Фиктивная сила

— Фиктивная сила это сила , которая, по-видимому, действует на массу, движение которой описывается с использованием неинерциальной системы отсчета , такой как линейно ускоряющаяся или вращающаяся система отсчета . Фиктивные силы используются для поддержания справедливости и, следовательно, использования второго закона движения Ньютона системах отсчета в неинерциальных .

Пассажиры в транспортном средстве, ускоряющемся в направлении вперед, могут почувствовать, что на них действует сила, перемещающая их, например, в направлении спинок сидений. Примером вращающейся системы отсчета может быть впечатление, что это сила, которая, кажется, перемещает объекты наружу к краю центрифуги или карусели.

Фиктивную силу, называемую псевдосилой, можно также назвать объемной силой . объекта, Это происходит из-за инерции когда система отсчета больше не движется по инерции, а начинает ускоряться относительно свободного объекта. На примере легкового автомобиля псевдосила кажется активной непосредственно перед тем, как тело касается спинки сиденья в автомобиле. Наклонившийся вперед человек в автомобиле сначала отодвигается немного назад по отношению к уже ускоряющемуся автомобилю, прежде чем коснуться спинки сиденья. Кажется, что движение в этот короткий период является результатом воздействия на человека силы; т.е. это псевдосила. Псевдосила не возникает в результате какого-либо физического взаимодействия между двумя объектами, такого как электромагнетизм или контактные силы. Это всего лишь следствие ускорения a физического объекта, неинерциальная система отсчета с которым связана , то есть в данном случае транспортного средства. С точки зрения соответствующей ускоряющейся системы отсчета ускорение инертного объекта кажется присутствующим, очевидно, требующим «силы», чтобы это произошло.

Как заявил Иро:

Такая дополнительная сила, возникающая из-за неравномерного относительного движения двух систем отсчета, называется псевдосилой .

- Харальд Иро в «Современном подходе к классической механике» с. 180

Псевдосила, действующая на объект, возникает как мнимое воздействие, когда система отсчета, используемая для описания движения объекта, ускоряется по сравнению с неускоряющейся системой отсчета. Псевдосила «объясняет», используя механику второго закона Ньютона, почему объект не подчиняется второму закону Ньютона и «плавает свободно», как будто невесомый. Как рамка может ускоряться любым произвольным образом, так и псевдосилы могут быть столь же произвольными (но только в прямой реакции на ускорение рамки). Примером псевдосилы, определенной Иро, является сила Кориолиса , которую, возможно, лучше называть эффектом Кориолиса. Гравитационная сила также была бы фиктивной силой (псевдосилой) в модели поля, в которой частицы искажают пространство-время теории из-за своей массы, например, в общей относительности .

Если принять второй закон Ньютона в виде F = m a , то фиктивные силы всегда пропорциональны массе m .

Фиктивная сила, названная силой инерции также называется силой Даламбера . или иногда как псевдосила. Принцип Даламбера — это всего лишь еще один способ формулировки второго закона движения Ньютона. Он определяет силу инерции как отрицательное произведение массы на ускорение, просто для упрощения вычислений.

(Силу Даламбера не следует путать с контактной силой, возникающей в результате физического взаимодействия между двумя объектами, которая является предметом третьего закона Ньютона – «действие есть противодействие ». В приведенном выше примере легкового автомобиля контактная сила возникает, когда тело пассажира касается спинки сиденья в автомобиле. Он присутствует до тех пор, пока автомобиль ускоряется.)

Для кадров, ускоренных обычными способами, были определены четыре фиктивные силы:

• вызванное любым ускорением относительно начала координат по прямой (прямолинейное ускорение );
• два, связанные с вращением: центробежная сила и эффект Кориолиса.
• и четвертая, называемая силой Эйлера , вызванная переменной скоростью вращения, если это произойдет.

Предыстория

См. Также: Абсолютное пространство и время и Предпочтительная система координат.

Роль фиктивных сил в механике Ньютона описывает Тоннела :

Для Ньютона появление ускорения всегда указывает на существование абсолютного движения – абсолютного движения материи, когда речь идет о реальных силах; абсолютное движение системы отсчета, когда речь идет о так называемых фиктивных силах, таких как силы инерции или силы Кориолиса.

- Мария-Антуанетта Тоннела в «Принципах электромагнитной теории и теории относительности» , стр.113.

