Теорема Ньютона о вращающихся орбитах

Продолжительность: 17 секунд. 0:17

Рисунок 1: Сила притяжения F ( r ) заставляет голубую планету двигаться по голубому кругу. Зеленая планета движется в три раза быстрее и, следовательно, требует более сильной центростремительной силы , которая создается за счет добавления силы притяжения обратного куба. Красная планета неподвижна; сила F ( r ) уравновешивается отталкивающей силой обратного куба. GIF - версию этой анимации можно найти здесь .

Рисунок 2: Радиусы r зеленой и синей планет одинаковы, но их угловая скорость раз различается в k . Примеры таких орбит показаны на рисунках 1 и 3–5.

В классической механике теорема Ньютона о вращающихся орбитах определяет тип центральной силы, необходимой для умножения угловой скорости частицы на коэффициент k, не влияя на ее радиальное движение (рис. 1 и 2). Ньютон применил свою теорему для понимания общего вращения орбит ( апсидальная прецессия , рисунок 3), которое наблюдается для Луны и планет . Термин «радиальное движение» означает движение к центру силы или от него, тогда как угловое движение перпендикулярно радиальному движению.

Исаак Ньютон вывел эту теорему в предложениях 43–45 книги I своей книги Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , впервые опубликованной в 1687 году. В предложении 43 он показал, что добавленная сила должна быть центральной силой, величина которой зависит только от расстояния r. между частицей и точкой, фиксированной в пространстве (центром). В предложении 44 он вывел формулу для силы, показав, что это сила обратного куба, которая изменяется как обратный куб r . В предложении 45 Ньютон распространил свою теорему на произвольные центральные силы, предположив, что частица движется по почти круговой орбите.

Как отметил астрофизик Субраманьян Чандрасекхар Ньютона в 1995 году в своем комментарии к «Началам» , эта теорема оставалась в значительной степени неизвестной и неразработанной на протяжении более трех столетий. С 1997 года теорему изучают Дональд Линден-Белл и его коллеги. Его первое точное расширение произошло в 2000 году благодаря работе Магомеда и Вавды.

Исторический контекст

Ретроградное движение Марса , вид с Земли.

Продолжительность: 33 секунды. 0:33

Рисунок 3: Планеты, вращающиеся вокруг Солнца, следуют эллиптическим (овальным) орбитам, которые постепенно вращаются с течением времени ( апсидальная прецессия ). Эксцентриситет . этого эллипса преувеличен для наглядности Большинство орбит Солнечной системы имеют гораздо меньший эксцентриситет, что делает их почти круглыми. GIF - версию этой анимации можно найти здесь .

Движение астрономических тел систематически изучалось на протяжении тысячелетий. Было замечено, что звезды вращались равномерно, всегда сохраняя одно и то же относительное положение друг относительно друга. Однако наблюдалось блуждание других тел на фоне неподвижных звезд; большинство таких тел назывались планетами в честь греческого слова «πλανήτοι» ( planetoi ), означающего «странники». Хотя они обычно движутся в одном и том же направлении по траектории по небу ( эклиптике ), отдельные планеты иногда ненадолго меняют свое направление, демонстрируя ретроградное движение .

Для описания этого движения вперед и назад Аполлоний Пергский ( ок. 262 — ок. 190 до н. э. ) разработал концепцию деферентов и эпициклов , согласно которой планеты переносятся по вращающимся кругам, которые сами переносятся по другим вращающимся кругам. и так далее. Любую орбиту можно описать достаточным количеством разумно выбранных эпициклов, поскольку этот подход соответствует современному преобразованию Фурье . Примерно 350 лет спустя Клавдий Птолемей опубликовал свой «Альмагест» , в котором разработал эту систему, соответствующую лучшим астрономическим наблюдениям своей эпохи. Для объяснения эпициклов Птолемей принял геоцентрическую космологию Аристотеля , согласно которой планеты были заключены в концентрические вращающиеся сферы. Эта модель Вселенной была авторитетной на протяжении почти 1500 лет.

Современное понимание движения планет возникло в результате совместных усилий астронома Тихо Браге и физика Иоганна Кеплера в 16 веке. Тихо приписывают чрезвычайно точные измерения движения планет, на основе которых Кеплер смог вывести свои законы движения планет . Согласно этим законам, планеты движутся по эллипсам (не эпициклам ) вокруг Солнца (не Земли). Второй и третий законы Кеплера дают конкретные количественные предсказания: планеты охватывают равные площади за одинаковое время, а квадрат периодов их обращения равен фиксированной константе, умноженной на куб их большой полуоси . Последующие наблюдения за орбитами планет показали, что длинная ось эллипса (так называемая линия апсид ) постепенно вращается со временем; это вращение известно как апсидальная прецессия . Апсиды ; орбиты — это точки, в которых вращающееся тело находится ближе или дальше всего от притягивающего центра для планет, вращающихся вокруг Солнца, апсиды соответствуют перигелию (ближайшему) и афелию (самому дальнему).

