Вращение вокруг фиксированной оси

Сфера, вращающаяся вокруг одного из своих диаметров.

Вращение вокруг фиксированной оси или осевое вращение — это частный случай вращательного движения вокруг оси вращения фиксированной, стационарной или статической в трехмерном пространстве . Этот тип движения исключает возможность изменения ориентации мгновенной оси вращения и не может описать такие явления, как колебание или прецессия . Согласно теореме Эйлера о вращении , одновременное вращение вдоль нескольких неподвижных осей одновременно невозможно; если одновременно выполнить два вращения, получится новая ось вращения.

Эта концепция предполагает, что вращение также стабильно, так что крутящий момент для его поддержания не требуется . Кинематика свободном и динамика вращения твердого тела вокруг неподвижной оси математически значительно проще, чем при вращении твердого тела ; они полностью аналогичны линейному движению вдоль одного фиксированного направления, что неверно для свободного вращения твердого тела . Выражения для кинетической энергии объекта и сил, действующих на части объекта, также проще для вращения вокруг неподвижной оси, чем для общего вращательного движения. По этим причинам вращение вокруг фиксированной оси обычно преподается на вводных курсах физики после того, как студенты освоили линейное движение ; Полная общность вращательного движения обычно не изучается на вводных уроках физики.

Перевод и ротация [ править ]

Твердое тело — это объект конечной протяженности, в котором все расстояния между составляющими его частицами постоянны. По-настоящему твердого тела не существует; внешние силы могут деформировать любое твердое тело. Таким образом, для наших целей твердое тело — это твердое тело, для существенной деформации которого требуются большие силы.

Изменение положения частицы в трехмерном пространстве может быть полностью задано тремя координатами. Изменение положения твердого тела описать сложнее. Его можно рассматривать как комбинацию двух различных типов движения: поступательного движения и кругового движения.

Чисто поступательное движение происходит, когда каждая частица тела имеет ту же мгновенную скорость, что и любая другая частица; тогда путь, прочерченный любой частицей, в точности параллелен пути, проложенному любой другой частицей в теле. При поступательном движении изменение положения твердого тела полностью определяется тремя координатами, такими как x , y и z , что дает смещение любой точки, например центра масс, прикрепленной к твердому телу.

Чисто вращательное движение возникает, если каждая частица тела движется по кругу вокруг одной прямой. Эта линия называется осью вращения. Тогда радиус -векторы от оси ко всем частицам одновременно испытывают одинаковое угловое смещение. Ось вращения не обязательно должна проходить через тело. В общем, любое вращение может быть полностью задано тремя угловыми смещениями относительно осей прямоугольных координат x , y и z . Таким образом, любое изменение положения твердого тела полностью описывается тремя поступательными и тремя вращательными координатами.

Любого смещения твердого тела можно добиться, если сначала подвергнуть тело смещению, а затем вращению, или, наоборот, вращению, за которым следует перемещение. Мы уже знаем, что для любой совокупности частиц — покоящихся друг относительно друга, как в твёрдом теле, или находящихся в относительном движении, как взрывающиеся осколки оболочки, ускорение центра масс определяется выражением

F_{\mathrm {net} }=Ma_{\mathrm {cm} }

где М — полная масса системы, а см _— ускорение центра масс. Остается вопрос описания вращения тела вокруг центра масс и связи его с внешними силами, действующими на тело. Кинематика и динамика вращательного движения вокруг одной оси напоминают кинематику и динамику поступательного движения; Вращательное движение вокруг единственной оси даже имеет теорему о работе-энергии, аналогичную теореме динамики частиц.

Кинематика [ править ]

Угловое смещение [ править ]

Дана частица, которая движется по окружности радиуса $r$ , переместив длину дуги $s$ , его угловое положение равно $\theta$ относительно своего исходного положения, где $\theta ={\frac {s}{r}}$ .

В математике и физике принято считать радиан , единицу плоского угла, равной 1, часто опуская ее. Единицы конвертируются следующим образом:

360^{\circ }=2\pi {\text{ rad}}\,,\quad 1{\text{ rad}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.27^{\circ }.

Угловое смещение – это изменение углового положения:

\Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1},

где

\Delta \theta

угловое смещение,

\theta _{1}

- начальное угловое положение и

\theta _{2}

это конечное угловое положение.