Фиктивные силы возникают в классической механике и специальной теории относительности во всех неинерциальных системах отсчета. Инерциальные системы отсчета имеют преимущество перед неинерциальными системами, потому что у них нет физики, причины которой находятся вне системы, в то время как у неинерциальных систем есть. Фиктивные силы, или физика, причина которой находится вне системы, больше не нужны в общей теории относительности , поскольку эта физика объясняется геодезическими пространства - времени : «Поле всех возможных пространственно-временных нулевых геодезических или фотонных путей объединяет абсолютную локальную стандарт невращения в пространстве-времени.».

На Земле

См. Также: Центробежная сила , сила Кориолиса и сила Эйлера.

Поверхность Земли представляет собой вращающуюся систему отсчета . Для решения задач классической механики именно в земной системе отсчёта необходимо ввести три фиктивные силы: силу Кориолиса , центробежную силу (описанную ниже) и силу Эйлера . Силой Эйлера обычно пренебрегают, поскольку изменения угловой скорости вращающейся поверхности Земли обычно незначительны. Обе другие фиктивные силы слабы по сравнению с большинством типичных сил повседневной жизни, но их можно обнаружить при определенных условиях. Например, Леон Фуко использовал свой маятник Фуко, чтобы показать, что сила Кориолиса возникает в результате вращения Земли. Если бы Земля вращалась в двадцать раз быстрее (чтобы каждый день длился всего ~72 минуты), у людей могло бы легко сложиться впечатление, что такие фиктивные силы тянут их, как вращающуюся карусель; людям в умеренных и тропических широтах фактически придется держаться, чтобы избежать запуска на орбиту центробежной силой.

Обнаружение неинерциальной системы отсчета

См. Также: Инерциальная система отсчета.

Наблюдатели внутри закрытого ящика, движущегося с постоянной скоростью , не могут обнаружить собственное движение; однако наблюдатели в ускоряющейся системе отсчета могут обнаружить, что они находятся в неинерциальной системе отсчета, по возникающим фиктивным силам. Например, для прямолинейного ускорения Владимир Арнольд представляет следующую теорему:

В системе координат K , которая движется поступательно относительно инерциальной системы k , движение механической системы происходит так, как если бы система координат была инерциальной, но на каждую точку массы m действовала дополнительная «сила инерции»: F = − m a , где a - ускорение системы K .

Другие ускорения также порождают фиктивные силы, математически описанные ниже . Физическое объяснение движений в инерциальной системе отсчета является самым простым и не требует фиктивных сил: фиктивные силы равны нулю, что позволяет отличать инерциальные системы от других.

Примером обнаружения неинерциальной вращающейся системы отсчета является прецессия маятника Фуко . В неинерциальной системе отсчета Земли фиктивная сила Кориолиса для объяснения наблюдений необходима . В инерциальной системе отсчета вне Земли такая фиктивная сила не нужна.

Пример, касающийся кругового движения

Смотрите также: Центробежная сила и сила Кориолиса.

В инерциальной системе отсчета (верхняя часть изображения) черный шар движется прямолинейно. Однако наблюдатель (коричневая точка), который стоит во вращающейся/неинерциальной системе отсчета (нижняя часть изображения), видит, что объект следует по искривленной траектории из-за кориолиса или центробежных сил, присутствующих в этом кадре.

Эффект фиктивной силы возникает и при повороте автомобиля . При наблюдении из неинерциальной системы отсчета, прикрепленной к автомобилю, фиктивная сила, называемая центробежной силой появляется . Когда автомобиль входит в левый поворот, чемодан сначала на левом заднем сиденье соскальзывает на правое заднее сиденье, а затем продолжает движение до тех пор, пока не соприкоснется с закрытой дверью справа. Это движение отмечает фазу фиктивной центробежной силы, поскольку именно инерция чемодана играет роль в этом движении. Может показаться, что за это движение должна существовать сила, но на самом деле это движение возникает из-за инерции чемодана, который (пока) является «свободным объектом» в уже ускоряющейся системе отсчета. После соприкосновения чемодана с закрытой дверью автомобиля ситуация с возникновением контактных сил становится актуальной. Центростремительная сила, действующая на автомобиль, теперь переносится и на чемодан, и в игру вступает ситуация третьего закона Ньютона, где центростремительная сила выступает в качестве действующей части и с так называемой реактивная центробежная сила как часть реакции. Реактивная центробежная сила также возникает из-за инерции чемодана. Однако теперь инерция выступает в виде проявляющегося сопротивления изменению состояния своего движения.

Предположим, что через несколько миль автомобиль снова и снова движется с постоянной скоростью, совершая круговое движение, тогда пассажиры будут чувствовать, как будто их выталкивает наружу автомобиля (реактивная) центробежная сила, в сторону от центра автомобиля. поворот.