Опубликовав свои «Начала» примерно восемьдесят лет спустя (1687 г.), Исаак Ньютон представил физическую теорию, объясняющую все три закона Кеплера, теорию, основанную на законах движения Ньютона и его законе всемирного тяготения . В частности, Ньютон предположил, что гравитационная сила между любыми двумя телами представляет собой центральную силу F ( r ), которая изменяется как обратный квадрат расстояния r между ними. Аргументируя свои законы движения, Ньютон показал, что орбита любой частицы, на которую действует одна такая сила, всегда представляет собой коническое сечение , особенно эллипс, если он не уходит в бесконечность. Однако этот вывод справедлив только при наличии двух тел ( задача двух тел ); движение трех или более тел, действующих под действием взаимного тяготения ( проблема n тел ), оставалось нерешенным в течение столетий после Ньютона, решения для нескольких особых случаев . хотя были найдены Ньютон предположил, что орбиты планет вокруг Солнца в основном имеют эллиптическую форму, поскольку гравитация Солнца является доминирующей; В первом приближении наличием других планет можно пренебречь. По аналогии, на эллиптической орбите Луны вокруг Земли доминировала земная гравитация; гравитацией Солнца и других тел Солнечной системы в первом приближении можно пренебречь. Однако Ньютон заявил, что постепенная апсидальная прецессия планетных и лунных орбит произошла из-за эффектов этих пренебрегаемых взаимодействий; в частности, он заявил, что прецессия орбиты Луны произошла из-за возмущающих эффектов гравитационного взаимодействия с Солнцем.

Теорема Ньютона о вращающихся орбитах была его первой попыткой количественно понять апсидальную прецессию. Согласно этой теореме, добавление определенного типа центральной силы — силы обратного куба — может создать вращающуюся орбиту; угловая скорость умножается на коэффициент k , тогда как радиальное движение остается неизменным. Однако эта теорема ограничена конкретным типом силы, который может быть неактуален; некоторые возмущающие взаимодействия обратного квадрата (например, взаимодействия других планет) вряд ли будут в точности составлять силу обратного куба. Чтобы сделать свою теорему применимой к другим типам сил, Ньютон нашел наилучшее приближение произвольной центральной силы F ( r ) к потенциалу обратного куба в пределе почти круговых орбит, то есть эллиптических орбит с низким эксцентриситетом, как действительно верно для большинства орбит Солнечной системы. Чтобы найти это приближение, Ньютон разработал бесконечный ряд, который можно рассматривать как предшественник расширения Тейлора . Это приближение позволило Ньютону оценить скорость прецессии произвольных центральных сил. Ньютон применил это приближение для проверки моделей силы, вызывающей апсидальную прецессию орбиты Луны. Однако проблема движения Луны чрезвычайно сложна, и Ньютон так и не опубликовал точную гравитационную модель апсидальной прецессии Луны. После более точной модели Клеро в 1747 г. аналитические модели движения Луны были разработаны в конце 19 века Хиллом , Коричневый, и Делоне .

Однако теорема Ньютона является более общей, чем просто объяснение апсидальной прецессии. Он описывает эффекты добавления силы обратного куба к любой центральной силе F ( r ), а не только к силам обратных квадратов, таким как закон всемирного тяготения Ньютона и закон Кулона . Теорема Ньютона упрощает орбитальные задачи в классической механике , исключая из рассмотрения силы обратного куба. Радиальные и угловые движения r ( t ) и θ ₁ ( t ) могут быть рассчитаны без использования силы обратного куба; впоследствии его эффект можно рассчитать, умножив угловую скорость частицы

$\omega _{2}={\frac {d\theta _{2}}{dt}}=k{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=k\omega _{1}.$

Математическое утверждение

Продолжительность: 17 секунд. 0:17

Рисунок 4: Все три планеты имеют одинаковое радиальное движение (голубой круг), но движутся с разной угловой скоростью. Голубая планета испытывает только силу , обратную квадрату , и движется по эллипсу ( k = 1). Зеленая планета движется по углу в три раза быстрее, чем голубая планета ( k = 3); он совершает три оборота на каждую орбиту голубой планеты. Красная планета иллюстрирует чисто радиальное движение без углового движения ( k = 0). Пути, по которым следовали зеленая и синяя планеты, показаны на рисунке 9 . GIF - версию этой анимации можно найти здесь .

Продолжительность: 17 секунд. 0:17

Рисунок 5: Зеленая планета движется по углу на одну треть быстрее, чем голубая планета ( k = 1/3); он совершает один виток на каждые три синих витка. Пути, по которым следовали зеленая и синяя планеты, показаны на рисунке 10 . GIF - версию этой анимации можно найти здесь .

Рассмотрим частицу, движущуюся под действием произвольной центральной силы F ₁ ( r ), величина которой зависит только от расстояния r между частицей и неподвижным центром. Поскольку движение частицы под действием центральной силы всегда лежит в плоскости, то положение частицы можно описать полярными координатами ( r , θ ₁ ), радиусом и углом частицы относительно центра силы (рис. 1). ). Обе эти координаты, r ( t ) и θ1 _t ( ) , изменяются со временем t по мере движения частицы.

Представьте себе вторую частицу с той же массой m и с таким же радиальным движением r ( t ), но угловая скорость которой в k раз превышает угловую скорость первой частицы. Другими словами, азимутальные углы двух частиц связаны уравнением θ ₂ ( t ) = k θ ₁ ( t ). Ньютон показал, что движение второй частицы можно создать, добавив центральную силу обратного куба к любой силе F ₁ ( r ), действующей на первую частицу.

$F_{2}(r)-F_{1}(r)={\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)$

где L ₁ — величина углового момента первой частицы , который является константой движения (сохраняющейся) для центральных сил.

