, растянутой по заданному замкнутому контуру. Он вывел уравнение Эйлера – Лагранжа для решения

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {z_{x}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)+{\frac {d}{dy}}\left({\frac {z_{y}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)=0$

Ему не удалось найти никакого решения за пределами плоскости. В 1776 году Жан Батист Мари Менье обнаружил, что геликоид и катеноид удовлетворяют уравнению и что дифференциальное выражение соответствует удвоенной средней кривизне поверхности, сделав вывод, что поверхности с нулевой средней кривизной минимизируют площадь.

Расширив уравнение Лагранжа до

$\left(1+z_{x}^{2}\right)z_{yy}-2z_{x}z_{y}z_{xy}+\left(1+z_{y}^{2}\right)z_{xx}=0$

Гаспар Монж и Лежандр в 1795 году вывели формулы представления поверхностей решений. Хотя они были успешно использованы Генрихом Шерком в 1830 году для получения своих поверхностей , в целом они считались практически непригодными для использования. Каталонец доказал в 1842/43 году, что геликоид — единственная линейчатая минимальная поверхность.

Прогресс был довольно медленным до середины века, когда проблема Бьёрлинга была решена с использованием сложных методов. Начался «первый золотой век» минимальных поверхностей. Шварц нашел решение проблемы Плато для правильного четырехугольника в 1865 году и для общего четырехугольника в 1867 году (что позволило построить его семейства периодических поверхностей ), используя сложные методы. Вейерштрасс и Эннепер разработали более полезные формулы представления , прочно связав минимальные поверхности со сложным анализом и гармоническими функциями . Другие важные вклады внесли Бельтрами, Бонне, Дарбу, Ли, Риман, Серрет и Вайнгартен.

Между 1925 и 1950 годами возродилась теория минимальных поверхностей, которая теперь в основном нацелена на непараметрические минимальные поверхности. Полное решение проблемы Плато Джесси Дугласом и Тибором Радо стало важной вехой. Важными были также проблема Бернштейна и работа Роберта Оссермана о полных минимальных поверхностях конечной полной кривизны.

Еще одно возрождение началось в 1980-х годах. Одной из причин было открытие Селсо Костой в 1982 году поверхности, которая опровергла гипотезу о том, что плоскость, катеноид и геликоид являются единственными полными вложенными минимальными поверхностями в $\mathbb {R} ^{3}$конечного топологического типа. Это не только стимулировало новые работы по использованию старых параметрических методов, но и продемонстрировало важность компьютерной графики для визуализации изучаемых поверхностей и численных методов решения «проблемы периода» (при использовании метода сопряженных поверхностей для определения участков поверхности, которые можно собраны в более крупную симметричную поверхность, для создания встроенной поверхности необходимо численно сопоставить определенные параметры). Другой причиной стала проверка Х. Керхером того, что тройные периодические минимальные поверхности, первоначально описанные эмпирически Аланом Шоном в 1970 году, действительно существуют. Это привело к появлению богатого зверинца семейств поверхностей и методов создания новых поверхностей из старых, например, путем добавления ручек или их искажения.

В настоящее время теория минимальных поверхностей расширилась до минимальных подмногообразий в других объемлющих геометриях, став актуальной для математической физики (например, гипотеза положительной массы , гипотеза Пенроуза ) и геометрии трех многообразий (например, гипотеза Смита , гипотеза Пуанкаре , геометризация Терстона) . Гипотеза ).

Примеры

Минимальная поверхность Косты

Классические примеры минимальных поверхностей включают в себя:

• плоскость , что является тривиальным случаем
• катеноиды : минимальные поверхности, образованные вращением цепной линии один раз вокруг ее направляющей.
• геликоиды : поверхность, охватываемая линией, вращающейся с равномерной скоростью вокруг оси, перпендикулярной этой линии, и одновременно движущейся вдоль оси с постоянной скоростью.

Поверхности золотого века XIX века включают:

• Минимальные поверхности Шварца : тройно-периодические поверхности , заполняющие $\mathbb {R} ^{3}$
• Минимальная поверхность Римана : посмертно описанная периодическая поверхность.
• Эннепера поверхность
• : поверхность Хеннеберга первая неориентируемая минимальная поверхность
• Минимальная поверхность Бура
• : поверхность Неовиуса тройная периодическая поверхность

Современные поверхности включают в себя:

• Гироид . : одна из поверхностей Шона 1970 года, тройная периодическая поверхность, представляющая особый интерес для структуры жидких кристаллов
• семейство седельных башен : обобщения второй поверхности Шерка
• Минимальная поверхность Косты : опровержение знаменитой гипотезы. Описан в 1982 году Селсо Костой и позже визуализирован Джимом Хоффманом . Джим Хоффман, Дэвид Хоффман и Уильям Микс III затем расширили определение, создав семейство поверхностей с различной вращательной симметрией.
• семейство поверхностей Чена -Гакстаттера , добавляющее ручки к поверхности Эннепера.

Обобщения и ссылки на другие области

Минимальные поверхности могут быть определены в других многообразиях , кроме $\mathbb {R} ^{3}$, такие как гиперболическое пространство , многомерные пространства или римановы многообразия .

Определение минимальных поверхностей можно обобщить/расширить, чтобы охватить поверхности с постоянной средней кривизной : поверхности с постоянной средней кривизной, которая не обязательно равна нулю.

Линии кривизны изотермической поверхности образуют изотермическую сеть.