Ситуацию можно рассматривать как с инерциальной, так и с неинерциальной системы координат.

• С точки зрения инерциальной системы отсчета, неподвижной относительно дороги, автомобиль ускоряется к центру круга. Он ускоряется, потому что направление скорости меняется, несмотря на то, что автомобиль имеет постоянную скорость. Это ускорение внутрь называется центростремительным ускорением требуется центростремительная сила . Для поддержания кругового движения . Эта сила действует на колеса со стороны земли, в данном случае за счет трения между колесами и дорогой. Автомобиль ускоряется за счет неуравновешенной силы, которая заставляет его двигаться по кругу. (См. также поворот с креном .)
• С точки зрения вращающейся рамы, движущейся вместе с автомобилем, кажется, что присутствует фиктивная центробежная сила, толкающая автомобиль к внешней стороне дороги (и толкающая пассажиров к внешней стороне автомобиля). Центробежная сила уравновешивает трение между колесами и дорогой, делая автомобиль неподвижным в этой неинерциальной системе координат.

Классическим примером фиктивной силы в круговом движении является эксперимент с вращающимися сферами, связанными шнуром и вращающимися вокруг своего центра масс. В этом случае идентификация вращающейся неинерциальной системы отсчета может быть основана на исчезновении фиктивных сил. В инерциальной системе отсчета фиктивные силы не нужны для объяснения натяжения нити, соединяющей сферы. Во вращающейся системе отсчета необходимо ввести Кориолиса и центробежные силы, чтобы предсказать наблюдаемое напряжение.

Во вращающейся системе отсчета, воспринимаемой на поверхности Земли, центробежная сила уменьшает видимую силу тяжести примерно на одну тысячную, в зависимости от широты. Это снижение равно нулю на полюсах и максимально на экваторе .

показывать Анимация: объект выпущен из карусели

Map and spin frame perspectives of physical (red) and fictitious (blue) forces for an object released from a carousel For someone in the map perspective only one force is sufficient to explain the motion: the red arrow: centripetal force. After release, the number of forces is zero. For someone in the spinning frame the object moves in a complicated way that needs a centrifugal force: the blue arrow.Note: With some browsers, hitting [Esc] will freeze the motion for more detailed analysis. However, the page may have to be reloaded to restart.

Фиктивная сила Кориолиса , которая наблюдается во вращательных кадрах, обычно видна только в очень крупномасштабном движении, таком как движение снаряда дальнобойных орудий или циркуляция земной атмосферы (см. число Россби ). Если пренебречь сопротивлением воздуха, объект, сброшенный с 50-метровой башни на экваторе, упадет на 7,7 миллиметра к востоку от места падения из-за силы Кориолиса.

Фиктивные силы и работа

Фиктивные силы можно считать совершающими работу при условии, что они перемещают объект по траектории , меняющей его энергию с потенциальной на кинетическую . Например, представьте себе людей, сидящих на вращающихся стульях и держащих в вытянутых руках гирю. Если они потянут руку внутрь к своему телу с точки зрения вращающейся системы отсчета, они совершят работу против центробежной силы. Когда груз отпускается, он самопроизвольно вылетает наружу относительно вращающейся системы отсчета, поскольку центробежная сила действует на объект, преобразуя его потенциальную энергию в кинетическую. С инерционной точки зрения, конечно, объект улетает от них, потому что ему внезапно позволено двигаться по прямой. Это показывает, что совершенная работа, как и полная потенциальная и кинетическая энергия объекта, может отличаться в неинерциальной системе отсчета, чем в инерциальной.

Гравитация как фиктивная сила

Основная статья: Общая теория относительности

Понятие «фиктивной силы» также возникает в общей теории относительности Эйнштейна . Все фиктивные силы пропорциональны массе объекта, на который они действуют, что справедливо и для гравитации . Это заставило Альберта Эйнштейна задаться вопросом, можно ли смоделировать гравитацию как фиктивную силу. Он отметил, что свободно падающий наблюдатель в закрытом ящике не сможет обнаружить силу гравитации; следовательно, свободнопадающие системы отсчета эквивалентны инерциальным системам отсчета ( принцип эквивалентности ). Развивая это понимание, Эйнштейн сформулировал теорию, рассматривающую гравитацию как фиктивную силу, и объяснил кажущееся ускорение силы тяжести искривлением пространства - времени . Эйнштейна Эта идея лежит в основе общей теории относительности . См. эксперимент Этвёша .

показывать Анимация: мяч, который скатывается со скалы.

