катеноид

катеноид

Катеноид, полученный в результате вращения контактной сети.

В геометрии катеноид — это тип поверхности , возникающий в результате вращения цепной кривой вокруг оси ( поверхность вращения ). Это минимальная поверхность , то есть она занимает наименьшую площадь, когда ограничена замкнутым пространством. Формально он был описан в 1744 году математиком Леонардом Эйлером .

Мыльная пленка, прикрепленная к двойным круглым кольцам, примет форму катеноида. Поскольку они являются членами одного и того же связанного семейства поверхностей, катеноид можно согнуть в часть геликоида , и наоборот.

Геометрия

Катеноид был первой нетривиальной минимальной поверхностью в трехмерном евклидовом пространстве, обнаруженной отдельно от плоскости . Катеноид получается вращением контактной сети вокруг ее направляющей . Его нашел и доказал минимум Леонард Эйлер в 1744 году.

Ранние работы по этой теме были опубликованы также Жаном Батистом Мёнье . Существует только две минимальные поверхности вращения ( поверхности вращения , которые также являются минимальными поверхностями): плоскость и катеноид.

Катеноид может быть определен следующими параметрическими уравнениями: $${\begin{aligned}x&=c\cosh {\frac {v}{c}}\cos u\\y&=c\cosh {\frac {v}{c}}\sin u\\z&=v\end{aligned}}$$где $u\in [-\pi ,\pi )$ и $v\in \mathbb {R}$ и $c$ является ненулевой действительной константой.

В цилиндрических координатах: $$\rho =c\cosh {\frac {z}{c}},$$где $c$ является реальной константой.

Физическую модель катеноида можно создать, погрузив два круглых кольца в мыльный раствор и медленно раздвигая круги.

Катеноид также можно приблизительно определить методом растянутой сетки как фасетную 3D-модель.

Геликоидная трансформация

Деформация геликоида в катеноид.

Поскольку они являются членами одного и того же ассоциированного семейства поверхностей, катеноид можно согнуть в часть геликоида, не растягивая. Другими словами, можно выполнить (в основном) непрерывную и изометрическую деформацию катеноида до части геликоида так , чтобы каждый член семейства деформаций был минимальным (имеющим среднюю кривизну нулевую ). Параметризация такой деформации дается системой $${\begin{aligned}x(u,v)&=\cos \theta \,\sinh v\,\sin u+\sin \theta \,\cosh v\,\cos u\\y(u,v)&=-\cos \theta \,\sinh v\,\cos u+\sin \theta \,\cosh v\,\sin u\\z(u,v)&=u\cos \theta +v\sin \theta \end{aligned}}$$для $(u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )$, с параметром деформации $-\pi <\theta \leq \pi$, где:

• $\theta =\pi$ соответствует правому геликоиду,
• $\theta =\pm \pi /2$ соответствует катеноиду, а
• $\theta =0$ соответствует левому геликоиду.

Дальнейшее чтение

• Кривошапко Сергей; Иванов В.Н. (2015). «Минимальные поверхности» . Энциклопедия аналитических поверхностей . Спрингер. ISBN  9783319117737 .

Внешние ссылки

• «Катеноид» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Катеноид – модель WebGL
• Текст Эйлера, описывающий катеноид в Университете Карнеги-Меллона.
• Вычисление площади поверхности катеноида
• Минимальная поверхность вращения