Если к ² больше единицы, F ₂ − F ₁ — отрицательное число; таким образом, добавленная сила обратного куба является притягивающей , как это наблюдается на зеленой планете на рисунках 1–4 и 9. Напротив, если k ² меньше единицы, F ₂ − F ₁ – положительное число; добавленная сила обратного куба является отталкивающей , как это наблюдается на зеленой планете на рисунках 5 и 10 и на красной планете на рисунках 4 и 5.

Изменение траектории частицы

Добавление такой силы обратного куба также меняет путь, по которому движется частица. Путь частицы игнорирует временные зависимости радиального и углового движения, такие как ( t ) и θ1 _t ( r ); скорее, он связывает переменные радиуса и угла друг с другом. Для этой цели переменная угла не ограничена и может неограниченно увеличиваться по мере того, как частица несколько раз вращается вокруг центральной точки. Например, если частица дважды вращается вокруг центральной точки и возвращается в исходное положение, ее конечный угол не будет таким же, как ее начальный угол; скорее, он увеличился на 2×360° = 720° . Формально угловая переменная определяется как интеграл угловой скорости

$\theta _{1}\equiv \int \omega _{1}(t)\,dt.$

Аналогичное определение справедливо для θ ₂ , угла второй частицы.

Если путь первой частицы описывается в виде r = g ( θ ₁ ) , то путь второй частицы задается функцией r = g (θ ₂ / k ) , поскольку θ ₂ = k θ ₁ . Например, пусть путь первой частицы представляет собой эллипс.

${\frac {1}{r}}=A+B\cos \theta _{1}$

где А и В — константы; тогда путь второй частицы определяется выражением

${\frac {1}{r}}=A+B\cos \left({\frac {\theta _{2}}{k}}\right).$

Орбитальная прецессия

Если k близко, но не равно единице, вторая орбита похожа на первую, но постепенно вращается вокруг центра силы; это известно как орбитальная прецессия (рис. 3). Если k больше единицы, орбита прецессирует в том же направлении, что и орбита (рис. 3); если k меньше единицы, орбита прецессирует в противоположном направлении.

Хотя может показаться, что орбита на рисунке 3 вращается равномерно, т. е. с постоянной угловой скоростью, это верно только для круговых орбит. Если орбита вращается с угловой скоростью Ω , угловая скорость второй частицы быстрее или медленнее, чем у первой частицы на Ω ; другими словами, угловые скорости удовлетворяли бы уравнению ω ₂ = ω ₁ + Ω . Однако теорема Ньютона о вращающихся орбитах утверждает, что угловые скорости связаны умножением: ω ₂ = kω ₁ , где k — константа. Объединение этих двух уравнений показывает, что угловая скорость прецессии равна Ω = ( k − 1) ω ₁ . Следовательно, Ω постоянна, только если ω ₁ постоянна. Согласно закону сохранения углового момента, ω ₁ изменяется с радиусом r

$\omega _{1}={\frac {L_{1}}{mr^{2}}};$

где m и L ₁ первой частицы — масса и угловой момент соответственно, оба из которых постоянны. Следовательно, ω ₁ постоянна только в том случае, если радиус r постоянен, т. е. когда орбита представляет собой круг. Однако в этом случае орбита не меняется по мере прецессии.

Показательный пример: спирали Котса.

Рисунок 6: Для синей частицы, движущейся по прямой, радиус r от заданного центра изменяется в зависимости от угла в соответствии с уравнением b = r cos(θ − θ ₀ ) , где b — расстояние наибольшего сближения ( прицельный параметр , показано красным).

Простейшая иллюстрация теоремы Ньютона возникает в случае отсутствия начальной силы, т. е. F ₁ ( r ) = 0. В этом случае первая частица неподвижна или движется прямолинейно. Если она движется по прямой, которая не проходит через начало координат (желтая линия на рисунке 6), уравнение для такой линии можно записать в полярных координатах ( r , θ ₁ ) как

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cos \ (\theta _{1}-\theta _{0})$

где θ ₀ — угол, при котором расстояние минимизируется (рис. 6). Расстояние r начинается на бесконечности (при θ ₁ – θ ₀ = −90° ) и постепенно уменьшается до θ ₁ – θ ₀ = 0° , когда расстояние достигает минимума, затем снова постепенно увеличивается до бесконечности при θ ₁ – θ. ₀ = 90° . Минимальное расстояние b — это прицельный параметр , который определяется как длина перпендикуляра от неподвижного центра к линии движения. Такое же радиальное движение возможно, если добавить центральную силу обратного куба.

Рисунок 7: Эписпирали, соответствующие k , равному 2/3 (красный), 1,0 (черный), 1,5 (зеленый), 3,0 (голубой) и 6,0 (синий). Когда k меньше единицы, сила обратного куба является отталкивающей, тогда как когда k больше единицы, сила притяжения.