Rain and shell frame perspectives of physical (red) and fictitious (blue) forces for an object that rolls off a cliff. Note: The rain frame perspective here, rather than being that of a raindrop, is more like that of a trampoline jumper whose trajectory tops out just as the ball reaches the edge of the cliff. The shell frame perspective may be familiar to planet dwellers who rely minute by minute on upward physical forces from their environment, to protect them from the geometric acceleration due to curved spacetime.

фиктивных

Рисунок 2: Объект, расположенный в точке x _A в инерциальной системе отсчета A находится в точке x _B в ускоряющейся системе отсчета B. , Начало кадра B находится в XAB _точке в A. кадре Ориентация кадра B определяется единичными векторами вдоль его координатных направлений u _j с j = 1, 2, 3. Используя эти оси, координаты объекта согласно кадру B равны x _B = ( x ₁ , x ₂ , х ₃ ).

Общий вывод

Многие задачи требуют использования неинерциальных систем отсчета, например, со спутниками. и ускорители частиц. На рисунке 2 показана частица с массой m и положения вектором x _A ( t ) в определенной инерциальной системе отсчета A. Рассмотрим неинерциальную систему отсчета B, начало координат которой относительно инерциальной задается как X _AB ( t ). Пусть положение частицы в системе отсчета B будет x _B ( t ). Какова сила, действующая на частицу, выраженная в системе координат системы B?

Чтобы ответить на этот вопрос, пусть ось координат в B будет представлена ​​единичными векторами u _j с j любым из {1, 2, 3} для трех координатных осей. Затем

$\mathbf {x} _{\mathrm {B} }=\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.$

Интерпретация этого уравнения заключается в том, что x _B — векторное смещение частицы, выраженное через координаты в системе отсчета B в момент времени t . В кадре А частица находится по адресу:

$\mathbf {x} _{\mathrm {A} }=\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.$

Кроме того, единичные векторы { u _j } не могут изменить величину, поэтому производные этих векторов выражают только вращение системы координат B. С другой стороны, вектор X _AB просто определяет начало координат B относительно кадра A, и поэтому не может включать вращение кадра B.

Взяв производную по времени, скорость частицы составит:

${\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}={\frac {d\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}\,.$

Суммирование второго члена представляет собой скорость частицы, скажем, v _B , измеренную в системе отсчета B. То есть:

${\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}=\mathbf {v} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {v} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.$

Интерпретация этого уравнения заключается в том, что скорость частицы, видимая наблюдателями в системе отсчета A, состоит из того, что наблюдатели в системе отсчета B называют скоростью, а именно v _B , плюс два дополнительных члена, связанных со скоростью изменения координатных осей системы B. . Одна из них — это просто скорость движущегося начала координат v _AB . Другой - это вклад в скорость из-за того, что разные места в неинерциальной системе отсчета имеют разные кажущиеся скорости из-за вращения системы отсчета; точка, видимая из вращающейся системы отсчета, имеет вращательную составляющую скорости, которая тем больше, чем дальше точка находится от начала координат.

Чтобы найти ускорение, необходимо еще одно дифференцирование по времени:

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.$

Используя ту же формулу, которая уже использовалась для производной по времени x _B , производная скорости справа равна:

${\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {dv_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.$

Следовательно,

$${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.$$

( 1 )

Интерпретация этого уравнения следующая: ускорение частицы в системе отсчета A состоит из того, что наблюдатели в системе отсчета B называют ускорением частицы a _B , но, кроме того, существуют три члена ускорения, связанные с движением координаты системы отсчета B. оси: один член, связанный с ускорением начала координат B, а именно a _AB , и два члена, связанные с вращением системы B. Следовательно, наблюдатели в B будут видеть движение частицы как обладающее «дополнительным» ускорением, которое они будут приписывают «силам», действующим на частицу, но которые, по мнению наблюдателей в системе А, являются «фиктивными» силами, возникающими просто потому, что наблюдатели в системе B не осознают неинерциальную природу системы B.

Двойной коэффициент силы Кориолиса возникает из-за двух равных вкладов: (i) кажущегося изменения инерционно постоянной скорости со временем, поскольку при вращении кажется, что направление скорости меняется (член a d v _B /d t ) и ( ii) кажущееся изменение скорости объекта при изменении его положения, приближая или удаляя его от оси вращения (изменение ${\textstyle \sum x_{j}\,d\mathbf {u} _{j}/dt}$ из-за изменения x _j ).

