Вращающиеся сферы

Аргумент Исаака Ньютона о вращающихся сферах пытается продемонстрировать, что истинное вращательное движение можно определить, наблюдая натяжение струны, соединяющей две одинаковые сферы. В основе аргумента лежит то, что все наблюдатели производят два наблюдения: натяжение нити, соединяющей тела (которое одинаково для всех наблюдателей) и скорость вращения сфер (которая различна для наблюдателей с разными скоростями вращения). . Только для действительно невращающегося наблюдателя натяжение струны можно объяснить, используя только наблюдаемую скорость вращения. Для всех остальных наблюдателей требуется «поправка» (центробежная сила), которая учитывает, что рассчитанное напряжение отличается от ожидаемого с использованием наблюдаемой скорости вращения. Это один из пяти аргументов из «свойств, причин и следствий» истинного движения и покоя, которые поддерживают его утверждение о том, что в целом истинное движение и покой не могут быть определены как особые случаи движения или покоя по отношению к другим телам, но вместо этого его можно определить только посредством ссылки на абсолютное пространство . С другой стороны, эти эксперименты дают практическое определение того, что подразумевается под « абсолютным вращением », и не претендуют на решение вопроса «вращение относительно чего ?» Общая теория относительности обходится без абсолютного пространства и физики, причина которой вне системы, с понятием геодезических пространства -времени .

Предыстория

Ньютон был озабочен решением проблемы того, как мы можем экспериментально определить истинные движения тел в свете того факта, что абсолютное пространство нельзя воспринимать. Такое определение, по его словам, может быть достигнуто путем наблюдения за причинами движения (то есть силами ), а не просто за видимыми движениями тел относительно друг друга (как в аргументе о ведре ). В качестве примера, где можно наблюдать причины, если два шара , плавающие в пространстве , соединены шнуром, измеряя величину натяжения шнура, без каких-либо других подсказок для оценки ситуации, одного достаточно, чтобы указать, насколько быстро два объекта вращаются вокруг общего центра масс. (Этот эксперимент предполагает наблюдение силы, напряжения). Кроме того, направление вращения — по часовой стрелке или против часовой стрелки — можно определить, приложив силы к противоположным сторонам шаров и выяснив, приводит ли это к увеличению или уменьшению натяжения шнура. (опять с применением силы). Альтернативно, направление вращения может быть определено путем измерения кажущегося движения шаров относительно фоновой системы тел, которая в соответствии с предыдущими методами уже установлена ​​как не находящаяся в состоянии вращения, как пример из Время Ньютона, фиксированные звезды .

В переводе Эндрю Мотта 1846 года слов Ньютона:

У нас есть некоторые аргументы, которыми мы можем руководствоваться, частично исходя из кажущихся движений, которые являются отличиями от истинных движений; частично от сил, которые являются причинами и следствиями истинных движений. Например, если бы два шара, находившиеся на данном расстоянии один от другого, посредством соединяющей их нити, вращались вокруг своего общего центра тяжести; по натяжению шнура мы могли бы обнаружить стремление шаров отступить от оси своего движения. ... И таким образом мы могли бы найти как количество, так и определение этого кругового движения даже в огромном вакууме, где не было ничего внешнего или ощутимого, с чем можно было бы сравнить земные шары.

- Исаак Ньютон, Начала , Книга 1, Схолиум.

Подводя итог этому предложению, приведу цитату Борна:

Если бы Земля находилась в покое, а вместо этого вся звездная система должна была бы вращаться в противоположном направлении один раз вокруг Земли за двадцать четыре часа, то, по мнению Ньютона, центробежные силы (в настоящее время приписываемые вращению Земли) не произойдет.

- Макс Борн: Теория относительности Эйнштейна , стр. 81-82.

Мах не согласился с этим аргументом, указав, что эксперимент с вращающейся сферой никогда не может быть проведен в пустой Вселенной, где, возможно, не применяются законы Ньютона, поэтому эксперимент на самом деле показывает только то, что происходит, когда сферы вращаются в нашей Вселенной, и, следовательно, , например, может указывать только на вращение относительно всей массы Вселенной.

