Минимальная поверхность вращения

Растягивание мыльной пленки между двумя параллельными круглыми проволочными петлями создает катеноидальную минимальную поверхность вращения.

В математике минимальная поверхность вращения или минимальная поверхность вращения — это поверхность вращения, из двух точек полуплоскости определенная , граница которой является осью вращения поверхности. Он создается кривой , лежащей в полуплоскости и соединяющей две точки; среди всех поверхностей, которые можно создать таким способом, именно та, минимизируется площадь которой . Основная проблема вариационного исчисления — найти кривую между двумя точками, которая образует минимальную поверхность вращения.

Отношение к минимальным поверхностям

Минимальная поверхность вращения — это подтип минимальной поверхности . Минимальная поверхность определяется не как поверхность минимальной площади, а как поверхность со средней кривизной 0. Поскольку средняя кривизна 0 является необходимым условием поверхности минимальной площади, все минимальные поверхности вращения являются минимальными поверхностями, но не все минимальные поверхности являются минимальными поверхностями вращения. Поскольку точка образует круг при вращении вокруг оси , нахождение минимальной поверхности вращения эквивалентно нахождению минимальной поверхности, проходящей через два круговых каркаса . Физической реализацией минимальной поверхности вращения является мыльная пленка, натянутая между двумя параллельными круглыми проволоками : мыльная пленка естественным образом принимает форму с наименьшей площадью поверхности.

Катеноидный раствор

катеноид ​

Если полуплоскости, содержащей две точки и ось вращения, заданы декартовы координаты , что превращает ось вращения в ось x системы координат, то кривую, соединяющую точки, можно интерпретировать как график функции . Если декартовы координаты двух данных точек равны $(x_{1},y_{1})$, $(x_{2},y_{2})$, то площадь поверхности, порожденная неотрицательной дифференцируемой функцией $f$ может быть выражено математически как

$2\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx$

и проблема нахождения минимальной поверхности вращения становится проблемой нахождения функции, минимизирующей этот интеграл, с учетом граничных условий , которые $f(x_{1})=y_{1}$ и $f(x_{2})=y_{2}$. В этом случае оптимальной кривой обязательно будет цепная линия . Ось вращения является директрисой контактной сети, и поэтому минимальная поверхность вращения будет катеноидом .

Решение Гольдшмидта

Также могут быть определены решения, основанные на разрывных функциях. В частности, для некоторых положений двух точек оптимальное решение генерируется разрывной функцией, которая отлична от нуля в двух точках и равна нулю везде. Эта функция приводит к поверхности вращения, состоящей из двух круглых дисков, по одному на каждую точку, соединенных вырожденным отрезком вдоль оси вращения. Это известно как решение Гольдшмидта. в честь немецкого математика Карла Вольфганга Бенджамина Гольдшмидта . который объявил о своем открытии в своей статье 1831 года «Determinatio superficiei minimae Rotae Curvae Data Duo Puncta jungentis Circa Datum Axem Ortae» («Определение кривой вращения с минимальной поверхностью по двум соединенным точкам вокруг заданной исходной оси»).

Продолжая приведенную выше физическую аналогию с мыльной пленкой, эти решения Гольдшмидта можно представить как случаи, когда мыльная пленка разрывается при растяжении круглых проволок. Однако в физической мыльной пленке соединительный сегмент отсутствовал. Кроме того, если мыльная пленка растягивается таким образом, существует диапазон расстояний, в пределах которого решение катеноида все еще возможно, но имеет большую площадь, чем решение Гольдшмидта, поэтому мыльная пленка может растягиваться до конфигурации, в которой площадь равна локальный минимум , но не глобальный минимум. На расстояниях, превышающих этот диапазон, цепная связь, определяющая катеноид, пересекает ось x и ведет к самопересекающейся поверхности, поэтому возможно только решение Гольдшмидта.