Центральная сила обратного куба F ₂ ( r ) имеет вид

$F_{2}(r)={\frac {\mu }{r^{3}}}$

где числитель μ может быть положительным (отталкивающим) или отрицательным (привлекательным). Если вводится такая сила обратного куба, теорема Ньютона гласит, что соответствующие решения имеют форму, называемую спиралями Котса. . Это кривые, определяемые уравнением

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cos \ \left({\frac {\theta _{2}-\theta _{0}}{k}}\right)$

где константа k равна

$k^{2}=1-{\frac {m\mu }{L_{1}^{2}}}$

Когда правая часть уравнения представляет собой положительное действительное число , решение соответствует эписпирали . Когда аргумент θ ₁ – θ ₀ равен ±90°× k , косинус обращается в ноль, а радиус обращается в бесконечность. Таким образом, когда k меньше единицы, диапазон допустимых углов становится малым и сила становится отталкивающей (красная кривая справа на рисунке 7). С другой стороны, когда k больше единицы, диапазон разрешенных углов увеличивается, что соответствует силе притяжения (зеленая, голубая и синяя кривые слева на рисунке 7); орбита частицы может даже несколько раз обернуться вокруг центра. Возможные значения параметра k могут находиться в диапазоне от нуля до бесконечности, что соответствует значениям μ в диапазоне от отрицательной бесконечности до положительного верхнего предела L _1. ² / м . Таким образом, для всех притягивающих сил обратного куба (отрицательных ц) существует соответствующая эписпиральная орбита, как и для некоторых отталкивающих (ц < L ₁ ² / м ), как показано на рисунке 7. Более сильные силы отталкивания соответствуют более быстрому линейному движению.

Рисунок 8: Спирали Пуансо ( спирали Коша ), соответствующие λ, равному 1,0 (зеленый), 3,0 (голубой) и 6,0 (синий).

Один из других типов решений дается через гиперболический косинус :

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cosh \ \left({\frac {\theta _{0}-\theta _{2}}{\lambda }}\right)$

где константа λ удовлетворяет условию

$\lambda ^{2}={\frac {m\mu }{L_{1}^{2}}}-1$

Эта форма спиралей Котса соответствует одной из двух спиралей Пуансо (рис. 8). Возможные значения λ варьируются от нуля до бесконечности, что соответствует значениям µ, превышающим положительное число L _1. ² / м . Таким образом, спиральное движение Пуансо происходит только для отталкивающих центральных сил обратного куба и применяется в том случае, если L не слишком велико для данного ц.

Доведение предела k или λ до нуля дает третью форму спирали Котса, так называемую обратную спираль или гиперболическую спираль , в качестве решения.

${\frac {1}{r}}=A\theta _{2}+\varepsilon$

где A и ε — произвольные константы. Такие кривые возникают, когда сила μ силы отталкивания точно уравновешивает член момента импульса-массы.

$\mu ={\frac {L_{1}^{2}}{m}}$

Замкнутые орбиты и центральные силы обратного куба

Рисунок 9: Гармонические орбиты с k = 1 (синий), 2 (пурпурный) и 3 (зеленый). Анимация синей и зеленой орбит показана на рисунке 4.

Два типа центральных сил — те, которые линейно возрастают с расстоянием, F = Cr , такие как закон Гука , и силы обратных квадратов, F = C / r. ² , такие как закон всемирного тяготения Ньютона и закон Кулона , — обладают очень необычным свойством. Частица, движущаяся под действием любого типа сил, всегда возвращается в исходное место со своей начальной скоростью, при условии, что ей не хватает энергии для движения на бесконечность. Другими словами, путь связанной частицы всегда замкнут и ее движение повторяется бесконечно, независимо от ее начального положения или скорости. Как показывает теорема Бертрана , это свойство неверно для других типов сил; вообще говоря, частица не вернется в исходную точку с той же скоростью.

Однако теорема Ньютона показывает, что обратная кубическая сила может быть приложена к частице, движущейся под действием линейной или обратной квадратичной силы, так что ее орбита остается замкнутой, при условии, что k равно рациональному числу . (Число называется «рациональным», если его можно записать в виде дроби m / n , где m и n — целые числа.) В таких случаях добавление обратной кубической силы заставляет частицу совершать m оборотов вокруг центра. силы за то же время, за которое исходная частица совершает n оборотов. Этот метод создания замкнутых орбит не нарушает теорему Бертрана, поскольку добавленная обратно-кубическая сила зависит от начальной скорости частицы.

Рисунок 10: Субгармонические орбиты с k = 1 (синий), 1/2 (пурпурный) и 1/3 (зеленый). Анимация синей и зеленой орбит показана на рисунке 5.

Гармонические и субгармонические орбиты являются особыми типами таких замкнутых орбит. Замкнутая траектория называется гармонической орбитой, если k — целое число, т. е. если n = 1 в формуле k = m / n . Например, если k = 3 (зеленая планета на рисунках 1 и 4, зеленая орбита на рисунке 9), результирующая орбита является третьей гармоникой исходной орбиты. И наоборот, замкнутая траектория называется субгармонической орбитой, если k является обратным целому числу, т. е. если m = 1 в формуле k = m / n . Например, если k = 1/3 (зеленая планета на рисунке 5, зеленая орбита на рисунке 10), результирующая орбита называется третьей субгармоникой исходной орбиты. Хотя такие орбиты вряд ли встречаются в природе, они полезны для иллюстрации теоремы Ньютона.