Для меня существуют только относительные движения… Когда тело вращается относительно неподвижных звезд, возникают центробежные силы; когда он вращается относительно какого-то другого тела, а не относительно неподвижных звезд, центробежные силы не возникают.

— Эрнст Мах; как цитируется Чуфолини и Уиллером : Гравитация и инерция , с. 387

Интерпретация, позволяющая избежать этого конфликта, состоит в том, чтобы сказать, что эксперимент с вращающимися сферами на самом деле не определяет вращение относительно чего-либо конкретного (например, абсолютного пространства или неподвижных звезд); скорее, эксперимент представляет собой оперативное определение того, что подразумевается под движением, называемым абсолютным вращением .

Рисунок 1: Две сферы, связанные веревкой и вращающиеся с угловой скоростью ω. Из-за вращения нить, связывающая сферы вместе, находится под натяжением.

Рисунок 2: Покомпонентный вид вращающихся сфер в инерциальной системе отсчета, показывающий центростремительные силы на сферах, создаваемые натяжением связывающей веревки.

Формулировка аргумента

Этот пример сферы был использован самим Ньютоном для обсуждения обнаружения вращения относительно абсолютного пространства. Проверка фиктивной силы, необходимой для учета натяжения струны, — это один из способов для наблюдателя решить, вращаются они или нет: если фиктивная сила равна нулю, они не вращаются. (Конечно, в крайнем случае, таком как гравитронный аттракцион, не нужно особо убеждать в том, что вы вращаетесь, но, стоя на поверхности Земли, дело обстоит сложнее.) Ниже представлены математические детали этого наблюдения.

На рисунке 1 показаны две одинаковые сферы, вращающиеся вокруг центра соединяющей их струны. Ось вращения изображается в виде вектора Ω с направлением, определяемым правилом правой руки , и величиной, равной скорости вращения: |Ω| = ω. Угловая скорость вращения ω предполагается независимой от времени ( равномерное круговое движение ). Из-за вращения струна находится под натяжением. (См. реактивная центробежная сила .) Далее описание этой системы представлено с точки зрения инерциальной системы отсчета и вращающейся системы отсчета.

Инерционная рамка

Примите инерциальную систему отсчета с центром в средней точке струны. Шары движутся по кругу вокруг начала нашей системы координат. Посмотрите сначала на один из двух шаров. Чтобы двигаться по круговой траектории, которая представляет собой не равномерное движение с постоянной скоростью, а круговое движение с постоянной скоростью, требуется сила, действующая на шар так, чтобы постоянно изменять направление его скорости. Эта сила направлена ​​внутрь, вдоль направления струны, и называется центростремительной силой . К другому шару предъявляются те же требования, но, находясь на противоположном конце струны, требуется центростремительная сила того же размера, но противоположного направления. См. рисунок 2. Эти две силы создаются струной, натягивая ее, что также показано на рисунке 2.

Вращающаяся рамка

Примите вращающуюся рамку в средней точке струны. Предположим, что рамка вращается с той же угловой скоростью, что и шары, поэтому шары в этой вращающейся системе координат кажутся неподвижными. Поскольку шары не движутся, наблюдатели говорят, что они покоятся. Если бы они теперь применили закон инерции Ньютона, они бы сказали, что на шарики не действует никакая сила, поэтому веревку следует ослабить. Однако они ясно видят, что струна натянута. (Например, они могли разделить веревку и поместить в ее центр пружину, которая растягивалась бы.) Чтобы объяснить это напряжение, они предполагают, что в их системе на два шара действует центробежная сила, разрывающая их. Эта сила возникает из ниоткуда – это просто «факт жизни» в этом вращающемся мире, и она действует на все, что они наблюдают, а не только на эти сферы. Сопротивляясь этой вездесущей центробежной силе, струна оказывается под напряжением, что объясняет их наблюдение, несмотря на то, что сферы находятся в состоянии покоя.