Угловая скорость [ править ]

Изменение углового перемещения в единицу времени называется угловой скоростью с направлением вдоль оси вращения. Символ угловой скорости: $\omega$ и единицы обычно - рад с ⁻¹. Угловая скорость – это величина угловой скорости.

{\overline {\omega }}={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}={\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.

Мгновенная угловая скорость определяется выражением

\omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}.

Используя формулу углового положения и позволяя $v={\frac {ds}{dt}}$ , у нас также есть

\omega ={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {v}{r}},

где

v

- поступательная скорость частицы.

Угловая скорость и частота связаны соотношением

\omega ={2\pi f}\,.

Угловое ускорение [ править ]

Изменение угловой скорости указывает на наличие углового ускорения в твердом теле, обычно измеряемого в рад с. ⁻². Среднее угловое ускорение ${\overline {\alpha }}$ за интервал времени Δ t определяется выражением

{\overline {\alpha }}={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.

Мгновенное ускорение α ( t ) определяется выражением

\alpha (t)={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}.

Таким образом, угловое ускорение — это скорость изменения угловой скорости, точно так же, как ускорение — это скорость изменения скорости.

Поступательное ускорение точки вращающегося объекта определяется выражением

a=r\alpha ,

где r — радиус или расстояние от оси вращения. Это и есть тангенциальная составляющая ускорения: она касательна направлению движения точки. Если этот компонент равен 0, движение является равномерным круговым движением , и скорость изменяется только по направлению.

Радиальное ускорение (перпендикулярное направлению движения) определяется выражением

a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\,.

Оно направлено к центру вращательного движения и часто называется центростремительным ускорением .

Угловое ускорение вызывается крутящим моментом , который может иметь положительное или отрицательное значение в соответствии с соглашением о положительной и отрицательной угловой частоте. Связь между крутящим моментом и угловым ускорением (насколько сложно начать, остановить или иным образом изменить вращение) определяется моментом инерции : $T=I\alpha$ .

Уравнения кинематики [ править ]

Когда угловое ускорение постоянно, пять величин углового смещения $\theta$ , начальная угловая скорость $\omega _{1}$ , конечная угловая скорость $\omega _{2}$ , угловое ускорение $\alpha$ , и время $t$ могут быть связаны четырьмя уравнениями кинематики :

{\begin{aligned}\omega _{2}&=\omega _{1}+\alpha t\\\theta &=\omega _{1}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\omega _{2}^{2}&=\omega _{1}^{2}+2\alpha \theta \\\theta &={\tfrac {1}{2}}\left(\omega _{2}+\omega _{1}\right)t\end{aligned}}

Динамика [ править ]

Момент инерции [ править ]

Момент инерции объекта, обозначаемый $I$ , является мерой сопротивления объекта изменениям его вращения. Момент инерции измеряется в килограмм-метр² (кг·м ²). Это зависит от массы объекта: увеличение массы объекта увеличивает момент инерции. Это также зависит от распределения массы: распределение массы дальше от центра вращения увеличивает момент инерции в большей степени. Для одной частицы массы $m$ дистанция $r$ от оси вращения момент инерции определяется выражением

I=mr^{2}.

Крутящий момент [ править ]

Крутящий момент ${\boldsymbol {\tau }}$ - это скручивающий эффект силы F , приложенной к вращающемуся объекту, который находится в положении r от его оси вращения. Математически,

{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,

где × обозначает векторное произведение . Чистый крутящий момент, действующий на объект, создаст угловое ускорение объекта в соответствии с

{\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }},

точно так же, как F = m a в линейной динамике.

Работа, совершаемая крутящим моментом, действующим на объект, равна величине крутящего момента, умноженной на угол, на который приложен крутящий момент:

W=\tau \theta .

Мощность крутящего момента равна работе, совершаемой крутящим моментом в единицу времени, следовательно:

P=\tau \omega .

Угловой момент [ править ]

Угловой момент $\mathbf {L}$ является мерой трудности остановки вращающегося объекта. Это дано

\mathbf {L} =\sum \mathbf {r} \times \mathbf {p} ,

где сумма берется по всем частицам объекта.

Угловой момент – это произведение момента инерции и угловой скорости:

\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},

точно так же, как p = m v в линейной динамике.