Предел почти круговых орбит

В предложении 45 своих «Начал» Ньютон применяет свою теорему о вращающихся орбитах, чтобы разработать метод поиска силовых законов, управляющих движением планет. Иоганн Кеплер заметил, что орбиты большинства планет и Луны представляют собой эллипсы, и длинную ось этих эллипсов можно точно определить на основе астрономических измерений. Длинная ось определяется как линия, соединяющая положения минимального и максимального расстояний до центральной точки, т. е. линия, соединяющая две апсиды . Например, длинная ось планеты Меркурий определяется как линия, проходящая через последовательные положения перигелия и афелия. Со временем длинная ось большинства вращающихся тел постепенно вращается, обычно не более чем на несколько градусов за полный оборот, из-за гравитационных возмущений со стороны других тел, сжатия притягивающего тела , общих релятивистских эффектов и других эффектов. Метод Ньютона использует эту апсидальную прецессию как чувствительный датчик типа силы, приложенной к планетам.

Теорема Ньютона описывает только эффекты добавления центральной силы обратного куба. Однако Ньютон распространяет свою теорему на произвольную центральную силу F ( r ), ограничивая свое внимание почти круговыми орбитами, такими как эллипсы с низким орбитальным эксцентриситетом ( ε ≤ 0,1), что верно для семи из восьми планетарных орбит в Солнечная система . Ньютон также применил свою теорему к планете Меркурий. которая имеет эксцентриситет ε примерно 0,21, и предположил, что она может относиться к комете Галлея , орбита которой имеет эксцентриситет примерно 0,97.

Качественное обоснование такой экстраполяции его метода было предложено Валлури, Уилсоном и Харпером. Согласно их аргументам, Ньютон считал угол апсидальной прецессии α (угол между векторами последовательного минимального и максимального расстояния от центра) гладкой , непрерывной функцией эксцентриситета орбиты ε. Для силы обратного квадрата α равно 180°; векторы к положениям минимального и максимального расстояний лежат на одной прямой. Если α изначально не равен 180° при низких ε (квазикруговые орбиты), то, вообще говоря, α будет равен 180° только для изолированных значений ε; очень маловероятно, что случайно выбранное значение ε даст α = 180 °. Таким образом, наблюдаемое медленное вращение апсид планетарных орбит позволяет предположить, что сила гравитации подчиняется закону обратных квадратов.

Количественная формула

Чтобы упростить уравнения, Ньютон записывает F ( r ) через новую функцию C ( r )

$F(r)={\frac {C(r)}{Rr^{3}}}$

где R — средний радиус почти круговой орбиты. Ньютон разлагает C ( r ) в ряд, ныне известный как разложение Тейлора , по степеням расстояния r , что является одним из первых появлений такого ряда. Приравнивая полученный член силы обратного куба к силе обратного куба для вращающихся орбит, Ньютон выводит эквивалентный угловой коэффициент масштабирования k для почти круговых орбит:

${\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {R}{C}}\right)\left.{\frac {dC}{dr}}\right|_{r=R}$

Другими словами, приложение произвольной центральной силы F ( r ) к почти круговой эллиптической орбите может ускорить угловое движение в k раз , не влияя существенно на радиальное движение. Если эллиптическая орбита неподвижна, частица вращается вокруг центра силы на 180° при движении от одного конца длинной оси к другому (две апсиды ). Таким образом, соответствующий апсидальный угол α для общей центральной силы равен k ×180° по общему закону θ ₂ = k θ ₁ .

Примеры

Ньютон иллюстрирует свою формулу тремя примерами. В первых двух центральная сила представляет собой степенной закон , F ( r ) = r ^{п -3} , поэтому C ( r ) пропорциональна r ^н . Приведенная выше формула показывает, что угловое движение умножается на коэффициент k = 1/ √ n , так что апсидальный угол α равен 180°/ √ n .

Это угловое масштабирование можно увидеть в апсидальной прецессии, то есть в постепенном вращении длинной оси эллипса (рис. 3). Как отмечалось выше, орбита в целом вращается со средней угловой скоростью Ω =( k −1) ω , где ω равна средней угловой скорости частицы вокруг стационарного эллипса. Если частице требуется время T , чтобы переместиться из одной апсиды в другую, это означает, что за это же время длинная ось повернется на угол β = Ω T = ( k − 1) ωT = ( k − 1) ×180°. Для закона обратных квадратов , такого как закон всемирного тяготения Ньютона , где n равно 1, угловое масштабирование отсутствует ( k = 1), апсидальный угол α равен 180 °, а эллиптическая орбита стационарна ( Ω = β = 0 ).

В качестве последней иллюстрации Ньютон рассматривает сумму двух степенных законов.

$C(r)\propto ar^{m}+br^{n}$

что умножает угловую скорость на коэффициент

$k={\sqrt {\frac {a+b}{am+bn}}}$

Ньютон применяет обе эти формулы (степенной закон и сумму двух степенных законов) для исследования апсидальной прецессии орбиты Луны.

Прецессия орбиты Луны

Движение Луны более сложное, чем движение планет, главным образом из-за конкурирующих гравитационных сил Земли и Солнца.

Движение Луны можно точно измерить, и оно заметно сложнее, чем движение планет. Древнегреческие астрономы Гиппарх и Птолемей отметили несколько периодических изменений орбиты Луны. такие как небольшие колебания эксцентриситета ее орбиты и наклона ее орбиты к плоскости эклиптики . Эти колебания обычно происходят раз в месяц или два раза в месяц. Линия его апсид постепенно прецессирует с периодом примерно 8,85 года, а линия узлов совершает полный оборот примерно вдвое быстрее, за 18,6 года. Этим объясняется примерно 18-летняя периодичность затмений , так называемый цикл Сароса . Однако обе линии испытывают небольшие колебания в своем движении, опять же в месячном масштабе.