Сила Кориолиса

Основная статья: эффект Кориолиса

Что, если сферы не вращаются в инерциальной системе отсчета (натяжение струн равно нулю)? Тогда натяжение струн во вращающейся рамке также будет равно нулю. Но как это может быть? Сферы во вращающейся рамке теперь кажутся вращающимися, и для этого потребуется внутренняя сила. Согласно анализу равномерного кругового движения :

$\mathbf {F} _{\mathrm {centripetal} }=-m\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times x_{B}} \right)\$

$=-m\omega ^{2}R\ \mathbf {u} _{R}\ ,$

где u _R — единичный вектор, указывающий от оси вращения на одну из сфер, а Ω — вектор, представляющий угловое вращение, с величиной ω и направлением, нормальным к плоскости вращения, заданным правилом правой руки , m — масса шара, а R — расстояние от оси вращения до сфер (величина вектора смещения, | x _B | = R , располагающего ту или иную из сфер). По мнению вращающегося наблюдателя, не должно ли натяжение струны быть в два раза больше, чем раньше (натяжение центробежной силы плюс дополнительное натяжение, необходимое для обеспечения центростремительной силы вращения)? Причина, по которой вращающийся наблюдатель видит нулевое напряжение, заключается в еще одной фиктивной силе во вращающемся мире, силе Кориолиса , которая зависит от скорости движущегося объекта. В этом случае нулевого напряжения, согласно вращающемуся наблюдателю, сферы теперь движутся, и активируется сила Кориолиса (которая зависит от скорости). Согласно статье фиктивная сила , сила Кориолиса:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\$

$=-2m\omega \left(\omega R\right)\ \mathbf {u} _{R},$

где R — расстояние до объекта от центра вращения, а v _B — скорость объекта, на который действует сила Кориолиса, | в _Б | знак равно ω р .

В геометрии этого примера эта сила Кориолиса имеет вдвое большую величину, чем вездесущая центробежная сила, и имеет прямо противоположное направление. Таким образом, он компенсирует вездесущую центробежную силу, обнаруженную в первом примере, и делает еще один шаг вперед, обеспечивая именно ту центростремительную силу, которая требуется для равномерного кругового движения, поэтому вращающийся наблюдатель считает, что в натяжении струны нет необходимости — сила Кориолиса. следит за всем.

Общий случай

Что произойдет, если сферы вращаются с одной угловой скоростью, скажем ω _I ( I = инерциальная), а рамка вращается с другой скоростью ω _R ( R = вращательная)? Инерционные наблюдатели видят круговое движение, и натяжение струны оказывает центростремительную внутреннюю силу на сферы:

$\mathbf {T} =-m\omega _{I}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ .$

Эта сила также является силой напряжения, наблюдаемой вращающимися наблюдателями. Вращающиеся наблюдатели видят сферы, движущиеся по кругу с угловой скоростью ω _S = ω _I − ω _R ( S = сферы). То есть, если система отсчета вращается медленнее, чем сферы, ω _S > 0, и сферы движутся против часовой стрелки по кругу, тогда как для более быстро движущейся системы отсчета ω _S < 0, и сферы кажутся отступающими по часовой стрелке по кругу. В любом случае вращающиеся наблюдатели видят круговое движение и требуют чистой внутренней центростремительной силы:

$\mathbf {F} _{\mathrm {Centripetal} }=-m\omega _{S}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ .$

Однако эта сила не является натяжением струны. Таким образом, наблюдатели вращения приходят к выводу, что существует сила (которую наблюдатели инерции называют фиктивной силой), так что:

$\mathbf {F} _{\mathrm {Centripetal} }=\mathbf {T} +\mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }\ ,$

или,

$\mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=-m\left(\omega _{S}^{2}R-\omega _{I}^{2}R\right)\mathbf {u} _{R}\ .$