В дискретной дифференциальной геометрии изучаются дискретные минимальные поверхности: симплициальные комплексы треугольников, минимизирующие свою площадь при малых возмущениях положения их вершин. Такая дискретизация часто используется для численной аппроксимации минимальных поверхностей, даже если выражения в замкнутой форме не известны.

Броуновское движение на минимальной поверхности приводит к вероятностным доказательствам ряда теорем о минимальных поверхностях.

Минимальные поверхности стали областью интенсивных научных исследований, особенно в области молекулярной инженерии и материаловедения , из-за их ожидаемого применения в самосборке сложных материалов. поверхности . Предполагается, что эндоплазматическая сеть, важная структура в клеточной биологии, находится под эволюционным давлением, чтобы соответствовать нетривиальной минимальной

В области общей теории относительности и лоренцевой геометрии значительные расширения и модификации понятия минимальной поверхности, известной как видимые горизонты , имеют важное значение. В отличие от горизонта событий , они представляют собой основанный на кривизне подход к пониманию границ черной дыры .

Цирковая палатка имеет минимальную поверхность.

В качестве палаток можно использовать конструкции с минимальными поверхностями.

Минимальные поверхности являются частью набора инструментов генеративного дизайна, используемого современными дизайнерами. В архитектуре большой интерес вызывают натяжные конструкции , которые тесно связаны с минимальными поверхностями. Яркие примеры можно увидеть в работах Фрея Отто , Сигэру Бана и Захи Хадид . Дизайн Мюнхенского олимпийского стадиона Фрея Отто был вдохновлен мыльными поверхностями. Еще один примечательный пример, также созданный Фреем Отто, — немецкий павильон на выставке «Экспо 67» в Монреале, Канада.

В мире искусства минимальные поверхности широко исследовались в скульптурах Роберта Энгмана (1927–2018), Роберта Лонгхерста (1949–) и Чарльза О. Перри (1929–2011) и других.

См. также

• Проблема Бернштейна
• Билинейная интерполяция
• Поверхность Брайанта
• Кривизна
• Параметризация Эннепера – Вейерштрасса
• Гармоническая карта
• Гармонический морфизм
• Проблема Плато
• Минимальная поверхность Шварца
• Мыльный пузырь
• Поверхность Эволвер
• Метод растянутой сетки
• Натяжная конструкция
• Триждыпериодическая минимальная поверхность
• Структура Вейра – Фелана

Дальнейшее чтение

Учебники

• Р. Курант . Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности. Приложение М. Шиффера. Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк, 1950. xiii+330 стр.
• Х. Блейн Лоусон-младший. Лекции по минимальным подмногообразиям. Том. I. Второе издание. Серия лекций по математике, 9. Publish or Perish, Inc., Уилмингтон, Делавэр, 1980. iv+178 стр. ISBN   0-914098-18-7
• Роберт Оссерман . Обзор минимальных поверхностей. Второе издание. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1986. vi+207 стр. ISBN   0-486-64998-9 , МР 0852409
• Йоханнес CC Ниче. Лекции о минимальных поверхностях. Том. 1. Введение, основы, геометрия и основные краевые задачи. Перевод с немецкого Джерри М. Фейнберга. С немецким предисловием. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1989. xxvi+563 стр. ISBN   0-521-24427-7
• Нисикава, Сэйки (2002). Вариационные задачи геометрии . Переводы математических монографий; Ряд Иванами по современной математике. Том. 205. Перевод Абэ, Кинецу. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0821813560 . ISSN   0065-9282 , перевод с: {{cite book}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

• Аоки Нисикава (1998). Iwanami Лекция Иванами по основам современной математики (на японском языке. Том 28. Токио: Shoten . )  4-00-010642-2 .

• Ульрих Дьеркес, Стефан Хильдебрандт и Фридрих Совиньи. Минимальные поверхности. Переработанное и дополненное второе издание. При содействии и вкладе А. Кюстера и Р. Якоба. Основные доктрины математических наук, 339. Springer, Heidelberg, 2010. xvi+688 стр. ISBN   978-3-642-11697-1 , дои : 10.1007/978-3-642-11698-8 , МИСТЕР 2566897
• Тобиас Холк Колдинг и Уильям П. Миникоцци , II. Курс минимальных поверхностей. Аспирантура по математике, 121. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2011. xii+313 стр. ISBN   978-0-8218-5323-8

Интернет-ресурсы

• Керхер, Герман; Полтье, Конрад (1995). «Прикосновение к мыльным пленкам — знакомство с минимальными поверхностями» . Проверено 27 декабря 2006 г. (графическое введение в минимальные поверхности и мыльные пленки.)
• Яцек Клиновски. «Галерея периодических минимальных поверхностей» . Проверено 2 февраля 2009 г. (Коллекция минимальных поверхностей с классическими и современными примерами)
• Мартин Стеффенс и Кристиан Тейцель. «Библиотека минимальных поверхностей винограда» . Проверено 27 октября 2008 г. (Коллекция минимальных поверхностей)
• Разное (2000). «EG-Модели» . Проверено 28 сентября 2004 г. (Интернет-журнал с несколькими опубликованными моделями минимальных поверхностей)

Внешние ссылки

• «Минимальная поверхность» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Домашняя страница 3D-XplorMath-J — Java-программа и апплеты для интерактивной математической визуализации.
• Галерея вращающихся минимальных поверхностей
• Галерея вращающихся и масштабируемых минимальных поверхностей на основе WebGL.