В 1673 году Джеремайя Хоррокс опубликовал достаточно точную модель движения Луны, в которой предполагалось, что Луна следует по прецессирующей эллиптической орбите. корабля Достаточно точный и простой метод предсказания движения Луны решил бы навигационную задачу определения долготы ; во времена Ньютона целью было предсказать положение Луны с точностью до 2 футов (двух угловых минут ), что соответствовало ошибке в 1° земной долготы. Модель Хоррокса предсказала положение Луны с ошибкой не более 10 угловых минут; для сравнения, диаметр Луны составляет примерно 30 угловых минут.

Ньютон использовал свою теорему о вращающихся орбитах двумя способами, чтобы объяснить апсидальную прецессию Луны. Во-первых, он показал, что наблюдаемую апсидальную прецессию Луны можно объяснить, изменив закон силы гравитации с закона обратных квадратов на степенной закон , в котором показатель степени равен 2 + 4/243 (примерно 2,0165).

$F(r)=-{\frac {GMm}{r^{2+4/243}}}$

В 1894 году Асаф Холл чтобы объяснить аномальную прецессию орбиты планеты применил этот подход, слегка изменив показатель степени в законе обратных квадратов , Меркурий . который наблюдал в 1859 году Урбен Леверье . По иронии судьбы, теория Холла была опровергнута тщательными астрономическими наблюдениями за Луной. этой Принятое в настоящее время объяснение теорию прецессии включает в себя общую относительности , которая (в первом приближении ) добавляет силу обратной четвертой степени, то есть силу, которая изменяется как обратная четвертая степень расстояния.

В качестве второго подхода к объяснению прецессии Луны Ньютон предположил, что возмущающее влияние Солнца на движение Луны может быть примерно эквивалентно дополнительной линейной силе.

$F(r)={\frac {A}{r^{2}}}+Br$

Первый член соответствует гравитационному притяжению между Луной и Землей, где r — расстояние Луны от Земли. Второй член, как рассуждал Ньютон, может представлять собой среднюю возмущающую силу гравитации Солнца в системе Земля-Луна. Подобный закон силы мог бы возникнуть и в том случае, если бы Земля была окружена сферическим пылевым облаком одинаковой плотности. Используя формулу для k для почти круговых орбит и оценки A и B , Ньютон показал, что этот силовой закон не может объяснить прецессию Луны, поскольку предсказанный апсидальный угол α был (≈ 180,76 °), а не наблюдаемый α (≈ 181,525°). За каждый оборот длинная ось будет поворачиваться на 1,5°, что составляет примерно половину наблюдаемых 3,0°.

Обобщение

Исаак Ньютон впервые опубликовал свою теорему в 1687 году в виде предложений 43–45 книги I своей книги Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica . Однако, как заметил астрофизик Субраманьян Чандрасекхар Ньютона в 1995 году в своем комментарии к «Началам» , теорема оставалась в значительной степени неизвестной и неразработанной на протяжении более трех столетий.

Первое обобщение теоремы Ньютона было обнаружено Магомедом и Вавдой в 2000 году. Как и Ньютон, они предположили, что угловое движение второй частицы в k раз быстрее, чем у первой частицы, θ ₂ = k θ ₁ . Однако, в отличие от Ньютона, Магомед и Вавда не требовали, чтобы радиальное движение двух частиц было одинаковым, r ₁ = r ₂ . Скорее, они требовали, чтобы обратные радиусы были связаны линейным уравнением

${\frac {1}{r_{2}(t)}}={\frac {a}{r_{1}(t)}}+b$

Это преобразование переменных меняет путь частицы. Если путь первой частицы записан r ₁ = g (θ ₁ ) , путь второй частицы можно записать как

${\frac {ar_{2}}{1-br_{2}}}=g\left({\frac {\theta _{2}}{k}}\right)$

Если движение первой частицы создается центральной силой F ₁ ( r ), Магомед и Вавда показали, что движение второй частицы может быть вызвано следующей силой

$F_{2}(r_{2})={\frac {a^{3}}{\left(1-br_{2}\right)^{2}}}F_{1}\left({\frac {ar_{2}}{1-br_{2}}}\right)+{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)-{\frac {bL^{2}}{mr^{2}}}$

Согласно этому уравнению вторая сила F ₂ ( r ) получается путем масштабирования первой силы и изменения ее аргумента, а также путем сложения центральных сил обратного квадрата и обратного куба.

Для сравнения, теорема Ньютона о вращающихся орбитах соответствует случаю a = 1 и b = 0 , так что r ₁ = r ₂ . В этом случае исходная сила не масштабируется, а ее аргумент не изменяется; сила обратного куба добавляется, а член обратного квадрата — нет. Кроме того, путь второй частицы равен r ₂ = g (θ ₂ / k ) , что соответствует формуле, приведенной выше.

Выводы

Вывод Ньютона

Вывод Ньютона можно найти в разделе IX его «Начал» , в частности в предложениях 43–45. Его выводы из этих предложений основаны в основном на геометрии.