Аналогом импульса во вращательном движении является момент импульса. Чем больше угловой момент вращающегося объекта, такого как волчок, тем больше его тенденция продолжать вращаться.

Угловой момент вращающегося тела пропорционален его массе и скорости его вращения. Кроме того, угловой момент зависит от того, как распределена масса относительно оси вращения: чем дальше масса расположена от оси вращения, тем больше угловой момент. Плоский диск, такой как проигрыватель пластинок, имеет меньший угловой момент, чем полый цилиндр той же массы и скорости вращения.

Как и линейный момент, угловой момент является векторной величиной, и его сохранение означает, что направление оси вращения имеет тенденцию оставаться неизменным. По этой причине волчок остается в вертикальном положении, тогда как неподвижный волчок сразу же падает.

Уравнение углового момента можно использовать для связи момента результирующей силы, действующей на тело вокруг оси (иногда называемой крутящим моментом), и скорости вращения вокруг этой оси.

Крутящий момент и угловой момент связаны по закону

{\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}},

так же, как F = d p / dt в линейной динамике. В отсутствие внешней силы момент импульса тела остается постоянным. Сохранение углового момента особенно проявляется в фигурном катании : при приближении рук к телу во время вращения момент инерции уменьшается, и поэтому угловая скорость увеличивается.

Кинетическая энергия [ править ]

Кинетическая энергия $K_{\text{rot}}$ вследствие вращения тела определяется выражением

K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2},

как только

K_{\text{trans}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}

в линейной динамике.

Кинетическая энергия – это энергия движения. Количество поступательной кинетической энергии находится в двух переменных: масса объекта ( $m$ ) и скорость объекта ( $v$ ), как показано в уравнении выше. Кинетическая энергия всегда должна быть либо нулевой, либо положительной величиной. Хотя скорость может иметь как положительное, так и отрицательное значение, квадрат скорости всегда будет положительным. ^[1]

Векторное выражение [ править ]

Вышеописанное развитие является частным случаем общего вращательного движения. считаются угловое смещение, угловая скорость, угловое ускорение и крутящий момент В общем случае векторами .

Угловым смещением считается вектор, направленный вдоль оси, по величине равный величине $\Delta \theta$ . Правило правой руки используется, чтобы определить, в каком направлении оно указывает вдоль оси; если пальцы правой руки согнуты и указывают на направление вращения объекта, то большой палец правой руки указывает в направлении вектора.

Вектор угловой скорости также направлен вдоль оси вращения так же, как и вызываемые им угловые смещения. Если диск вращается против часовой стрелки, если смотреть сверху, вектор его угловой скорости направлен вверх. Точно так же вектор углового ускорения указывает вдоль оси вращения в том же направлении, в котором указывала бы угловая скорость, если бы угловое ускорение сохранялось в течение длительного времени.

Вектор крутящего момента указывает на ось, вокруг которой крутящий момент имеет тенденцию вызывать вращение. Чтобы поддерживать вращение вокруг неподвижной оси, вектор полного крутящего момента должен располагаться вдоль оси, чтобы он менял только величину, а не направление вектора угловой скорости. В случае шарнира на вращение влияет только составляющая вектора крутящего момента вдоль оси, остальные силы и моменты компенсируются конструкцией.

Математическое представление [ править ]

В математике представление оси -угла параметризует вращение в трехмерном евклидовом пространстве двумя величинами: единичным вектором $e,$ указывающим направление (геометрию) оси вращения , и углом поворота $θ$ , описывающим величину и смысл ( например, по часовой стрелке ) вращения вокруг оси. Для определения направления единичного вектора $e,$ имеющего начало координат, необходимы только два числа, а не три, поскольку величина $e$ ограничена. Например, возвышения и азимута углов $e$ достаточно, чтобы найти его в любой конкретной декартовой системе координат.

По формуле вращения Родригеса угол и ось определяют преобразование, которое вращает трехмерные векторы. Вращение происходит в смысле, предписанном правилом правой руки .

Ось вращения иногда называют осью Эйлера. Представление оси-угла основано на теореме Эйлера о вращении , которая гласит, что любое вращение или последовательность вращений твердого тела в трехмерном пространстве эквивалентно чистому вращению вокруг одной фиксированной оси.