Говоря языком сил, ускорения умножаются на массу частицы:

$\mathbf {F} _{\mathrm {A} }=\mathbf {F} _{\mathrm {B} }+m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\ .$

Сила, наблюдаемая в системе B, F _B = m a _B, связана с фактической силой, действующей на частицу, F _A , соотношением

$\mathbf {F} _{\mathrm {B} }=\mathbf {F} _{\mathrm {A} }+\mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} },$

где:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} }=-m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }-2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}-m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\,.$

Таким образом, проблемы в системе B можно решить, если предположить, что выполняется второй закон Ньютона (относительно величин в этой системе отсчета) и рассматривать F _{фиктивную} как дополнительную силу.

Ниже приведен ряд примеров применения этого результата для фиктивных сил. Больше примеров можно найти в статье о центробежной силе .

Вращающиеся системы координат

Обычная ситуация, в которой полезны неинерциальные системы отсчета, — это когда система отсчета вращается. Поскольку такое вращательное движение является неинерционным, из-за ускорения, присутствующего в любом вращательном движении, всегда можно вызвать фиктивную силу, используя вращательную систему отсчета. Несмотря на эту сложность, использование фиктивных сил часто упрощает необходимые расчеты.

Для вывода выражений для фиктивных сил необходимы производные кажущейся во времени скорости изменения векторов, учитывающие изменение во времени осей координат. Если вращение системы «B» представлено вектором Ω , направленным вдоль оси вращения с ориентацией, заданной правилом правой руки , и с величиной, заданной выражением

$|{\boldsymbol {\Omega }}|={\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t),$

тогда производная по времени любого из трех единичных векторов, описывающих кадр B, равна

${\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t),$

и

${\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}(t)}{dt^{2}}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right],$

что проверяется с использованием свойств векторного векторного произведения . Эти производные формулы теперь применяются к взаимосвязи между ускорением в инерциальной системе координат и в системе координат, вращающейся с изменяющейся во времени угловой скоростью ω( t ). Из предыдущего раздела, где индекс A относится к инерциальной системе отсчета, а B — к вращающейся системе отсчета, установка = _AB 0 для удаления любого поступательного ускорения и сосредоточение внимания только на вращательных свойствах (см. уравнение 1 ):

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}},$

${\begin{aligned}\mathbf {a} _{\mathrm {A} }&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\ 2\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}\ +\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right]\\&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {u} _{j}(t)+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}(t)\right].\end{aligned}}$

Собирая члены, в результате получается так называемая формула преобразования ускорения :

$\mathbf {a} _{\mathrm {A} }=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }\right)\,.$

Физическое ускорение a _A , обусловленное тем, что наблюдатели в инерциальной системе отсчета A называют реальными внешними силами, действующими на объект, является, следовательно, не просто ускорением a _B , наблюдаемым наблюдателями во вращательной системе B, но имеет несколько дополнительных членов геометрического ускорения, связанных с вращение B. Как видно из системы вращения, ускорение a _B частицы определяется перестановкой приведенного выше уравнения как:

$\mathbf {a} _{\mathrm {B} }=\mathbf {a} _{\mathrm {A} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.$

Чистая сила, действующая на объект по мнению наблюдателей во вращающейся системе отсчета, F _B = m a _B. равна Если их наблюдения должны привести к правильному воздействию силы на объект при использовании законов Ньютона, они должны учитывать, что дополнительная сила F _fict присутствует , поэтому конечный результат равен F _B = F _A + F _fict . Таким образом, фиктивная сила, которую используют наблюдатели в B, чтобы получить правильное поведение объекта по законам Ньютона, равна:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.$

Здесь первое слагаемое – это сила Кориолиса , второй член — центробежная сила , и третий член — сила Эйлера .

Орбитальные системы координат

Рисунок 3: Вращающаяся система координат B с фиксированной ориентацией , показанная в три разных момента времени. Орты u _j , j = 1, 2, 3 не вращаются , а сохраняют фиксированную ориентацию, а начало системы координат B движется с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси Ω . Ось Ω проходит через начало инерциальной системы отсчета A , поэтому начало системы отсчета B находится на фиксированном расстоянии R от начала инерциальной системы A. отсчета

В качестве связанного примера предположим, что движущаяся система координат B вращается с постоянной угловой скоростью ω по кругу радиуса R вокруг фиксированного начала инерциальной системы отсчета A , но сохраняет свои оси координат фиксированными в ориентации, как на рисунке 3. Ускорение наблюдаемое тело сейчас (см. уравнение 1 ):

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {a} _{AB}\ +\mathbf {a} _{B}\ ,\end{aligned}}$

где суммы равны нулю, поскольку единичные векторы не зависят от времени. Начало системы B расположено согласно системе координат A по адресу:

$\mathbf {X} _{AB}=R\left(\cos(\omega t),\ \sin(\omega t)\right)\ ,$

что приводит к скорости начала координат B как:

$\mathbf {v} _{AB}={\frac {d}{dt}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\ ,$

что приводит к ускорению возникновения B , определяемому формулой:

$\mathbf {a} _{AB}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)=-\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,.$

Поскольку первый член, который

$$\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)\,,$$

имеет ту же форму, что и нормальное выражение центробежной силы:

$${\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,$$

естественным расширением стандартной терминологии (хотя стандартной терминологии для этого случая не существует) назвать этот термин «центробежной силой». Какая бы терминология ни была принята, наблюдатели в системе координат B должны ввести фиктивную силу, на этот раз из-за ускорения от орбитального движения всей их системы координат, которая направлена ​​​​радиально наружу от центра вращения начала их системы координат:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=m\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,,$

и по величине:

$|\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }|=m\omega ^{2}R\,.$

Эта «центробежная сила» имеет отличия от случая вращающейся рамы. Во вращающейся системе отсчета центробежная сила связана с расстоянием объекта от начала системы B , тогда как в случае орбитальной системы отсчета центробежная сила не зависит от расстояния объекта от начала системы B , но вместо этого зависит от расстояния начала координат B от его центра вращения, что приводит к одной и той же центробежной фиктивной силе для всех объектов, наблюдаемых в B. кадре

Орбита и вращение

См. Также: уравнения Клохесси – Уилтшира.

Рисунок 4: Орбитальная система координат B, аналогичная рисунку 3, но в которой единичные векторы u _j , j = 1, 2, 3 вращаются по направлению к оси вращения, а начало системы координат B движется с постоянной угловой скоростью ω вокруг фиксированная ось Ω .

В качестве примера комбинации на рисунке 4 показана система координат B , которая вращается вокруг инерциальной системы отсчета A , как на рисунке 3, но оси координат в системе координат B поворачиваются, поэтому единичный вектор u ₁ всегда указывает на центр вращения. Этот пример можно применить к пробирке в центрифуге, где вектор u ₁ направлен вдоль оси пробирки к ее верхнему отверстию. Это также напоминает систему Земля-Луна, где Луна всегда обращена к Земле одной и той же стороной. В этом примере единичный вектор u ₃ сохраняет фиксированную ориентацию, а векторы u ₁ , u ₂ вращаются с той же скоростью, что и начало координат. То есть,

$\mathbf {u} _{1}=(-\cos \omega t,\ -\sin \omega t)\ ;\$ $\mathbf {u} _{2}=(\sin \omega t,\ -\cos \omega t)\,.$

${\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{1}=\mathbf {\Omega \times u_{1}} =\omega \mathbf {u} _{2}\ ;$ $\ {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {\Omega \times u_{2}} =-\omega \mathbf {u} _{1}\ \ .$

Следовательно, ускорение движущегося объекта выражается как (см. уравнение 1 ):

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ \mathbf {\Omega \times u_{j}} \ +\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \ +\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \,,\end{aligned}}$

где член углового ускорения равен нулю для постоянной скорости вращения. Поскольку первый член, который

$$\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)\,,$$

имеет ту же форму, что и нормальное выражение центробежной силы:

$${\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,$$

естественным расширением стандартной терминологии (хотя стандартной терминологии для этого случая не существует) назвать этот термин «центробежной силой». Применяя эту терминологию к примеру пробирки в центрифуге, если пробирка находится достаточно далеко от центра вращения, | Х _АБ | знак равно р ≫ | x _B |, все вещество в пробирке испытывает одинаковое ускорение (одну и ту же центробежную силу). Таким образом, в данном случае фиктивная сила представляет собой прежде всего равномерную центробежную силу вдоль оси трубки, вдали от центра вращения, со значением | Ф _фик | = ω ² R , где R — расстояние вещества в пробирке от центра центрифуги. В стандартной спецификации центрифуги используется «эффективный» радиус центрифуги для оценки ее способности создавать центробежную силу. Таким образом, первая оценка центробежной силы в центрифуге может быть основана на расстоянии пробирок от центра вращения и при необходимости внесена поправка.

Кроме того, пробирка ограничивает движение в направлении вниз по длине пробирки, поэтому v _B противоположно u ₁ , а сила Кориолиса противоположна u ₂ , то есть направлена ​​против стенки пробирки. Если трубку вращать достаточно долго, скорость v _B упадет до нуля, поскольку вещество придет к равновесному распределению. Подробнее см. статьи о седиментации и уравнении Ламма .

