Минимальная поверхность Шварца
В дифференциальной геометрии минимальные поверхности Шварца — это периодические минимальные поверхности, первоначально описанные Германом Шварцем .
В 1880-х годах Шварц и его ученик Э. Р. Неовиус описали периодические минимальные поверхности. [1] [2] Позже они были названы Аланом Шоном в его плодотворном отчете, в котором описывался гироид и другие трижды периодические минимальные поверхности. [3]
Поверхности были созданы с использованием аргументов симметрии: учитывая решение проблемы Плато для многоугольника, отражения поверхности через граничные линии также создают действительные минимальные поверхности, которые можно непрерывно присоединять к исходному решению. Если минимальная поверхность встречается с плоскостью под прямым углом, то зеркальное изображение в плоскости также можно соединить с поверхностью. Следовательно, при наличии подходящего исходного многоугольника, вписанного в элементарную ячейку, можно построить периодические поверхности. [4]
Поверхности Шварца имеют топологический род 3 — минимальный род трижды периодических минимальных поверхностей. [5]
Они рассматривались как модели периодических наноструктур в блок-сополимерах , электростатических эквипотенциальных поверхностей в кристаллах, [6] и гипотетические отрицательно изогнутые графитовые фазы. [7]
Шварц П («Примитивный»)
[ редактировать ]
Шен назвал эту поверхность «примитивной», потому что она состоит из двух переплетенных конгруэнтных лабиринтов, каждый из которых имеет форму раздутой трубчатой версии простой кубической решетки. Хотя стандартная P-поверхность имеет кубическую симметрию, элементарной ячейкой может быть любой прямоугольный ящик, образующий семейство минимальных поверхностей с одинаковой топологией. [8]
Его можно аппроксимировать неявной поверхностью
- . [9]
Поверхность P рассматривалась для прототипирования тканевых каркасов с высоким соотношением поверхности к объему и пористостью. [10]
Шварц Д («Бриллиант»)
[ редактировать ]
Шен назвал эту поверхность «алмазной», потому что она имеет два переплетенных конгруэнтных лабиринта, каждый из которых имеет форму раздутой трубчатой версии структуры алмазной связи . В литературе ее иногда называют поверхностью F.
Его можно аппроксимировать неявной поверхностью
- .
Существует точное выражение в терминах эллиптических интегралов , основанное на представлении Вейерштрасса . [11]
Шварц Х («Шестиугольный»)
[ редактировать ]
Поверхность H похожа на катеноид с треугольной границей, что позволяет ей замостить пространство.
Schwarz CLP («Скрещенные слои параллелей»)
[ редактировать ]
Иллюстрации
[ редактировать ]- Университет Саскуэханны - Тройно-периодические минимальные поверхности (в архиве)
- Университет Индианы - Тройно-периодические поверхности рода 3 (в архиве)
- Рупрехт-Карлс-Университет Гейдельберга - Двунепрерывные кубические фазы на основе тройных периодических минимальных поверхностей
- Свободный университет Брюсселя - Поверхность Шварца (в архиве)
- Виртуальный музей математики — Галерея минимальных поверхностей 3DXM
Ссылки
[ редактировать ]- ^ HA Шварц, Сборник математических трактатов, Springer, Берлин, 1933.
- ^ Э. Р. Неовиус, «Определение двух специальных периодических минимальных поверхностей», Acad. Treatises , Helsingfors, 1883.
- ^ Алан Х. Шон, Бесконечные периодические минимальные поверхности без самопересечений, Техническое примечание НАСА TN D-5541 (1970) [1]
- ^ Герман Керхер, Конрад Полтье, «Построение тройно-периодических минимальных поверхностей», Phil. Пер. Р. Сок. Лонд. А от 16 сентября 1996 г., том. 354 нет. 1715 2077–2104 гг.
- ^ «Геометрия Алана Шона» .
- ^ Маккей, Алан Л. (апрель 1985 г.). «Периодические минимальные поверхности». Природа . 314 (6012): 604–606. Бибкод : 1985Natur.314..604M . дои : 10.1038/314604a0 . S2CID 4267918 .
- ^ Терронес, Х.; Маккей, Алабама (декабрь 1994 г.). «Отрицательно изогнутый графит и тройно-периодические минимальные поверхности». Журнал математической химии . 15 (1): 183–195. дои : 10.1007/BF01277558 . S2CID 123561096 .
- ^ WH Микс. Теория триждыпериодических минимальных поверхностей. Математика Университета Индианы. Журнал, 39 (3): 877-936, 1990.
- ^ «Поверхности тройного периодического уровня» . Архивировано из оригинала 12 февраля 2019 г. Проверено 10 февраля 2019 г.
- ^ Джемин Шин, Сунгки Ким, Дарэ Чжон, Хён Гын Ли, Донсун Ли, Джун Ён Лим и Джунсок Ким, Анализ методом конечных элементов геометрии поверхностных пор Schwarz P для тканеинженерных каркасов, Математические проблемы в инженерии, том 2012, идентификатор статьи 694194, номер документа:10.1155/2012/694194
- ^ Пол Дж. Ф. Ганди, Джурдже Цвийович, Алан Л. Маккей, Яцек Клиновски, Точный расчет тройной периодической минимальной поверхности D («алмаз»), Письма по химической физике, том 314, выпуски 5–6, 10 декабря 1999 г., страницы 543– 551