Фиктивная сила меняет знак в зависимости от того, какая из ω _I и ω _S больше. Причина смены знака заключается в том, что когда ω _I > ω _S , сферы на самом деле движутся быстрее, чем измеряют вращающиеся наблюдатели, поэтому они измеряют натяжение струны, которое на самом деле больше, чем они ожидают; следовательно, фиктивная сила должна увеличивать напряжение (точкой наружу). Когда ω _I < ω _S , все происходит наоборот, поэтому фиктивная сила должна уменьшать натяжение и, следовательно, имеет противоположный знак (точки внутрь).

Является ли фиктивная сила ad hoc ?

Введение F _Fict позволяет наблюдателям вращения и инерционным наблюдателям согласовать натяжение струны. Однако мы можем спросить: «Соответствует ли это решение общему опыту других ситуаций или это просто «придуманное» специальное решение?» Ответ на этот вопрос можно получить, посмотрев, как это значение F _Fict находится в квадрате с общим результатом (полученным в Fictitious Force ):

$\mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B})$ $\ -m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{B}\ .$

Индекс B относится к величинам, отнесенным к неинерциальной системе координат. Полные обозначения имеют фиктивную силу . Для постоянной угловой скорости вращения последний член равен нулю. Для оценки остальных членов нам необходимо положение одной из сфер:

$\mathbf {x} _{B}=R\mathbf {u} _{R}\ ,$

и скорость этой сферы, как видно во вращающейся системе отсчета:

$\mathbf {v} _{B}=\omega _{S}R\mathbf {u} _{\theta }\ ,$

где u _θ — единичный вектор, перпендикулярный u _R, указывающий направление движения.

Рамка вращается со скоростью ω _R , поэтому вектор вращения равен Ω = ω _R u _z ( u _z единичный вектор в направлении z ), а Ω × u _R = ω _R ( u _z × u _R ) = ω _р ты _θ ; Ω × ты _θ знак равно -ω _р ты _р . Тогда центробежная сила равна:

$\mathbf {F} _{\mathrm {Cfgl} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B})=m\omega _{R}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ ,$

которая, естественно, зависит только от скорости вращения рамки и всегда направлена ​​наружу. Сила Кориолиса – это

$\mathbf {F} _{\mathrm {Cor} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}=2m\omega _{S}\omega _{R}R\mathbf {u} _{R}$

и имеет способность менять знак: будучи направленным наружу, когда сферы движутся быстрее, чем рамка ( ω _S > 0 ), и внутрь, когда сферы движутся медленнее, чем рамка ( ω _S < 0 ). Объединение терминов:

$\mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=\mathbf {F} _{\mathrm {Cfgl} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Cor} }$ $=\left(m\omega _{R}^{2}R+2m\omega _{S}\omega _{R}R\right)\mathbf {u} _{R}=m\omega _{R}\left(\omega _{R}+2\omega _{S}\right)R\mathbf {u} _{R}$

$=m(\omega _{I}-\omega _{S})(\omega _{I}+\omega _{S})\ R\mathbf {u} _{R}=-m\left(\omega _{S}^{2}-\omega _{I}^{2}\right)\ R\mathbf {u} _{R}.$

Следовательно, фиктивная сила, найденная выше для этой проблемы вращающихся сфер, согласуется с общим результатом и не является специальным решением, просто «приготовленным» для достижения согласия для этого единственного примера. Более того, именно сила Кориолиса позволяет фиктивной силе менять знак в зависимости от того, какая из ω _I , ω _S больше, поскольку вклад центробежной силы всегда направлен наружу.

и космическое

Изотропия космического фонового излучения является еще одним показателем того, что Вселенная не вращается.

См. также

• Аргумент ведра
• Центробежная сила (вращающаяся система отсчета)
• Фиктивная сила
• Принцип Маха
• Механика движения плоских частиц
• Эффект Саньяка
• Микроволновой датчик анизотропии Wilkinson