С этим связана проблема центробежных сил для системы Земля-Луна-Солнце, где возникают три вращения: суточное вращение Земли вокруг своей оси, лунно-месячное вращение системы Земля-Луна вокруг ее центра масс и годовое обращение системы Земля-Луна вокруг Солнца. Эти три движения влияют на приливы и отливы .

Пересечение карусели

Смотрите также: сила Кориолиса § Подброшенный мяч на вращающейся карусели.

Рисунок 5: При пересечении вращающейся карусели, идущей с постоянной скоростью от центра карусели к ее краю, в инерциальной системе отсчета прослеживается спираль, а в системе отсчета карусели виден простой прямой радиальный путь.

На рисунке 5 показан еще один пример сравнения наблюдений инерционного наблюдателя с наблюдениями наблюдателя на вращающейся карусели . Карусель вращается с постоянной угловой скоростью, представленной вектором Ω с величиной ω , направленным вверх согласно правилу правой руки . Водитель на карусели идет по ней радиально с постоянной скоростью, и пешеходу кажется, что это прямая линия, наклоненная под углом 45° на рисунке 5. Однако для неподвижного наблюдателя пешеход движется по спиральной траектории. Точки, указанные на обоих маршрутах на рисунке 5, соответствуют одним и тем же моментам времени, расположенным через равные промежутки времени. Мы спрашиваем, как два наблюдателя, один на карусели, а другой в инерциальной системе отсчета, формулируют то, что они видят, используя законы Ньютона.

Инерционный наблюдатель

Наблюдатель в состоянии покоя описывает путь, по которому идет идущий, как спираль. Приняв систему координат, показанную на рисунке 5, траектория описывается r ( t ):

$\mathbf {r} (t)=R(t)\mathbf {u} _{R}={\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R(t)\cos(\omega t+\pi /4)\\R(t)\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}},$

где добавленное π/4 устанавливает начальный угол пути равным 45° (просто произвольный выбор направления), u _R — единичный вектор в радиальном направлении, указывающий от центра карусели к ходунку в момент времени t . Радиальное расстояние R ( t ) постепенно увеличивается со временем согласно:

$R(t)=st,$

со скоростью ходьбы. Согласно простой кинематике, скорость является первой производной траектории:

${\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&={\frac {dR}{dt}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+\omega R(t){\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&={\frac {dR}{dt}}\mathbf {u} _{R}+\omega R(t)\mathbf {u} _{\theta },\end{aligned}}$

с u _{θ -} единичным вектором, перпендикулярным u _R в момент времени t (что можно проверить, заметив, что скалярное произведение вектора с радиальным вектором равно нулю) и указывающим в направлении движения. Ускорение является первой производной скорости:

${\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&={\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+2{\frac {dR}{dt}}\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\ \omega \ \mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}R(t)\ \mathbf {u} _{R}\,.\end{aligned}}$

Последний член ускорения направлен радиально внутрь величины ω. ² R , что, следовательно, представляет собой мгновенное центростремительное ускорение кругового движения . Первый член перпендикулярен радиальному направлению и указывает в направлении движения. Его величина равна 2 sω и представляет собой ускорение пешехода по мере приближения к краю карусели, а дуга окружности, пройденной за фиксированное время, увеличивается, о чем можно судить по увеличению расстояния между точками для равных шагов по времени. на спирали на рисунке 5 при приближении к внешнему краю карусели.

Применяя законы Ньютона, умножая ускорение на массу шагохода, инерционный наблюдатель приходит к выводу, что на шагоход действуют две силы: центростремительная сила, направленная внутрь радиально, и другая сила, перпендикулярная радиальному направлению, которая пропорциональна скорости шагохода. .

Вращающийся наблюдатель

Вращающийся наблюдатель видит, что ходунок движется по прямой линии от центра карусели к периферии, как показано на рисунке 5. Более того, вращающийся наблюдатель видит, что ходунок движется с постоянной скоростью в одном и том же направлении, поэтому применяя закон Ньютона равна нулю инерция, сила, действующая на ходунка, . Эти выводы не согласуются с инерционным наблюдателем. Чтобы добиться согласия, вращающийся наблюдатель должен ввести фиктивные силы, которые кажутся существующими во вращающемся мире, даже если для них нет видимой причины, никакой видимой гравитационной массы, электрического заряда или чего-то еще, что могло бы объяснить эти фиктивные силы. .