Предложение 43; Задача 30

Схема, иллюстрирующая вывод Ньютона. Голубая планета движется по пунктирной эллиптической орбите, тогда как зеленая планета следует по сплошной эллиптической орбите; два эллипса имеют общий в точке C. фокус Углы UCP и VCQ равны θ ₁ , тогда как черная дуга представляет угол UCQ, который равен θ ₂ = k θ ₁ . Сплошной эллипс повернулся относительно штрихового эллипса на угол UCV, равный ( k -1) θ ₁ . , синяя и зеленая) находятся на одинаковом расстоянии r от центра силы C. Все три планеты ( красная

Требуется заставить тело двигаться по кривой, вращающейся вокруг центра силы, так же, как и другое тело по той же кривой, находящееся в состоянии покоя.

Вывод Ньютоном предложения 43 зависит от его предложения 2, полученного ранее в «Началах» . Предложение 2 обеспечивает геометрическую проверку того, является ли результирующая сила, действующая на точечную массу (частицу), центральной силой . Ньютон показал, что сила является центральной тогда и только тогда, когда частица выметает равные площади за одинаковое время, измеренное от центра.

Вывод Ньютона начинается с частицы, движущейся под действием произвольной центральной силы F ₁ ( r ); движение этой частицы под действием этой силы описывается ее радиусом r ( t ) от центра как функция времени, а также ее углом θ1 ₍ t ) . За бесконечно малое время dt частица выметает приблизительно прямоугольный треугольник, площадь которого равна

$dA_{1}={\frac {1}{2}}r^{2}d\theta _{1}$

Поскольку предполагается, что сила, действующая на частицу, является центральной силой, согласно предложению Ньютона 2, частица выметает равные углы за равное время. Другими словами, скорость выметания площади постоянна.

${\frac {dA_{1}}{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=\mathrm {constant}$

Эту постоянную продольную скорость можно рассчитать следующим образом. В апапсисе и периапсисе , положениях самого близкого и самого дальнего расстояния от притягивающего центра, векторы скорости и радиуса перпендикулярны; следовательно, угловой момент L ₁ на массу m частицы (записанный как h ₁ ) может быть связан со скоростью выметания областей

$h_{1}={\frac {L_{1}}{m}}=rv_{1}=r^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=2{\frac {dA_{1}}{dt}}$

Теперь рассмотрим вторую частицу, орбита которой одинакова по радиусу, но угловое изменение которой умножено на постоянный коэффициент k.

$\theta _{2}(t)=k\theta _{1}(t)\,\!$

Плоская скорость второй частицы равна скорости первой частицы, умноженной на тот же коэффициент k.

$h_{2}=2{\frac {dA_{2}}{dt}}=r^{2}{\frac {d\theta _{2}}{dt}}=kr^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=2k{\frac {dA_{1}}{dt}}=kh_{1}$

Поскольку k — константа, вторая частица также сметает равные площади за одинаковое время. Следовательно, по предложению 2 на вторую частицу также действует центральная сила F ₂ ( r ). Таков вывод предложения 43.

Предложение 44

Разность сил, с помощью которых два тела могут двигаться одинаково: одно по неподвижной, а другое по одной и той же вращающейся орбите, изменяется обратно пропорционально кубу их общих высот.

Чтобы найти величину F ₂ ( r ) по исходной центральной силе F ₁ ( r ), Ньютон рассчитал их разность F ₂ ( r ) − F ₁ ( r ), используя геометрию и определение центростремительного ускорения . В предложении 44 своих «Начал» он показал, что разница пропорциональна обратному кубу радиуса, в частности, с помощью приведенной выше формулы, которую Ньютон записывает в терминах двух постоянных площадных скоростей, h ₁ и h _2.

$F_{2}(r)-F_{1}(r)=m{\frac {h_{1}^{2}-h_{2}^{2}}{r^{3}}}$

Предложение 45; Задача 31

Найти движение апсид по орбитам, очень близким к окружности.

В этом предложении Ньютон выводит следствия своей теоремы о вращающихся орбитах в пределе почти круговых орбит. Это приближение в целом справедливо для орбит планет и орбиты Луны вокруг Земли. Это приближение также позволяет Ньютону учитывать большое разнообразие законов центральной силы, а не только законы силы обратных квадратов и обратных кубов.

Современное происхождение

Современные выводы теоремы Ньютона были опубликованы Уиттакером ( 1937). и Чандрасекхар (1995). По предположению вторая угловая скорость в k раз превышает первую.

$\omega _{2}={\frac {d\theta _{2}}{dt}}=k{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=k\omega _{1}$

Поскольку два радиуса ведут себя одинаково со временем, r ( t ), сохраняющиеся угловые моменты связаны одним и тем же коэффициентом k.

$L_{2}=mr^{2}\omega _{2}=mr^{2}k\omega _{1}=kL_{1}\,\!$

Уравнение движения радиуса r частицы массы m, движущейся в центральном потенциале V ( r ), задается уравнениями Лагранжа

$m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=F(r)$

Применение общей формулы к двум орбитам дает уравнение

$m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}=F_{2}(r)+{\frac {L_{2}^{2}}{mr^{3}}}=F_{2}(r)+{\frac {k^{2}L_{1}^{2}}{mr^{3}}}$

который можно преобразовать к виду

$F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)$

Качественно это уравнение, связывающее две радиальные силы, можно понять следующим образом. Разница в угловых скоростях (или, что то же самое, в угловых моментах) вызывает разницу в требованиях к центростремительной силе ; чтобы компенсировать это, радиальную силу необходимо заменить силой обратного куба.