Это один из многих формализмов вращения в трех измерениях .

Примеры и приложения [ править ]

скорость угловая Постоянная

Простейшим случаем вращения вокруг неподвижной оси является случай постоянной угловой скорости. Тогда общий крутящий момент равен нулю. На примере Земли, вращающейся вокруг своей оси, трение очень незначительное. В случае вентилятора двигатель применяет крутящий момент для компенсации трения. Подобно вентилятору, оборудование, используемое в промышленности массового производства, эффективно демонстрирует вращение вокруг фиксированной оси. Например, многошпиндельный токарный станок используется для вращения материала вокруг своей оси, что позволяет эффективно повысить производительность операций резания, деформации и токарных работ. ^[2] Угол поворота является линейной функцией времени, которая по модулю 360° является периодической функцией.

Примером этого является задача двух тел с круговыми орбитами .

Центростремительная сила [ править ]

Внутреннее растягивающее напряжение обеспечивает центростремительную силу , которая удерживает вращающийся объект вместе. Модель твердого тела пренебрегает сопутствующей деформацией . Если тело не является жестким, это напряжение заставит его изменить форму. Это выражается в изменении формы объекта под действием « центробежной силы ».

Небесные тела, вращающиеся вокруг друг друга, часто имеют эллиптические орбиты . Частный случай круговых орбит представляет собой пример вращения вокруг фиксированной оси: эта ось представляет собой линию, проходящую через центр масс, перпендикулярную плоскости движения. Центростремительная сила создается гравитацией , см. также задачу двух тел . Обычно это также относится к вращающемуся небесному телу, поэтому ему не обязательно быть твердым, чтобы удерживаться вместе, если только угловая скорость не слишком высока по сравнению с его плотностью. (Однако он будет иметь тенденцию сжиматься . ) Например, вращающееся небесное тело воды должно вращаться не менее 3 часов 18 минут, независимо от размера, иначе вода разделится. ^{[ нужна цитата ]}. Если плотность жидкости выше, время может быть меньше. См. период обращения . ^[3]

Плоскость вращения [ править ]

В геометрии плоскость вращения — это абстрактный объект, используемый для описания или визуализации вращения в пространстве.

Плоскости вращения в основном используются для описания более сложных вращений в четырехмерном пространстве и более высоких измерениях , где их можно использовать для разбиения вращений на более простые части. Это можно сделать с помощью геометрической алгебры , где плоскости вращения связаны с простыми бивекторами в алгебре. ^[4]

Плоскости вращения не часто используются в двух и трех измерениях , так как в двух измерениях есть только одна плоскость (поэтому идентификация плоскости вращения тривиальна и выполняется редко), тогда как в трех измерениях той же цели служит ось вращения и это более устоявшийся подход.

Математически такие плоскости можно описать разными способами. Их можно описать с помощью плоскостей и углов вращения . Их можно сопоставить с бивекторами из геометрической алгебры . Они связаны с собственными значениями и собственными векторами матрицы вращения . А в конкретных измерениях они связаны с другими алгебраическими и геометрическими свойствами, которые затем можно обобщить на другие измерения.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ «Что такое кинетическая энергия» . Ханская академия . Проверено 2 августа 2017 г.
^ «Многошпиндельные станки — подробный обзор» . Машина Давенпорта . Проверено 2 августа 2017 г.
^ Мобберли, Мартин (01 марта 2009 г.). Катастрофические космические события и как их наблюдать . Springer Science & Business Media. ISBN 9780387799469 .
^ Лунесто (2001), стр. 222–223

Основы физики, расширенное 7-е издание Холлидея , Резника и Уокера . ISBN 0-471-23231-9
Концепции физики, том 1, Х.К. Верма , 1-е издание, ISBN 81-7709-187-5

[1] «Что такое кинетическая энергия» . Ханская академия . Проверено 2 августа 2017 г.

[2] «Многошпиндельные станки — подробный обзор» . Машина Давенпорта . Проверено 2 августа 2017 г.

[3] Мобберли, Мартин (01 марта 2009 г.). Катастрофические космические события и как их наблюдать . Springer Science & Business Media. ISBN 9780387799469 .

[Plane_of_rotation_LounestoCh17-4] Лунесто (2001), стр. 222–223

[1]

[2]

[3]

[4]