Чтобы согласиться с инерционным наблюдателем, силы, приложенные к ходунку, должны быть именно такими, как указано выше. Их можно соотнести с уже выведенными общими формулами, а именно:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.$

В этом примере скорость, наблюдаемая во вращающейся системе отсчета, равна:

$\mathbf {v} _{\mathrm {B} }=s\mathbf {u} _{R},$

где u _{R -} единичный вектор в радиальном направлении. Положение ходунка, как видно на карусели:

$\mathbf {x} _{\mathrm {B} }=R(t)\mathbf {u} _{R},$

и производная по времени Ω равна нулю для равномерного углового вращения. Заметив, что

${\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{R}=\omega \mathbf {u} _{\theta }$

и

${\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{\theta }=-\omega \mathbf {u} _{R}\,,$

мы нашли:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m\omega s\mathbf {u} _{\theta }+m\omega ^{2}R(t)\mathbf {u} _{R}.$

Чтобы получить прямолинейное движение во вращающемся мире, должна быть приложена сила, точно противоположная по знаку фиктивной силе, чтобы уменьшить чистую силу, действующую на ходунка, до нуля, поэтому закон инерции Ньютона предсказывает прямолинейное движение, согласно с тем, что видит вращающийся наблюдатель. Фиктивные силы, с которыми необходимо бороться, — это сила Кориолиса (первый член) и центробежная сила (второй член). (Эти условия являются приблизительными. ) Применяя силы для противодействия этим двум фиктивным силам, вращающийся наблюдатель в конечном итоге прикладывает к ходунку точно такие же силы, которые, по предсказанию инерционного наблюдателя, были необходимы.

Поскольку они различаются только постоянной скоростью ходьбы, ходок и наблюдатель вращения видят одинаковые ускорения. С точки зрения пешехода, фиктивная сила воспринимается как реальная, и борьба с этой силой необходима, чтобы оставаться на прямолинейном радиальном пути, сохраняя постоянную скорость. Это все равно, что бороться с боковым ветром, когда тебя отбрасывает на край карусели.

Наблюдение

Обратите внимание, что это обсуждение кинематики не углубляется в механизм возникновения необходимых сил. Это предмет кинетики . В случае с каруселью кинетическое обсуждение, возможно, будет включать изучение обуви ходока и трения, которое они должны создавать о пол карусели, или, возможно, динамику катания на скейтборде, если ходок переключится на путешествие на скейтборде. Какими бы ни были средства передвижения по карусели, должны быть реализованы рассчитанные выше силы. Очень грубая аналогия с отоплением вашего дома: чтобы вам было комфортно, у вас должна быть определенная температура, но еще одна проблема, отапливаете ли вы газом или углем. Кинематика устанавливает термостат, кинетика разжигает печь.

См. также

• Аналитическая механика
• Прикладная механика
• Центробежная сила
• Центростремительная сила
• Круговое движение
• Классическая механика
• сила Кориолиса
• Криволинейные координаты § Фиктивные силы в общих криволинейных координатах
• Даламбера Принцип инерционных сил
• Динамика (физика)
• Уравнение свободного движения
• Формулы Френе – Серре
• Общая теория относительности
• Обобщенные координаты
• Обобщенная сила
• Сила тяжести
• Инерциальная система отсчета
• Кинематика
• Кинетика (физика)
• Законы движения Ньютона
• Неинерциальная система отсчета
• Ортогональные координаты
• Вращающаяся система отсчета
• Статика
• Равномерное круговое движение

Дальнейшее чтение

• Лев Д. Ландау и Е. М. Лифшиц (1976). Механика . Курс теоретической физики Том. 1 (3-е изд.). Баттерворт-Хейненан. стр. 100-1 128–130. ISBN  0-7506-2896-0 .
• Кейт Саймон (1971). Механика (3-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-07392-7 .
• Джерри Б. Мэрион (1970). Классическая динамика частиц и систем . Академическая пресса. ISBN  0-12-472252-0 .
• Марсель Дж. Сиди (1997). Динамика и управление космическим кораблем: практический инженерный подход . Издательство Кембриджского университета. Глава 4.8. ISBN  0-521-78780-7 .

Внешние ссылки

• Вопросы и ответы от Ричарда С. Брилла, Общественный колледж Гонолулу
• Дэвид Стерн из НАСА: Планы уроков для учителей № 23 по силам инерции
• Сила Кориолиса
• Движение по плоской поверхности Java-физлет Брайана Фидлера, иллюстрирующий вымышленные силы. Фислет показывает перспективу как с вращающейся, так и с невращающейся точки зрения.
• Движение по параболической поверхности Java-физлет Брайана Фидлера, иллюстрирующий вымышленные силы. Фислет показывает перспективу как с вращающейся, так и с невращающейся точки зрения.