Теорему Ньютона можно эквивалентно выразить через потенциальную энергию , которая определена для центральных сил.

$F(r)=-{\frac {dV}{dr}}$

Уравнение радиальной силы можно записать через две потенциальные энергии

$-{\frac {dV_{2}}{dr}}=-{\frac {dV_{1}}{dr}}+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)$

Интегрируя по расстоянию r , теорема Ньютона утверждает, что k -кратное изменение угловой скорости является результатом добавления потенциальной энергии, обратно пропорциональной квадрату, к любой заданной потенциальной энергии V ₁ ( r ).

$V_{2}(r)=V_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{2mr^{2}}}\left(1-k^{2}\right)$

См. также

• проблема Кеплера
• Вектор Лапласа–Рунге–Ленца
• Задача двух тел в общей теории относительности
• Теорема Ньютона об овалах

Библиография

• Ньютон I (1999) [1726]. Принципы: математические принципы натуральной философии . Перевод И. Бернарда Коэна ; Энн Уитмен; Джулия Буденц (3-е изд.). Беркли, Калифорния: Издательство Калифорнийского университета. стр. 147–148, 246–264, 534–545. ISBN  978-0-520-08816-0 .
• Чандрасекхар С. (1995), «Начала Ньютона для обычного читателя» , Oxford University Press, стр. 183–200, ISBN  978-0-19-852675-9
• Парс, Луизиана (1965). Трактат об аналитической динамике . Джон Уайли и сыновья. п. 56. ИСБН  978-0-918024-07-7 . LCCN   64024556 .
• Уиттакер ET (1937). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел с введением в проблему трех тел (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. п. 83. ИСБН  978-0-521-35883-5 .
• Раут Э.Дж. (1960). Трактат о динамике частицы (переиздание изд. 1898 г.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 230–233 (разделы §356–359). ISBN  978-0-548-96521-4 .
• Роуз Болл WW (1893). Очерк «Начал» Ньютона . Макмиллан и компания (переиздание, Merchant Books). стр. 84–85. ISBN  978-1-60386-012-3 .
• Хейлброн, Дж. (2005), Оксфордский путеводитель по истории физики и астрономии , Oxford University Press, США, Бибкод : 2005oghp.book.....H , ISBN  978-0-19-517198-3
• Фицпартрик, Ричард (2012), Введение в небесную механику , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1-107-02381-9
• Ламбурн, Роберт (2010), Относительность, гравитация и космология , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-13138-4
• Гроссман, Натаниэль (1996), Истинная радость небесной механики , Springer Science & Business Media, ISBN  978-0-8176-3832-0
• Шикин, Евгений (1995), Справочник и Атлас кривых , CRC Press, ISBN  978-0-8493-8963-4
• Лоуренс, Дж. Деннис (1972), Каталог специальных плоских кривых , Нью-Йорк: Дувр, ISBN  0486602885
• Вайсштейн, Эрик (2002), Краткая математическая энциклопедия CRC, второе издание , CRC Press, ISBN  978-1-4200-3522-3

Дальнейшее чтение

• Бертран Дж (1873). «Теорема о движении точки, притянутой к неподвижному центру». Еженедельные отчеты сессий Академии наук . xxvii/10: 849–853. (заседание в понедельник, 20 октября 1873 г.)
• Коэн И.Б. (1999). «Путеводитель по «Началам» Ньютона ». Принципы: Математические принципы натуральной философии . Беркли, Калифорния: Издательство Калифорнийского университета. стр. 147–148, 246–252. ISBN  978-0-520-08816-0 .
• Кук А (1988). Движение Луны . Бристоль: Адам Хильгер. ISBN  0-85274-348-3 .
• Д'Элизео, ММ (2007). «Орбитальное уравнение первого порядка». Американский журнал физики . 75 (4): 352–355. Бибкод : 2007AmJPh..75..352D . дои : 10.1119/1.2432126 .
• Гвиччардини, Никколо (1999). Чтение «Начал: дебаты о математических методах Ньютона в естественной философии с 1687 по 1736 год» . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-54403-0 .
• Ньютон I (1966). Принципы Том. I «Движение тел» (на основе 2-го издания Ньютона (1713 г.); переведено Эндрю Моттом (1729 г.) и отредактировано Флорианом Каджори (1934 г.), изд.). Беркли, Калифорния: Издательство Калифорнийского университета. стр. 135–147 (раздел IX книги I) . ISBN  978-0-520-00928-8 . Ньютона Альтернативный перевод более раннего (2-го) издания «Начал» .
• Смит Дж. Э. (1999). «Ньютон и проблема движения Луны». Принципы: Математические принципы натуральной философии . Беркли, Калифорния: Издательство Калифорнийского университета. стр. 252–257. ISBN  978-0-520-08816-0 .
• Смит Дж. Э. (1999). «Движение лунной апсиды». Принципы: Математические принципы натуральной философии . Беркли, Калифорния: Издательство Калифорнийского университета. стр. 257–264. ISBN  978-0-520-08816-0 .
• Спивак, Михаил (1994). «Планетарное движение». Исчисление (3-е изд.). Опубликуй или погибни. ISBN  0-914098-89-6 .

Внешние ссылки

• Задача трех тел, обсуждаемая Аленом Ченсинером в Scholarpedia